2024-2025学年上学期高二数学北师大版期中必刷常考题之数列的概念及其函数特性

第26页（共26页）2024-2025学年上学期高二数学北师大版（2019）期中必刷常考题之数列的概念及其函数特性一．选择题（共5小题）1．（2024秋•聊城期末）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞0，且q≠1”是“数列{an}为单调递增或单调递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024秋•宣城期末）已知数列{cn}是递增数列，且cn=(3-A．（1，3） B．（1，2] C．（2，3） D．（2，4]3．（2024秋•烟台期末）若一数列的前4项分别为13A．an=(-1)nC．an=(-1)4．（2024秋•广东校级期末）已知数列2，6，22，10，…，2n+2A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项5．（2025•海淀区校级模拟）已知数列{an}满足对任意的i，j∈N*，都有aj﹣ai＝2（j﹣i）．若a3+a5＝a7，则a3＝（）A．1 B．2 C．3 D．4二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•海州区校级期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝35，则（）A．nan的最小值为1 B．Sn的最小值为1 C．{ann2}为递减数列（多选）7．（2024秋•德州期末）数列{an}满足：a1＝1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数A．-92 B．-18 C．-（多选）8．（2024秋•新城区期末）已知等比数列{an}是递减数列，q是其公比，则下列说法一定正确的是（）A．a1＜0 B．q＞0 C．a1q＜0 D．a1（q﹣1）＜0三．填空题（共4小题）9．（2024秋•石景山区期末）首项为正数的数列{an}满足an+1＝λ（an①存在λ和a1，使得{an}是等比数列；②若λ=14且a1是奇数，则③若λ=14且a1＞3，则存在n使得an④若λ∈(0，14]且1＜a1＜3其中所有正确结论的序号是．10．（2024秋•天津期末）23，415，635，863，1099，…的一个通项公式是11．（2024秋•宁城县期末）设数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，若数列{an}是递增数列，则实数k的范围为．12．（2024秋•上海校级期中）已知数列{an}（n≤9）各项均为正整数，对任意的k∈N（2≤k≤8），ak＝ak﹣1+1和ak＝ak+1﹣1中有且仅有一个成立，且a1＝6，a9＝12．记S9＝a1+a2+…+a9.给出下列四个结论．①{an}不可能是等差数列；②{an}中最大项为a9；③S9不存在最大值；④S9的最小值为34．其中所有正确结论的序号是．四．解答题（共3小题）13．（2024春•余干县校级期中）数列{an}的通项公式是an（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？14．（2024秋•贵州期中）已知m∈N*，m≥5，定义：数列{an}共有m项，对任意i，j（i，j∈N*，i≤j≤m），存在k1（k1∈N*，k1≤m），使得aiaj＝ak1，或存在k2（k2∈N*，k2≤m），使得ajai=ak（1）若an＝n（1≤n≤10，n∈N*），判断数列{an}是否为“封闭数列”；（2）已知递增数列a1，2，a3，8，a5为“封闭数列”，求a1，a3，a5；（3）已知数列{an}单调递增，且为“封闭数列”，若a1≥1，证明：{an}是等比数列．15．（2024•江西模拟）公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得n值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率．我们作单位圆的外切和内接正3×2n边形（n＝1，2，3⋯⋯），记外切正3×2n边形周长的一半为an，内接正3×2n边形周长的一半为bn．通过计算容易得到：an=3×2ntanθn（其中θ（1）求{bn}的通项公式；（2）求证：对于任意正整数n，（3）试问对任意正整数n，bn、bn+1、an+1是否能构成等比数列？说明你的理由．

2024-2025学年上学期高二数学北师大版（2019）期中必刷常考题之数列的概念及其函数特性参考答案与试题解析题号12345答案CCACD一．选择题（共5小题）1．（2024秋•聊城期末）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞0，且q≠1”是“数列{an}为单调递增或单调递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数列的单调性；充分条件必要条件的判断．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，由等比数列的性质和数列单调性的定义，分析“q＞0，且q≠1”和“数列{an}为单调递增或单调递减数列”因果关系，综合可得答案．【解答】解：根据题意，若q＞0，且q≠1，即0＜q＜1或q＞1，当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，有an+1﹣an＝a1qn﹣a1qn﹣1＝a1qn﹣1（q﹣1）＞0，n∈N且n≥1，数列{an}为单调递增数列，当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，0＜q＜1时，有an+1﹣an＝a1qn﹣a1qn﹣1＝a1qn﹣1（q﹣1）＜0，n∈N且n≥1，数列{an}为单调递减数列，则“q＞0，且q≠1”是“数列{an}为单调递增或单调递减数列”的充分条件，反之，若数列{an}为单调递增或单调递减数列，则该数列为正项数列或负项数列，则q＞0，且q≠1，则“q＞0，且q≠1”是“数列{an}为单调递增或单调递减数列”的必要条件，故“q＞0，且q≠1”是“数列{an}为单调递增或单调递减数列”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查数列的单调性，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．2．（2024秋•宣城期末）已知数列{cn}是递增数列，且cn=(3-A．（1，3） B．（1，2] C．（2，3） D．（2，4]【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】C【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得a的取值范围．【解答】解：由数列{cn}是递增数列，且cn可得3-解得2＜a＜3．则a的取值范围是（2，3）．故选：C．【点评】本题主要考查数列的单调性，考查计算能力，属于基础题．3．（2024秋•烟台期末）若一数列的前4项分别为13A．an=(-1)nC．an=(-1)【考点】由数列若干项归纳出通项公式．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】A【分析】观察前四项，寻找规律，能求出该数列的通项公式．【解答】解：一数列的前4项分别为13则a1a2a3a4∴该数列的通项公式可能为an故选：A．【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2024秋•广东校级期末）已知数列2，6，22，10，…，2n+2A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项【考点】由数列若干项归纳出通项公式．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】令2n【解答】解：数列2，6，22，10，…，2令2n+2=46，解得∴46是这个数列的第22项．故选：C．【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2025•海淀区校级模拟）已知数列{an}满足对任意的i，j∈N*，都有aj﹣ai＝2（j﹣i）．若a3+a5＝a7，则a3＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由数列若干项归纳出通项公式．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】D【分析】先设数列的通项公式，根据已知条件可求得结果．【解答】解：设an＝kn+b（k，b为常数），则aj＝kj+b，ai＝ki+b，所以aj﹣ai＝k（j﹣i），因为对任意的i，j∈N*，都有aj﹣ai＝2（j﹣i），所以k＝2，则an＝2n+b，所以a3＝6+b，a5＝10+b，a7＝14+b，a3+a5＝16+2b，因为a3+a5＝a7，所以16+2b＝14+b，解得b＝﹣2，所以an＝2n﹣2，则a3＝2×3﹣2＝4．故选：D．【点评】本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•海州区校级期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝35，则（）A．nan的最小值为1 B．Sn的最小值为1 C．{ann2}为递减数列【考点】数列的单调性；求等差数列的前n项和．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】ABD【分析】根据等差数列及求和公式基本量运算得出an＝3n﹣2及Sn=n(3n-1)2，再结合二次函数最值判断A，【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝35，假设{an}的公差为d，由S5=5(a1+a5)2=5a3=35，所以a3＝7，所以d所以an＝3n﹣2，Sn选项A：nan=n(3n-2)=3(n-13)2-13选项B：Sn=n(3n-1)2=32n2-12n，因为n为正整数，1离对称轴选项C：ann2=-2n2+3选项D：Snn=32故选：ABD．【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查数列单调性的判断，属于中档题．（多选）7．（2024秋•德州期末）数列{an}满足：a1＝1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数A．-92 B．-18 C．-【考点】由通项公式求解或判断数列中的项．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】BC【分析】由数列{an}满足：a1＝1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数，分别令n＝2，可求得a2，根据条件先求出a2n﹣2与a2【解答】解：∵a1＝1，an∴令n＝2得a2=3a2n﹣2+1＝a2n﹣2﹣2（2n﹣2）即a2n﹣1＝a2n﹣2﹣2（2n﹣2），a2n﹣1+1=12a2n﹣1+（2n﹣1）即a2n=12a2n﹣2﹣（2n﹣2）+（2∴a2n=12a2n﹣2∴a2n﹣2=12（a2n﹣2﹣∴{a2n﹣2}是以-12为首项，公比为∴a2n＝﹣（12）n+2故bn＝a2n﹣2＝﹣（12）n，∴n＝2时，b2=-14，n＝3时，故选：BC．【点评】本题考查了由数列的递推关系求通项公式，等比数列的定义及通项公式，同时考查了计算能力，属于中档题．（多选）8．（2024秋•新城区期末）已知等比数列{an}是递减数列，q是其公比，则下列说法一定正确的是（）A．a1＜0 B．q＞0 C．a1q＜0 D．a1（q﹣1）＜0【考点】数列的单调性；等比数列的性质．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】BD【分析】根据题意，举出反例可得A、C错误，由等比数列和数列单调性的定义的性质分析B和D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，等比数列{an}的首项a1＝1，q=12，是递减数列，但a1＞0，对于B，等比数列{an}是递减数列，则数列{an}一定是全部为正或全部为负的数列，必有q＞0，B正确；对于C，等比数列{an}的首项a1＝1，q=12，是递减数列，但a1q＞0，对于D，等比数列{an}是递减数列，当n≥1且n∈Z时，有an+1﹣an＝a1qn﹣a1qn﹣1＝a1qn﹣1（q﹣1）＜0，又由q＞0，必有a1（q﹣1）＜0，D正确．故选：BD．【点评】本题考查数列的单调性，涉及等比数列的性质，属于基础题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•石景山区期末）首项为正数的数列{an}满足an+1＝λ（an①存在λ和a1，使得{an}是等比数列；②若λ=14且a1是奇数，则③若λ=14且a1＞3，则存在n使得an④若λ∈(0，14]且1＜a1＜3其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】数列的单调性；等比数列的概念与判定．【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．【答案】①②④．【分析】本题利用等比数列的定义、数列的函数特性和数列单调性进行求解．【解答】解：对于①，当a1＝1，λ=14时，an＝1，此时{a对于②，设a1＝2k+1，（k∈N），则a2＝k2+k+1为奇数，当k为偶数时k2+k为偶数，则a2＝k2+k+1为奇数，当k为奇数时k2+k为偶数，则a2＝k2+k+1为奇数，所以当λ=14且a1是奇数时，a2也为奇数，同理，an对于③，因为λ=14，则an+1=an24+34，当a1＞3时，a2=a124+34＞94+3对于④，an+1﹣an＝λ（an2+3）﹣an＝λan2-an+3λ，令函数f（an）＝λ因为λ∈(0，14]，函数f（an）是开口向上的二次函数，若1即最大值为f（1）＝4λ﹣1或f（3）＝12λ﹣3，又因为λ∈(0，14]，所以f（1）＝4λ﹣1≤0，f（3）＝12则当1＜an＜3时，f（an）＜0，即an+1﹣an＜0，又因为当1＜a1＜3时，a2=a1所以当1＜a1＜3时，1＜a2＜a1＜3，则1＜a3＜a2，同理可得1＜an＜an﹣1＜3，n≥4，所以此时{an}是递减数列，所以④正确．