湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

黄梅县育才高级中学2024年春季期中考试高二数学试题第I卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】求导函数，当时，，∴曲线在点处的切线方程为：，即.故选：A.2.若函数，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，计算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=1,即可得答案．【详解】f′（x）＝2f′（1）+2x，令x＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x4，∴f′（1）＝6,又，∴故选C．【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x赋值是解题的关键．3.展开式中的系数为（）A.10 B.24 C.32 D.56【答案】D【解析】【分析】先将式子化成，再分别求两项各自的的系数，再相加，即可得答案.【详解】∵，∴展开式中含的项为，展开式中含的项，故的系数为.故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.4.随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列X246Pabc则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等差中项及分布列的性质即可求解.【详解】因为a，b，c成等差数列，所以，由随机变量X分布列的性质知，，联立，解得，所以.故选：D.5.若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得，因为，可得，则，即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故选：B.6.端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.【详解】由题意，，，所以.故选：B.7.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算.【详解】由题意可得：，令，可得，原题意等价于在上恒成立，因为开口向下，对称轴，可得在上单调递减，当时，取到最大值，所以的取值范围是.故选：A.8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用当时，，得到在上单调递增，根据函数是定义在上的偶函数，得到函数的图象关于直线对称，之后利用函数单调性和对称性之间的关系进行比较即可得到结果.【详解】当时，，所以在上单调递增.又因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于直线对称.所以在上单调递减.因为，，，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决该题的关键.二、多选题:本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列求导数运算正确的有（）A. B.C D.【答案】AD【解析】【分析】直接根据导数的运算法则及求导公式求解即可.【详解】解：，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：AD.10.带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）A.全部投入4个不同的盒子里，共有种放法B.放进不同4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法【答案】ACD【解析】【分析】对A：根据分步乘法计数原理运算求解；对B：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C：根据分步乘法计数原理运算求解；对D：利用捆绑法运算求解.【详解】对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A正确；对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B错误；对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C正确；对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D正确；故选：ACD.11.如图，平面，，，，，，，则（）A.B.平面C.平面与平面的夹角的余弦值为D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.【详解】因为平面，，由题意，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，可得，，，，，，则，，所以，所以，不垂直，故A错误；依题意，是平面的法向量，又，可得，则，又因为直线平面，所以平面，故B正确；设为平面的一个法向量，则，即，令，可得，依题意，，，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，所以，故平面与平面的夹角的余弦值为，故C正确；设直线与平面所成角，，则，故D错误.故选：BC.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.已知，若，则___________.【答案】1【解析】【详解】首先利用二项展开式的通项公式，求，再利用赋值法求系数的和.展开式的通项为，令，则，即，故，令，得.故答案为：113.为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区，则不同的安排方法种数共有______种．【答案】100【解析】【分析】根据题意有和两种情况，共有种情况，再根据员工甲去三个小区的可能性相同，得到答案.【详解】五名员工分别去三个小区A，B，C参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，则有和两种情况，共有种情况，员工甲去三个小区的可能性相同，所以共有种情况.故答案为：10014.已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】由在上存在零点，可转化为方程在上有解，求出在上的范围即可得.【详解】由，在存在零点，即在上有解，令，，则恒成立，故在上单调递增，故，即，令，，则，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，当时，，即有，故，即实数a的最大值是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题关键在于将题意转化为方程在上有解后，构造出函数，及，，从而求出的最值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中各项系数之和为32．（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由展开式中各项系数之和为32，可得，从而可求出n的值；（2）展开式中的常数项等于的展开式的系数与的系数的差即可得答案【详解】解：（1）由题意，令得，解得．（2）因为二项式的通项为，所以展开式中的常数项为．16.已知函数（）.（1）求在上的最大值；（2）若函数恰有三个零点，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数明确函数的单调性，求出极值和端点值，可得答案；（2）根据函数的单调性，求得其极大值和极小值，结合零点存在性定理，可得答案.【小问1详解】，可知时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，由，，，，则.【小问2详解】由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，所以，，因为有三个零点，所以，即，解得，故的取值范围为.17.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球．（1）求第一次取出的球为红球的概率；（2）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）设出事件，利用全概率公式进行求解；（2）结合第一问的求解，设出事件，用全概率公式和条件概率公式进行求解.【小问1详解】设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，，则，由全概率公式可得：.【小问2详解】设第二次取出的球是白球为事件，由全概率公式可得：，所以.18.如图，在梯形ABCD中，，将沿着BD折起到的位置，使得平面平面．（1）证明：；（2）点M满足，若二面角的余弦值为，求．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）过D作，根据面面垂直证明线面垂直，从而可得，再证明平面，由此可证明；（2）建立合适空间直角坐标系，利用向量法表示出二面角的余弦值，由此可求的值.【小问1详解】过D作，垂足为N，因平面平面PBC，平面平面，平面，所以平面PBC，因平面PBC，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以．【小问2详解】由（1）可知平面，又，以B为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，设平面BCM的一个法向量，由得，令得，平面BDM的一个法向量可取，因为二面角的余弦值为，所，解得，所以．19.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，，求实数a的取值范围．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）求导，分别令，，即可得到递增递减区间；（2）将，转化为，然后分、