2024-2025学年广东省惠州市高一下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年广东省惠州市高一下学期第一次月考数学检测试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用复数的乘法化简可得结果.【详解】.故选：D.2.已知向量，，若与共线，则实数（）A. B. C.1 D.2【正确答案】C【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解.【详解】已知向量,,所以，因为与共线，所以，解得.故选：C3.已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（）A. B.C D.【正确答案】A【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.【详解】在中，取为基底，因为点分别为的中点，，所以，所以.故选：A.4.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据数量积的定义结合充分条件、必要条件的概念可得结果.【详解】由可得，故，所以.由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到.综上得，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（）A. B.1 C. D.【正确答案】C【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，，,所以有，所以，得.故选：C6.已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据直角三角形的几何性质，结合相似三角形的性质，利用平面向量的数量积的定义公式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：由，则由，则，解得，易知，则，即，.故选：B.7.欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】变形复数，再利用复数的乘法运算求出，并表示成形式作答.【详解】，，，依题意，，当时，，B正确，ACD错误故选：B8.已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角.【详解】由，得①，由，得②，由②-①，得，由，得，所以，则，设与的夹角为，则，因为，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，则（）A.的虚部为1 B.为纯虚数C. D.在复平面内对应的点位于第一象限【正确答案】BCD【分析】化简，再由复数的定义判断A，计算后判断BCD．【详解】，虚部为2，A错；，是纯虚数，B正确；，C正确；，对应点坐标为，在第一象限，D正确，故选：BCD．10.在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则不可能为（）A.等腰直角三角形 B.等边三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【正确答案】BCD【分析】由余弦定理求出，然后可得角，然后可选出答案.【详解】由余弦定理，所以，又，所以，故为等腰直角三角形.故选：BCD本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单.11.如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（）A.B.当时，C.面积的最大值为D.游览路线最长为【正确答案】ACD【分析】运用正余弦定理解三角形即可判断AB，在用余弦定理解三角形的同时结合基本不等式即可判断CD.【详解】在中，由余弦定理得，所以正确；在中，由正弦定理，得错误；在中，由余弦定理，，当且仅当时等号成立，所以，则的面积为，C正确；由上可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量和向量的夹角为30°，，，则______．【正确答案】3【分析】条件中给出两个向量的模和向量的夹角，直接代入公式进行计算即可．【详解】解：量和向量的夹角为，，，又，.故3．13.已知是虚数单位，复数，则|z|＝______．【正确答案】【分析】根据复数的运算法则和周期性可得结果.【详解】根据的周期性（周期为），即，，，，所以有,可知,.故14.在中，，，则的值为______．【正确答案】【分析】利用向量的数量积化简已知条件，再利用余弦定理和正弦定理化简即可求解.【详解】在中，，可得即由余弦定理可知，可得，由正弦定理可知，因为，所以.故答案为.关键点点睛：本题解题的关键点是将已知条件转化为三角形的边和角，再利用正弦和余弦定理计算.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设，是两个不共线的向量，已知，，．（1）求证：，，三点共线；（2）若，且，求实数的值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先根据向量的线性运算，求得，再判断与的关系，即可证明.（2）根据向量平行的结论，求参数的值.【小问1详解】由已知，得．因为，所以.又与有公共点，所以，，三点共线．【小问2详解】由（1），知，若，且，可设（），所以，即．又，是两个不共线的向量，所以，解得．16.已知，.（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量的模．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用数量积的运算律求出，再求出.（2）利用投影向量的意义，结合向量模的定义求解.【小问1详解】由，得，而，则，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，向量在向量上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量的模为.17.△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且.（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的周长的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理将角化边及余弦定理即可求解；（2）由数量积可求出，结合（1）可求出，进而可知△ABC的周长.【小问1详解】因，所以，即，所以，因为，所以【小问2详解】因为，所以，即，所以，由（1）知，所以又，所以，解得，所以△ABC周长为，所以△ABC的周长为.18.养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知．（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？【正确答案】（1）千米（2）万元【分析】（1）由余弦定理计算即可；（2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值.【小问1详解】在中，由余弦定理，得即岸线上点与点之间的直线距离为千米．【小问2详解】在中，，则，设两段网箱获得的经济总收益为万元，则因为，所以，所以所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元．19.对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.（1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.①，；②，，；（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式，同时成立，其中，则.【正确答案】（1）①线性无关；②线性相关；理由见解析（2）向量，，线性无关；理由见解析（3）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可；（2）设，则，然后由条件得到即可判断；（3）①如果某个，，然后证明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可.【小问1详解】对于①，设，则可得，所以，线性无关；对于②设，则可得，所以，，可取不全为零，故，线线性相关；【小问2详解】设，则