初中数学自主招生难度讲义-9年级专题27数形结合

专题27数形结合

阅读与思考

数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界

的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质

时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形

性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作

数形结合思想.

数形结合有下列若干途径：

1．借助于平面直角坐标系解代数问题；

2．借助于图形、图表解代数问题；

3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；

4．借助于函数解几何问题.

现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具

有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要

两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.

代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立

了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一

大进步．

例题与求解

【例l】设yx22x2x24x13，则y的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）

解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．yx121x229＝

2222

x101x203，于是问题转化为：在x轴上求一点C(x，0)，使它到两

点A（－1，1）和B(2，3)的距离之和（即CA＋CB）最小.

【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x厘米，面积是x平方厘米，这样的直角三

角形()

A．不存在B．至多1个C．有4个D．有2个

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；

若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．

【例3】如图，在△ABC中，∠A＝900，∠B＝2∠C，∠B的平分线交AC于D，AE⊥BC于E，

111

DF⊥BC于F.求证：.

BDDFAEBFAEBE

（湖北省竞赛试题）

解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分

别计算出各个线段，利用代数法证明．

【例4】当a在什么范围内取值时，方程x25xa有且只有相异的两实数根？

（四川省联赛试题）

解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数yx25x与函数ya(a≥0)图象有且只有相

异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a的取值范围．

【例5】设△ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在

三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC为正三角形．（江苏省竞赛试题）

解题思路：设△三边长分别为，，，对应边上的高分别为，，，△的面积

ABCabchahbhcABC

2S2S2S

为S，则易得三个内接正方形边长分别为，，，由题意得ahabhbchc，

ahabhbchc

2S2S2S2S

即abcL．则a，b，c适合方程xL.

abcx

2

2y

xxy25

3

2

y

【例6】设正数x，y，z满足方程组z29，求xy2yz3zx的值．

3

22

zzxx16

（俄罗斯中学生数学竞赛试题）

能力训练

1.不查表可求得tan150的值为__________.

33

2.如图，点A，C都在函数y(x0)的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△

x

BCD都是等边三角形，则点D的坐标为______________.（全国初中数学联赛试题）

3．平面直角坐标系上有点P(－1，－2)和点Q(4，2)，取点R(1，m)，当m________时，PR＋

RQ有最小值.

4.若a0，b0，要使xaxbab成立，x的取值范围是__________.

5.已知AB是半径为1的⊙O的弦，AB的长为方程x2x10的正根，则∠AOB的度数是

______________.（太原市竞赛试题）

6.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依

次为，，，，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是

2468A1A2A3A4A55()

A.(13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)

第2题图第6题图

7．在△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4．在△ABD中，∠A＝900，AD＝12.点C和点D分居AB

DEm

两侧，过点D且平行于AC的直线交CB的延长线于E．如果，其中，m，n是互质的正整数，

DBn

那么mn=()

A.25B.128C.153D.243E.256

（美国数学统一考试题）

aab

8．设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A，∠B的关系是()

babc

A．∠B＞2∠AB．∠B=2∠AC．∠B＜2∠AD．不确定

．如图，，，，则

9SAFG5aSACG4aSBFG7aSAEG()

27282930

A．aB．aC．aD．a

11111111

10.满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有()

A.1个B．2个C．3个D．无穷多个

如图，关于的二次函数2的图象与轴交于，，，两点＞＞，

11.xyx2mxmxA(x10)B(x20)(x20x1)

与y轴交于C点，且∠BAC＝∠BCO.

(1)求这个二次函数的解析式；

以点（，）为圆心⊙，与轴相切于点，过＝抛物线上一点，＞，＜

(2)D20DyOE(x3t)(t0x3

0)作x轴的平行线与⊙D交于F，G两点，与抛物线交于另一点H．问是否存在实数t，使得EF＋GH＝

CF?如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）

12.已知正数a，b，c，A，B，C满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k.求证：aB十bC＋cA＜k2.

13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG＝2，GF＝13，FC＝1，HI＝7，求DE．

（美国数学邀请赛试题）

14.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.

动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半

径的圆与△ABC的边相切（切点在边上）．请写出t可以取的一切值：_______________（单位：秒）．

15.如图，已知D是△ABC边AC上的一点，AD：DC＝2：1，∠C＝450，∠ADB＝600．

求证：AB是△BCD的外接圆的切线．

（全国初中数学联赛试题）

16.如图，在△ABC中，作一条直线l∥BC，且与AB、AC分别相交于D，E两点，记△ABC，△BED的

1

面积分别为S，K．求证：K≤S．（长春市竞赛试题）

4

17.如图，直线OB是一次函数y2x的图象，点A的坐标为(0，2).在直线OB上找点C，使得△ACO

为等腰三角形，求点C的坐标．（江苏省竞赛试题）

专题27数形结合

例15提示:作出B点关于x轴的对称点B'(2,-3)，连结AB'交x轴于C，则AB'=AC十CB'为所要求的

最小值.

1

例2D提示:设两直角边长为a，b，斜边长为c，由题意得a+b+c=x，abx,又a2b2c2，得

2

42b2b0,42b0,

a..因a,h为边长且是整数.故当得b<2，取b1,a不是整数;当得

4b4b0,34b0,

b>4，要使a,b为整数，只有两种取法:若b=5时，a=12(或b=12,a=5);若b=8时，a=6(或b=6,a=8).

112

例3设AB=x，则BC=2x,AC=3x,BE=x,DF=DA=x,BDx..在RtAEB中求得

233

△

3

AE=x,BFx,代入证明即可.

2

例4如图，作出函数yx25x图象，由图象可以看出:当a=0时，

25

y=0与yx25x有且只有相异二个交点;当0a时，y=a与

4

25

yx25x图象有四个不同交点;当a时，y=a与

4

yx25x图象有三

25

个不同交点，当a时，y=a与yx25x图象有且只有相异二个交点.

4

2s2s2s2s

例5由abcL①,知正数a,b,c适合方程xL.当x0时，有

abcx

x2Lx2s0②，故a,b,c是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以a,b,c中的

112s

某两数必相同.设ab,若ca，由①得ac2sac，则ac=2s=ah，这样ABC

caaca

△

就是以∠B为直角的直角三角形，b>a，矛盾，故a=c，得证.

例

6SAOBSBOCSAOCSABC,

1y1y11

xsin150zxzsin12043,

232322即

1y11y13

xzxz6,

2322322化简得xy2yz3zx243.

能力训练1.23提示:构造含15的RtABC.

△

2.26，0提示:如图，分别过点A,C作x轴的垂线，垂足分别为E,F.设

OE=a,BF=b，则AE=3a,CF=3b，所以点A,C的坐标为

3a233,

a,3a,2ab,3b.解得

3b2ab33,

a3,

∴点D坐标为26,0.

b63.

2

3.-提示:当R,P，Q三点在一条直线上时，PR+RQ有最小值.

5

4.bxa

5.36提示:由x2x10得x1x2<1，则有AB<OB.在OB上截取OC=AB=x，又由x2x10

x1ABOA

得，即，则OAB∽△ABC,AB=AC=OC.

1xxBCAB

提示由题所给的数据结合坐标系可得，是第个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所

6.C:A5514

以的横纵坐标都是

A5514.

7.A

bac

8.B提示：由条件a2abacabb2,即b2aac,，延长CB至D，使BD=AB，

ab

易证ABC∽△DAC，得∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC.

9.D

△

1

10.C提示:设直角三角形的两条直角边长为a,bab,则aba2b2kab(a,b,k均为正

2

ka41,ka42,

整数)，化简得ka4kb48,或解得

kb48kb44

k1,k2,k1,

a5,或a3,或a6,即有3组解.

b12b4b8

11.(1)yx22x1(2)过D作DM⊥EH于M，连结DG,

DMt,DGDO2,FG2MG22t2.若EF+GH=FG成立，则EH=2FG.由EF//x轴，设

为，又∵为抛物线上的两个点，22即是方程

Hx4,tE,Hx32x31t,x42x41t,x3,x4

2的两个不相等的实数根，，

x2x1tx3x42,x3x41t

22解得

EHx4x3x3x44x3x422t,22t222t,

971971

t,t(舍去).

1818

12.a十A=b+B=c十C=k，可看作边长为k的正三角形，而从k2联想到边长为k的正方形的面积.如图，

将aB+bC+cA看作边长分别为a与B,b与C,c与A的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入

到边长为k的正方形中，显然aB+bC+cA<k2.

13.AC=AG+GF+FC=16，由AH·AI=AG·AF，得AH

(AH＋7)＝2×(2＋13)，解得AH＝3，从而HI＝7，BI＝6．设BD＝x，CE＝y，则由圆幂定理得

CE•CD＝CF•CGy(16－x)＝1×14x＝10－22

，即.解得.故DE＝16－(x＋y)＝222.

BD•BE＝BI•BHx(16－y)＝6×13y＝6－22

14.t＝2或3≤t≤7或t＝8.提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠

AMQ＝60°，MN＝2．当t＝2时，圆P与AB相切；当3≤t≤7时，点P到AC的距离为3，圆P

与AC相切；当t＝8时，圆P与BC相切．

15．设AD＝2，DC＝1，作BE⊥AC，交AC于E．又设ED＝x,则BE＝3x,BE＝EC＝3x．又1＋x＝3x,

3＋13＋33－33－33＋3

∴x＝,BE＝,AE＝AD－ED＝2－x＝，AB2＝AE2＋BE2＝（）2＋（）

22222

2＝6，而AD•AC＝6．∴AB2＝AD•AC.故由切割线定理逆定理知，AB是△BCD的外接圆的切线．

ADAES△ABEAES△BDEBDAB－AD

16．设