故选：①②④．【点评】本题主要考查等比数列的定义、数列的函数特性和数列单调性，属于中档题．10．（2024秋•天津期末）23，415，635，863，1099，…的一个通项公式是【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题；整体思想；归纳法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】2n【分析】根据分子为偶数列，分母为两个相邻连续奇数相乘，即可求出通项公式．【解答】解：分子为偶数列，分母为两个相邻连续奇数相乘，则23，415，635，863，故答案为：2n【点评】本题考查了数列的通项公式，关键找到规律，属于基础题．11．（2024秋•宁城县期末）设数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，若数列{an}是递增数列，则实数k的范围为（﹣3，+∞）．【考点】数列的函数特性．【专题】转化法；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】数列{an}是递增数列，可得an+1＞an，化简利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{an}是递增数列，∴an+1＞an，∴（n+1）2+k（n+1）＞n2+kn，化为：k＞﹣（2n+1），对于∀n∈N*都成立．∴k＞﹣3．∴实数k的范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（2024秋•上海校级期中）已知数列{an}（n≤9）各项均为正整数，对任意的k∈N（2≤k≤8），ak＝ak﹣1+1和ak＝ak+1﹣1中有且仅有一个成立，且a1＝6，a9＝12．记S9＝a1+a2+…+a9.给出下列四个结论．①{an}不可能是等差数列；②{an}中最大项为a9；③S9不存在最大值；④S9的最小值为34．其中所有正确结论的序号是③④．【考点】数列的单调性．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】③④．【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出最小值判断④作答．【解答】解：数列{an}（n≤9）各项均为正整数，对任意的k∈N（2≤k≤8），ak＝ak﹣1+1和ak＝ak+1﹣1中有且仅有一个成立，且a1＝6，a9＝12．记S9＝a1+a2+…+a9．对于①，当k∈N（2≤k≤8）时，由ak＝ak﹣1+1得ak﹣ak﹣1＝1，由ak＝ak+1﹣1得ak+1﹣ak＝1，于是ak﹣ak﹣1与ak+1﹣ak仅只一个为1，即ak﹣ak﹣1≠ak+1﹣ak，因此数列{an}不能是等差数列，①错误；对于④，令bm＝am+1﹣am（1≤m≤8），依题意，bm与bm+1均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1），若b1＝b3＝b5＝b7＝1，则a2＝a1+b1＝7，a3＝a2+b2≥1，a4＝a3+b3≥2，a5＝a4+b4≥1，a6＝a5+b5≥2，a7＝a6+b6≥1，a8＝a7+b7≥2，而a1＝6，a9＝12，因此S9=i=19当且仅当数列为6，7，1，2，1，2，1，2，12时取等号，若b2＝b4＝b6＝b8＝1，则a2＝a1+b1≥1，a3＝a2+b2≥2，a4＝a3+b3≥1，a5＝a4+b4≥2，a6＝a5+b5≥1，a7＝a6+b6≥2，a8＝a9﹣b8＝11，而a1＝6，a9＝12，因此S9=i=19当且仅当数列为6，1，2，1，2，1，2，11，12时取等号，从而S9的最小值为34，④正确；对于②，当b1＝b3＝b5＝b7＝1时，取b2＝b4＝b6＝p，b8＝4﹣3p，p∈N，p≠1，数列{an}为：6，7，7+p，8+p，8+2p，9+2p，9+3p，10+3p，12，满足题意，取p＝2，a8＝16＞12＝a9，{an}中最大的项不为a9，②错误；对于③，由于p的任意性，即p无最大值，因此S9＝76+12p不存在最大值，③正确，所以所有正确结论的序号是③④．故答案为：③④．【点评】本题考查数列的求和与最值、等差数列的定义，考查转化思想和推理能力，属于中档题．四．解答题（共3小题）13．（2024春•余干县校级期中）数列{an}的通项公式是an（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）﹣6；（2）16项．【分析】（1）利用数列{an}的通项公式能求出这个数列的第4项．（2）由an=【解答】解：（1）数列{an}的通项公式是an∴这个数列的第4项是：a4＝42﹣7×4+6＝﹣6．（2）an=n2-7n+6=150，即n2解得n＝16或n＝﹣9（舍），∴150是这个数列的项，是第16项．