直线与直线平行课件-高一下学期数学人教A版

8.5.1直线与直线平行

第八章

8．5空间直线、平面的平行学习目标1.了解基本事实4和等角定理．2.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系.

3.能够利用基本事实4解决问题，培养直观想象及逻辑推理核心素养．问题导思问题1.观察右图中长方体各条棱所在直线，思考下列问题：棱BB′，CC′，DD′所在直线与直线AA′平行，它们是否两两相互平行？棱A′D′，B′C′，BC所在直线与直线AD平行，它们是否也两两相互平行？棱A′B′，D′C′，DC所在直线与直线AB平行，它们是否也两两相互平行？由此，你能得到什么结论？提示：两两相互平行．得到结论：平行于同一条直线的两条直线平行．新知构建文字语言平行于同一条直线的两条直线______图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒_________作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的_________平行a∥c传递性微提醒基本事实4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．例1

如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝

AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形．变式探究(变条件)保持本例条件不变，若AC＝BD，试判断四边形EFGH的形状，并证明．解：四边形EFGH是菱形．证明如下：因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝

BD.因为EF＝

AC，AC＝BD，所以EH＝EF.又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．规律方法关于空间中两直线平行的证明1．证明两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直线无公共点．2．证明依据：三角形中位线定理；平行线分线段成比例定理的逆定理；几何体中相对棱、对角线的平行关系．

对点练1．如图，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．证明：如图，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ綉A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，所以EQ綉B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綉C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綉C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綉FD.又B1E綉C1Q，所以B1E綉FD，故四边形B1EDF为平行四边形．返回问题导思问题2.在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？提示：当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置．对于图①，我们可以构造两个全等三角形，使∠BAC和∠B′A′C′是它们的对应角，从而证明∠BAC＝∠B′A′C′.如图③，分别在∠BAC和∠B′A′C′的两边上截取AD，AE和A′D′，A′E′，使得AD＝A′D′，AE＝A′E′，连接AA′，DD′，EE′，DE，D′E′.因为AD綉A′D′，所以四边形ADD′A′是平行四边形，所以AA′綉DD′.同理可证AA′綉EE′，所以DD′綉EE′，所以四边形DD′E′E是平行四边形，所以DE＝D′E′.所以△ADE≌△A′D′E′，所以∠BAC＝∠B′A′C′.对于图②，同理可证．新知构建1．等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角______或______图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推论如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．相等互补例2

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，证明：∠BGC＝∠FD1E.证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝

BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝

DD1.又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形．所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，且均为锐角，所以∠BGC＝∠FD1E.规律方法关于等角定理的应用1．根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行．2．根据角的两边的方向判定两角相等或互补．

对点练2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：(1)D1E∥BF；证明：如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1.在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F，所以四边形MBFC1为平行四边形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.(2)∠B1BF＝∠A1ED1.证明：因为D1E∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.返回例3基本事实4与等角定理的综合应用

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.证明：如图所示，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.又ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以CD綉AB，A1B1綉AB，由基本事实4知CD綉A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綉B1C.又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG.同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.规律方法

基本事实4是运用等角定理的主要理论支撑，在解题中经常作为证明角相等的依据．

对点练3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为AD，AB，B1C1，C1D1的中点．(1)求证：EF綉E1F1；证明：连接BD，B1D1(图略).因为E，F分别为AD，AB的中点，所以在△ABD中，EF∥BD且EF＝

BD.同理，E1F1∥B1D1且E1F1＝

B1D1.又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD∥B1D1且BD＝B1D1，所以EF綉E1F1.(2)求证：∠EA1F＝∠E1CF1.证明：取A1B1的中点M，连接BM，F1M(图略)，则BF＝A1M＝

AB.又BF∥A1M，所以BF綉A1M，所以四边形A1FBM为平行四边形，所以A1F∥BM.因为M，F1分别为A1B1，C1D1的中点，所以F1M綉C1B1，而C1B1綉BC，所以F1M∥BC且F1M＝BC，所以四边形F1MBC为平行四边形，所以BM∥F1C.又BM∥A1F，所以A1F∥CF1.同理A1E∥CE1.因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，即A1E∥CE1，A1F∥CF1且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.返回课堂小结知识(1)基本事实4的应用．(2)等角定理的应用．方法转化法易错误区用等角定理时，角度有可能相等或互补．随堂演练1．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是A．平行 B．相交C．异面 D．不确定√因为a∥b，b∥c，所以a∥c.又c∥d，所以a∥d.故选A.2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的有A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行√当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同时，OB与O1B1不一定平行．故选D.3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF