【数学】高二数学(理)试卷(联考卷)

【数学】高二数学(理)试卷(联考卷)（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.若复数$z=a+bi$满足$z^2=(1+i)z$，则实数$a$和$b$的值分别是（）。A.$a=1,b=0$B.$a=0,b=1$C.$a=1,b=1$D.$a=0,b=0$2.已知函数$f(x)=x^22x+1$，则$f(x)$的最小值为（）。A.0B.1C.1D.不能确定3.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，则公差$d$为（）。A.2B.3C.4D.54.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(x,6)$，且$\vec{a}$与$\vec{b}$共线，则$x$的值为（）。A.4B.2C.2D.45.若函数$y=\ln(x^21)$的定义域为$D$，则$D$等于（）。A.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(1,1)$C.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$D.$(\infty,+\infty)$二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1.已知函数$y=\frac{1}{x1}$，则$y'$的值为________。2.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，则$a_4$的值为________。3.在直角坐标系中，点$A(2,3)$到直线$y=4x1$的距离为________。4.若复数$z=3+4i$，则$|z|$的值为________。5.若函数$f(x)=\sin(x)+\cos(x)$，则$f(\frac{\pi}{4})$的值为________。三、解答题（共3题，每题10分，共30分）1.已知函数$f(x)=x^33x^2+2$，求$f(x)$的零点。2.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$d=3$，求$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。3.已知点$A(1,2)$，$B(3,4)$，求线段$AB$的垂直平分线的方程。四、证明题（共2题，每题10分，共20分）1.证明：对于任意正整数$n$，$n^2<n!$。2.证明：在直角三角形中，斜边的长度大于任意一条直角边的长度。五、应用题（共1题，共10分）1.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为$200$元，售价为$300$元。若每月生产$x$件产品，则每月的总成本为$C=200x$元，总收入为$R=300x$元。求每月的利润$P$关于$x$的函数关系式，并求出当$x=100$时的月利润。八、计算题（共3题，每题8分，共24分）1.计算极限lim(x→2)(x^24)/(x2)。2.计算积分∫(1toe)ln(x)dx。3.计算行列式|201030104|。九、判断题（共5题，每题4分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内一定有最大值和最小值。（）2.若向量a与向量b垂直，则它们的点积为0。（）3.若矩阵A可逆，则A的转置矩阵A^T也可逆。（）4.若函数y=e^x的图像关于y轴对称，则其反函数y=ln(x)的图像也关于y轴对称。（）5.在等差数列中，若公差为0，则该数列是常数列。（）十、简答题（共3题，每题6分，共18分）1.简述罗尔定理的内容。2.简述空间直角坐标系中向量的表示方法。3.简述矩阵乘法的计算方法。十一、推理题（共2题，每题8分，共16分）1.已知函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b)<0。证明：存在c(a,b)，使得f(c)=0。2.已知向量a(1,2)，向量b(3,4)，且向量c与向量a、b都垂直。求向量c的坐标。十二、作图题（共1题，共10分）1.作出函数y=x^33x^2的图像，并标出其拐点。十三、探究题（共2题，每题8分，共16分）1.探究函数f(x)=|x|在x=0处的连续性和可导性。2.探究矩阵A与矩阵A^T的特征值之间的关系。十四、综合题（共1题，共14分）1.已知函数f(x)=x^33x^29x+5，求f(x)的极值点和极值，并判断f(x)的最大值和最小值。十五、实际应用题（共1题，共10分）1.某公司生产两种产品A和B，产品A的单件利润为100元，产品B的单件利润为200元。若公司每月的总利润为P元，产品A的销量为x件，产品B的销量为y件，且x+y=100。求P关于x和y的函数关系式，并求出当x=60时的最大利润。一、选择题1.A2.B3.C4.D5.B二、填空题1.32.13.04.15.0三、解答题1.an13+(n1)2，Sn(n/2)[2a1+(n1)d]2.y=x+33.x2+y2=5四、证明题1.证明：对于任意正整数n，n2<n!证明：当n=1时，1^21!，成立。假设当n=k(k>1)时，k^2<k!成立，即k^2<k(k1)!。则当n=k+1时，(k+1)^2=k^2+2k+1<k(k1)!+2k+1<(k+1)k!<k!。所以，对于任意正整数n，n^2<n!成立。2.证明：在直角三角形中，斜边的长度大于任意一条直角边的长度。证明：设直角三角形ABC，其中∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。根据勾股定理，c^2=a^2+b^2。则c^2a^2=b^2>(a/2)^2，即c^2>(a/2)^2+a^2=(3a/2)^2。所以，c>3a/2>a，同理可证c>b。因此，斜边的长度大于任意一条直角边的长度。五、应用题1.P=(300200)x=100x，当x=100时，P=10000元。八、计算题1.02.e^213.8九、判断题1.×2.√3.√4.×5.√十、简答题1.罗尔定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]内连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c(a,b)，使得f'(c)=0。2.空间直角坐标系中，向量veca(x,y,z)的表示方法为：以原点O为起点，指向点A(x,y,z)的有向线段。3.矩阵乘法的计算方法：设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=AB为m×p矩阵，其中C的元素cij为A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。十一、推理题1.证明：因为f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b)<0，所以f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点c。又因为f(x)在区间(a,b)内可导，所以f'(x)在区间(a,b)内存在。根据介值定理，存在d(a,b)，使得f'(d)=0。2.解：设向量c(x,y)，则向量c与向量a、b都垂直，即c·a=0，c·b=0。所以，x+2y=0，3x+4y=0。解得x=6，y=3，所以向量c(6,3)。十二、作图题1.图略。十三、探究题1.探究：当x0时，f(x)在x0处连续，因为lim(x0)f(x)=f(x0)。当x0时，f(x)在x0处可导，因为lim(h0)f'(x0+h)f'(x0)/h=0。2.探究：矩阵A与矩阵AT的特征值可能相同，也可能不同。当A为对称矩阵时，A与AT的特征值相同。十四、综合