【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（2024秋•贵州期中）已知m∈N*，m≥5，定义：数列{an}共有m项，对任意i，j（i，j∈N*，i≤j≤m），存在k1（k1∈N*，k1≤m），使得aiaj＝ak1，或存在k2（k2∈N*，k2≤m），使得ajai=ak（1）若an＝n（1≤n≤10，n∈N*），判断数列{an}是否为“封闭数列”；（2）已知递增数列a1，2，a3，8，a5为“封闭数列”，求a1，a3，a5；（3）已知数列{an}单调递增，且为“封闭数列”，若a1≥1，证明：{an}是等比数列．【考点】数列的单调性；等比数列的概念与判定．【专题】整体思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．【答案】（1）数列{an}不是“封闭数列”．（2）a1＝1，a3＝4，a5＝16．（3）证明过程见解答．【分析】（1）举出反例，得到数列{an}不是“封闭数列”．（2）数列递增，由a5a5=1求出a1＝1，通过分析得到a58，a得a5＝16，由a5a3=a3，得a3＝4，所以a1＝1，a3＝4（3）数列{an}单调递增，所以amam=1是{an}中的项，即a1＝1，且ama推出1＝a1＜amam-1＜amam-2＜⋯＜ama2＜am．根据上式的项数得到am=aiam+1-i(1＜i【解答】解：（1）由题意知，数列{an}为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．因为a2•a7＝2×7＝14，a7a2=72，14和7所以数列{an}不是“封闭数列”．（2）由题意数列递增可知a1＜2＜a3＜8＜a5，则a52不是{an所以a5a5=1是{an}中的项，即a因为a5ai＞a5(1＜i＜5，所以a58=2，得a5由a5a3=a3，得a3＝4，所以a1＝1，a3＝4（3）证明：因为数列{an}单调递增，所以am＞1．则am2不是{an所以amam=1是{an}中的项，即a因为amai（1＜i≤m，i∈N*）不是{an}中的项，所以amai是{a所以1＝a1＜a因为a1，amam-1，amam所以am＝aiam+1﹣i（1＜i≤m﹣1，i∈N*）①，类似地，2＜j≤m﹣1，j∈N*，am﹣1aj＞am，则am﹣1aj不是{an}中的项，所以am-1aj是1＝a1＜a所以am﹣1＝ajam﹣j（2＜j≤m﹣2，i∈N*）②，由①和②得amam-1=a所以{an}是首项为1的等比数列．【点评】本题考查数列综合应用，属于中档题．15．（2024•江西模拟）公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得n值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率．我们作单位圆的外切和内接正3×2n边形（n＝1，2，3⋯⋯），记外切正3×2n边形周长的一半为an，内接正3×2n边形周长的一半为bn．通过计算容易得到：an=3×2ntanθn（其中θ（1）求{bn}的通项公式；（2）求证：对于任意正整数n，（3）试问对任意正整数n，bn、bn+1、an+1是否能构成等比数列？说明你的理由．【考点】由实际问题归纳出数列的通项．【专题】新定义；探究型；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学抽象；逻辑思维；数学建模．【答案】（1）bn=3⋅2n⋅【分析】由题意及θn＝2θn+1，结合三角函数的公式运用，利用等差中项法、等比中项法证明数列是等差数列，等比数列．【解答】解：（1）如图，等腰三角形OAB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝2θn，所以sinθn=（2）证明：因为an=3×2所以an+1=3×2n+1tanθn所以1=cos=cos=2=1故对于任意正整数n，（3）因为an=3×2所以an+1=3×所以bn+12=（3×2n+1sinθn+1）2＝9×22n+2sin2an+1bn＝3×2n+1tanθn+1×3×2nsinθn＝9×22n+1tanθn+1sin2θn+1＝9×22n+1×sinθn+1cosθn+1×2sinθn+1cosθn+1＝9×22n即an+1bn=b所以，对任意正整数n，bn、bn+1、an+1能构成等比数列．【点评】本题考查了运用等差中项法、等比中项法证明数列问题，结合三角函数的公式，属于中档题．

