数学（北京卷）（考试版A4）

2024年高考数学第一次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（本题4分）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．（本题4分）复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（本题4分）已知向量，若，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．24．（本题4分）已知直线与平面满足，则下列判断一定正确的是A． B． C． D．5．（本题4分）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（

）A．4 B．6 C．8 D．186．（本题4分）已知是公差为（）的无穷等差数列的前项和，设甲：数列是递增数列，乙：对任意，均有，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．（本题4分）我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（

）

A．时， B．时，C．时， D．时，8．（本题4分）函数（，，）的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，与的图象关于轴对称，则可能的取值为（

）A．3 B．4 C．5 D．69．（本题4分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，双曲线的左顶点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于，两点，其中点在轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（本题4分）在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．（本题5分）已知函数，则．12．（本题5分）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为.13．（本题5分）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为，．14．（本题5分）已知定义在上的函数具备下列性质，①是偶函数，②在上单调递增，③对任意非零实数、都有，写出符合条件的函数的一个解析式（写一个即可）.15．（本题5分）对于定义在上的函数，及区间，记，若，则称为的“区间对”.已知函数给出下列四个结论：①若和是的“区间对”，则的取值范围是；②若和不是的“区间对”，则对任意和也不是的“区间对”；③存在实数，使得对任意和都是的“区间对”；④对任意，都存在实数，使得和不是的“区间对”；其中所有正确结论的序号是.三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。16．（本题13分）已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，且______.在以下三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答（若选择多个分别解答，以选择第一个计分.）①函数为偶函数；

②；③，(1)求函数的解析式；(2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值，并指出相应的的值.17．（本题14分）如图，棱柱的所有棱长都为2，，侧棱与底面的所成角为平面为的中点．(1)证明：；(2)证明：平面；(3)求二面角的余弦值．18．（本题13分）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：男生女生假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；(2)从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；(3)从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）19．（本题15分）已知椭圆，、为椭圆的焦点，为椭圆上一点，满足，为坐标原点．(1)求椭圆的方程和离心率．(2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，满足，点满足满足，求证：点在定直线上．20．（本题15分）已知函数，且曲线在处与轴相切．(1)求的值；(2)令，证明函数在上单调递增；(3)求的极