二项式系数的性质课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性

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一般地，对于n∈N*有二项式定理:

一般地，对于n∈N*有二项式定理:二项式系数通项…………(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)21112113311464115101051(a+b)61615201561三、归纳性质1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?(a+b)0=11《详解九章算法》记载的表杨辉

三角杨辉

以上二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。a).表中每行两端都是1。b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：当n不大时，可用该表来求二项式系数。C23C22C12+==3C25C24C14+==10因为：二项式系数的性质111211331146411510105116152015612134610①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561二项式系数的性质先增后减对称函数定义：如果A、B都是非空数集，那A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数。可看成是集合｛0，1，…，n｝到二项式系数的集合的映射。★对于二项式系数，k与之间也有对应关系，即：k012

…k…n…二项式系数与函数…

从映射、函数的观点看，二项式系数可以看作是一个定义域为{0，1，2，…，n}的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

即：k是自变量，k自变量二项式系数是函数值，组合数公式就是相应函数的解析式。123二项式函数值二项式系数与函数①当n=6时，二项式系数（0≤k≤6）用图象表示：7个孤立的点13……n…12322nOrf(k)6361420

①与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等1：对称性2：增减性与最大值①先增后减②关于k=3对称②k=3时取得最大值f（k）n为奇数；如n=7f（k）rnO615201n为偶数；如n=620103035On743②k=3和k=4时取得最大值①关于k=对称二项式系数的性质

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等性质1：对称性性质2：增减性与最大值先增后减当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间的两项二项式系数和相等，且同时取得最大值。即

即

和解题型:求展开式中的特定项当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

当n是偶数时，中间的一项取得最大时；当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。Ckn=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)k

=Ck-1n•kn–k+1Ck-1nkn–k+1Ckn所以相对于的增减情况由决定由于kn–k+1>1

k<n+12因而2.增减性与最大值n(n-1)(n-2)…(n-k+2)(k-1)

由于>1=kn–k+1•性质3：各二项式系数的和二项式系数的性质2n+++…+令x=1；这就是说，

的展开式的各二项式系数的和等于：1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().C课堂练习:A.第6项B.第7项

C.第6项和第7项D.第5项和第7项CA.第15项B.第16项C.第17项D.第18项2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项().3，化简+++

+=例1、证明的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。ban)(+证明：1a10-CCn+rnan1-bban++++=bCCnnrnrnn……ban)(+在展开式中1+=1n)(-Cnnn)(-10nC1nCC2n3nC--+…+b=-1，令a=1，则得++0nCC2n…-++1nC…3nC)(()0=

++0nCC2n…++1nC…3nC=就是即在ban)(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项系数的和。证毕。上述证明过程中用到了什么方法？赋值法例题讲解123……n…123注意：

求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值时取－1，1，0。

（1）

一般地，展开式的二项式系数有如下基本性质：

（2）（4）

（3）当n为偶数时，最大

当n为奇数时，=且最大

（对称性）(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想

a

单调性；b

图象；c

最值.小结

作业：课本34页5，6

123……n…123第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

1461第5行

151第6行

161561第n-1行

11

第n行

11……………

……………………

第7行

172121711035++++=3551520104“斜线和”=

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行

11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行

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