初中数学自主招生难度讲义-9年级专题06转化与化归-特殊方程、方程组

专题06转化与化归----特殊方程、方程组

阅读与思考

特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程

组.

降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是：

1、因式分解；

2、换元；

3、平方；

4、巧取倒数；

5、整体叠加、叠乘等.

转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二

次方程，这也可以说是“九九归宗”.

例题与求解

xy5

【例1】已知方程组22的两组解是(x,y)与(x,y)，则xyxy的值是_______

3xy2311221221

（北京市竞赛题）

解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.

xyyz63

【例2】方程组的正整数解的组数是（）

xzyz23

A．1组B．2组C．3组D．4组

解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．

【例3】解下列方程:

13xx213x

（1）(x)42；（“祖冲之杯”邀请赛试题）

x1x1

x23xx2x411

（2）；（河南省竞赛试题）

2x22x83x29x12

（3）(1999x)3(x1998)31；（山东省竞赛试题）

（4）(x23x4)2(2x27x6)2(3x24x2)2（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.

【例4】解下列方程组:

1

xxy33,

（1）y（山东省竞赛试题）

1

2xy6;

y

x(x1)(3x5y)144,

（2）2（西安市竞赛试题）

x4x5y24;

y2x33x22x,

（3）232（全苏数学奥林匹克试题）

xy3y2y.

解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.

2kxkx1

【例5】若关于x的方程只有一个解（相等的解也算一个）.试求k的值与方程

x1x2xx

的解.

（江苏省竞赛试题）

【例6】方程2x2xy3xy20060的正整数解有多少对？

（江苏省竞赛试题）

解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.

能力训练

A级

11

1．方程2(x2)3(x)1的实数根是_____________.

x2x

222

2．x23x42x27x63x24x2，这个方程的解为x=_________________.

x63y,2yz

3．实数x,y,z满足2则x的值为_______________.（上海市竞赛题）

x3y2xy2z0,

2

axbx10,

4．设方程组bx2xa0,有实数解，则ab1________.

2

xaxb0

（武汉市选拔赛试题）

5．使得x24x21x23x2x28x7成立的x的值得个数为（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

（“五羊杯”竞赛试题）

xy2,

6．已知方程组2有实数根，那么它有（）

xyz1

A．一组解B．二组解C．三组解D．无数组解

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

11

7．设a213a，b213b且ab，则代数式的值为（）

a2b2

A．5B．7C．9D．11

8．已知实数x,y满足xyxy9,x2yxy220，则x2y2的值为（）

A．6B．17C．1D．6或17

x2y2p,

9．已知关于x,y的方程组2有整数解x,y，求满足条件的质数p.

3xyp(xy)p

（四川省竞赛试题）

2

．已知方程组xya20,的两个解为xx1,xx2,且是两个不等的正数

10x1,x2.

xy10yy1,yy2,

（1）求a的取值范围；

（）若222，试求的值

2x1x23x1x28a6a11a.

（南通市中考试题）

xy

1x,

11．已知a,b是方程t2t10的两个实根，解方程组ab

xy

1y.

ba

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

pqp15,

12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式22试求

pqpq6,

这个一元二次方程.

（杭州市中考试题）

B级

xyzxyz15

1．方程组xyz的解是___________________.

234

2．已知7x29x137x25x137x，则x的值为______________.（全国初中数学联赛试题）

1

．已知实数是方程组y的解，则（全国初中数学联赛试题）

3x0,y0xx0y0_________.

yx1

xy9,

114

4．方程组的解是_________________.（“希望杯”邀请赛试题）

xy3

x2y21,

5．若二元二次方程组有唯一解，则k的所有可能取值为______________.

ykx21

（《学习报》公开赛试题）

xxxxxxxxxxxxxxx

．正数同时满足23456，13456，12456，

6x1,x2,x3,x4,x5,x6123

x1x2x3

xxxxxxxxxxxxxxx

12356，12346，12345则的值为

469.x1x2x3x4x5x6________.

x4x5x6

（上海市竞赛试题）

7．方程x36x2x60的所有根的积是（）

A．3B．-3C．4D．-6E．以上全不对

（美国犹他州竞赛试题）

x131999x11,

8．设x,y为实数，且满足3则xy（）

y11999y11,

A．1B．-1C．2D．-2

（武汉市选拔赛试题）

xyz1,111

9．已知xyz2,则的值为（）

222xyz1yzx1zxy1

xyz3,

12

A．1B．C．2D．

23

x1x12xa2

10．对于实数a，只有一个实数值x满足等式0，试求所有这样的实数a的

x1x1x21

和.

（江苏省竞赛试题）

11．解方程x2x1x2x1a，其中a0，并就正数a的取值，讨论此方程解的情况.

（陕西省竞赛试题）

ab8,2

12．已知a,b,c三数满足方程组2试求方程bxcxa0的根.

abc82c48,

（全国初中数学联赛试题）

13．解下列方程（组）：

9x2

（1）x216；

x33

（武汉市竞赛试题）

2

（2）6x73x4x16；

（湖北省竞赛试题）

4x2

y,

14x2

2

4y

（）

32z,

14y

4z2

x,

14z2

（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）

专题06转化与化归

——特殊方程、方程组

23

例1例2B提示：由（x+y）z=23。例3（1）x1，x6，x32提示：

2123,4

13xx213x13xx23x1111

=x，令=y.（2）设=y，则原方程可化为y，解得

x1x1x1x2x423y12

589

x1,x4,x,（3）设1999-x=a，x-1998=6，∴a+b=1，则原方程为：

123,42

333，得，即（）（），解得，（）设2，

ababab=01999-xx-1998=0x11999x21998.4x3x4=a

2

2x27x6=b，∴3x24x2=a+b，原方程可化为：a2b2ab，得ab=0，∴

x2,x4,

22，解得3例（）12

x3x42x7x6=0x14,x21,x32,x4,41

2y11,y21,

x3,x4,

12x2x3x5y144,

（2）提示：原方程可化为（3）方程两式相减得

3242

y1,y2,xx3x5y24,

55

xyx2xyy22x2y2=0，而

2

1322

x2xyy22x2y2xy1y0，∴x-y=0代入原方程得

2433

x10,x222,x322,

x34x22x0，可求得解为例5原方程化为

y0,

1y222,y322,

12

kx23kx2x10，当k=0时，原方程有唯一解x；当k≠0时，△=5k24k10.总有

2

两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，葱原方程知增根只能是0，1，显然0不是方

1

程的根，故x=1，k=.例6解法一：把原方程变形为（x-1）y=2x23x2006，因x=1不满足方

2

2x23x2006x12x120052005

程，即x≠1，故y==2x-1+，由于2005=1×2005=5×401，

x1x1x1

即2005有正因数1，5，401，2005，∴分别取x-1=1，5，401，2005时，x与y均为正整数，即共有4

对正整数解.解法二:把方程看成关于x的一元二次方程2x2y3xy20060.由方程有整数解,

2

其判别式为完全平方数,据此可得一下解法:△=y38y2006a2(a为非负整数)，化简得

2

y22y16039a2，即y116040a2，∴y1ay1a16040235401①.

∵（y-1-a）与（y-1+a）奇偶性相同，且其积为偶数，故（y-1-a）与（y-1+a）同为偶数.由于y-1-a≤y-1+a，

y1a2,y1a22,y1a25,

据①，只可能有（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

22

y1a25401;y1a25401;y1a2401;

y1a225,

（Ⅳ）将方程（Ⅰ）～（Ⅳ）中的两个方程相加，分别得到的y值为4012，2008，

y1a2401;

808，412.由此可得相应的x值，故共有4对正整数解（x，y）.

13

A级1.2或2.1，-4，2，3.94.05.B6.A7.B提示：a，b为方程x23x10的

22

xyp,xyp,

两个不相等实根.8.B9.由px2y2xyxy及p为质数，知或或

xy1xy1

xy1,xy1,xyp,p1p1

或当时，x=，y=，代入3xy+p（x-y）=p2得

xypxypxy122

3

p21pp2，解得p=3，或p=1（舍）.其他情况经计算知没有符合条件的质数.10.（1）

4

1

x,

bxay1x1

3（）72提示：原方程组化为，①

1a2a=-11.2②+

481axby1y

y

2

②得x+y=-1.12.x23x20

1683212

B级1.x,y,z,,2.提示:有条件得7x29x137x25x132.从而

9397

12

27x29x13=7x+2，两边平方化简得21x28x480，其正跟为x=.3.54.（x，y）

7

116

=（1，9）5.1，-16.1+237.D8.C9.D10.原方程化为

6

2x22xa40①，其中△=4-4×2（a+4）=-8a-28.当方程①有两个相等的实根时，由△=0，得

77

a；当方程①有两个不相等实根时，且x=1是方程①的一个根，解得a，，a8；当方

1222

7

程①有两个不相等的实根时，且x=-1是方程①的一个根，解得a，a4.故

23

7311

aaa84.11.由方程知x，2x2x1=a，当x1时，得a=2.

123222

2a1

讨论：当a>2时，方程有一个根为x=；当a=2时，方程有无数多个解为x1；当a<2时，

42

方程无解.

ab16,

12.显然a，b是方程x28x+c2－82c＋48＝0的两根，由≥0得c＝42，从而，解得a

ab8

△

22626

＝b＝4.故原一元二次方程化为x＋2x－1＝0，解得x1＝，x2＝.

22

3x3x3x

13.（1）原方程可变形为（x－3）2＋6