考点卡片1．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．数列的概念及简单表示法【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．3．由数列若干项归纳出通项公式【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【解题方法点拨】﹣观察规律：通过观察数列前几项的规律，推导出通项公式．﹣设未知数：假设通项公式an＝f（n），代入前几项求解参数．﹣验证公式：验证推导出的通项公式是否适用于数列的每一项．【命题方向】常见题型包括通过数列的前几项推导出通项公式，结合具体数列进行分析．数列﹣2，1，-23，12A．an＝（﹣1）n+12B．an＝（﹣1）nnC．an＝（﹣1）n2D．an＝（﹣1）n+12解：根据题意，数列﹣2，1，-23，12，-25，…的前5项可以写成（﹣1）1×21、（﹣1）2×22、（﹣1）3×23则数列的一个通项公式可以为an＝（﹣1）n×2故选：C．4．由通项公式求解或判断数列中的项【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【解题方法点拨】由通项公式求解或判断数列中的项是指根据数列的通项公式计算某一项的值或判断某一项的性质．代入计算：将通项公式中的n取不同的值，计算数列的具体项．【命题方向】常见题型包括利用通项公式计算数列的具体项或判断数列的性质，结合具体数列进行分析．已知数列{an}的通项公式为an＝n2+n，则下列是该数列中的项的是（）A．18B．12C．25D．30解：根据题意，数列{an}的通项公式为an＝n2+n，依次分析选项：对于A，若an＝n2+n＝18，无正整数解，不符合题意，对于B，若an＝n2+n＝12，解可得n＝3或﹣4，有正整数解n＝3，符合题意，对于C，若an＝n2+n＝25，无正整数解，不符合题意，对于D，若an＝n2+n＝30，解可得n＝5或﹣6，有正整数解n＝5，符合题意，故选：BD．5．由实际问题归纳出数列的通项【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【解题方法点拨】由实际问题归纳出数列的通项是指通过实际问题中的数列关系，推导出数列的通项公式．﹣分析问题：分析实际问题中的数列关系，找出递推关系或规律．﹣设未知数：假设数列的递推公式或通项公式，代入实际问题中的条件求解参数．﹣推导通项：根据递推关系或规律推导出数列的通项公式．【命题方向】常见题型包括通过实际问题中的数列关系，推导出数列的通项公式，结合具体问题进行分析．如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第n个图案中所有着色的正方形的面积之和为an，则数列{an}的通项公式an＝_____．解：根据题意，a1=1a2=1a3=19+89×……归纳可得：an=19+89×19是首项为19，公比为89的等比数列的前故an=1故答案为：1-6．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn=a1(1-qn3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【解题方法点拨】典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故选：B．典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{Sn}也为等差数列，则SA．310B．212C．180D．121解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，其前n项和为Sn=n∴SnS1=1，S2∵数列{Sn}∴2S∴22+d=解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn由于{(1∴Sn+10an2故选：D．7．数列的单调性【知识点的认识】数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．由于数列{an}中的每一项an与它的序号n是一一对应的，所以数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an}．【解题方法点拨】﹣定义判断：根据数列的定义或通项公式判断其单调性．﹣递推关系：利用数列的递推关系分析其单调性．﹣数列差：分析数列相邻两项的差an+1﹣an的符号判断单调性．【命题方向】常见题型包括利用定义、递推关系、数列差判断数列的单调性，结合具体数列进行分析．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）A．an＝1﹣nB.aC．an＝2n2﹣5n+1D.a解：根据题意，依次分析选项：对于A，an＝1﹣n，有an+1﹣an＝1﹣（n+1）﹣1+n＝﹣1，是递减数列，不符合题意，对于B，an=14n，有an+1﹣an对于C，an＝2n2﹣5n+1，有an+1﹣an＝2（n+1）2﹣5（n+1）+1﹣2n2+5n﹣1＝4n﹣3，由于n≥1，则an+1﹣an＝4n﹣3＞0，是递增数列，符合题意，对于D，an=n+3，n≤2，2n-1，故选：