数学（广东卷02）（参考答案）

2024年高考数学第一次模拟考试数学（广东卷02）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678CABDCBBA二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9101112ABDABCACAD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.（答案不唯一）14．15．16．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17.【详解】（1）选条件①：由，及正弦定理，. 1分又为内角，所以，从而，即， 3分则，或（舍去），从而. 4分选条件②：由，及正弦定理，. 1分又为内角，所以，代入上式即得，而，所以，从而. 3分则，或（舍去），因此，. 4分（2）由为边上一点，且，从而，即.平方，得，即， 6分由基本不等式，，等号当且仅当时成立，此时有最大值，从而面积为也有最大值. 8分当时，由余弦定理，可得由正弦定理，，又，所以. 10分

18.【详解】（1）数列成等比数列. 1分根据得； 3分，，，即数列成等比数列. 5分（2）由（1）得，，， 6分故由，得. 8分显然，，单调递增，且，故，，.，，, 10分当时，,，综上，知. 12分19.【详解】（1）如图所示：取中点，连接，则由题意有， 1分因为由题意，所以四边形为平行四边形，所以，又因为四边形为直角梯形，所以，所以， 2分因为，，所以，又因为平面，平面，所以， 4分因为，所以，又因为，所以，从而， 5分又因为，面，且，所以平面. 6分（2）由题意不妨设点到面的距离为，所以三棱锥的体积为，所以解得， 7分如图所示：设点到面的距离为，则平面，又因为平面，平面所以，所以为的中位线，即分别为的中点，因为底面为直角梯形，所以， 8分所以以为坐标原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，由题意，所以，由（1）可知平面，故可取平面的一个法向量为， 9分不妨设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，即可取， 10分不妨设平面与平面的夹角为，则， 11分即平面与平面的夹角的余弦值为. 12分20.【详解】（1）记事件“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试合格”， 1分由题意知，，， 3分又事件互斥，则，即， 5分所以在居民甲第一项测试“合格”的条件下，他第一个项目选择了的概率为：，即已知居民甲第一项测试“合格”，他第一项测试选择的项目是的概率是. 6分（2）由居民乙获一等奖的概率为，可知.则. 8分令， 10分当时，；当时，.所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.所以.所以的最小值为. 12分21.【详解】（1）时，，要证，即证，即， 1分设恒成立，所以在单调递减， 3分所以，即在恒成立，命题得证； 4分（2）当时，，所以， 5分因为，在的一个周期范围内， 6分时，；时，； 7分所以在单调递增，在单调递减. 8分（3）要证：，即证：，即证：， 9分因为，所以，由（1）可知，在恒成立，所以， 10分令，，令，解得， 11分所以当时，，当时，，所以函数在单调递减，单调递增，所以，所以恒成立，原命题得证. 12分22.【详解】（1）设，，因为MA，MB的斜率之积为，所以， 2分因为M是C上的点，所以，所以，故， 4分又因为，所以，又因为，所以，故椭圆C的方程为：. 5分（2）设的斜率为，AP，BQ的斜率为，，因为在椭圆上，所以，，所以，同理， 7分易知，由，所以， 8分设的方程为：，的方程为：，联立，则，解得：，联立，可得：，因为直