2024-2025学年上学期高二数学北师大版期中必刷常考题之导数的计算

第18页（共18页）2024-2025学年上学期高二数学北师大版（2019）期中必刷常考题之导数的计算一．选择题（共5小题）1．（2024秋•安阳期末）已知函数f(x)=xex+2kA．e B．e2 C．1 D．﹣2．（2024秋•诸暨市期末）下列选项正确的是（）A．（sin10°）′＝cos10° B．(lgC．[（2x+1）（2x﹣1）]′＝8x D．（e﹣x）′＝e﹣x3．（2024秋•保定期末）函数y=logA．1xln2 B．xlnC．1xln2-sin4．（2025•徐州模拟）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]＝3，若x0是方程f（x）﹣f′（x）＝2的一个解，则x0可能存在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．（2024秋•德州期末）已知函数f（x）＝lnx﹣xf'（1），则f（2）＝（）A．ln2﹣1 B．ln2-12 C．12二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•阜宁县校级期末）下列命题正确的有（）A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则lim△B．(cosxC．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则x0D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f（多选）7．（2025•镇江模拟）下列求导运算正确的是（）A．若f（x）＝cos（2x+3），则f′（x）＝2sin（2x+3） B．若f（x）＝e﹣2x+1，则f′（x）＝e﹣2x+1 C．若f(x)=D．若f（x）＝xlnx，则f′（x）＝lnx+1（多选）8．（2024秋•周口期末）下列求导运算正确的是（）A．（eπ）′＝eπ B．（2x3）′＝6x2 C．[sin（cosx）]′＝﹣sinx•cos（cosx） D．(三．填空题（共4小题）9．（2024秋•宿迁校级期末）已知函数f（x）＝ln（2x+1），则f'（1）＝．10．（2024秋•锡山区校级期末）已知函数f(x)=(2x+3)4(x-1x)，11．（2024秋•闵行区校级期末）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝ax+4，若f′（1）＝2，则实数a的值为．12．（2024秋•金安区校级期末）已知函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）＝2x+3f′（0）•ex，则f'（2）＝．四．解答题（共3小题）13．（2024春•琼山区校级期中）求下列函数的导数（1）y=（2）y＝x﹣log2x；（3）y=14．（2024春•西湖区校级期中）已知函数f(（1）计算函数f（x）的导数f′（x）的表达式；（2）求函数f（x）的值域．15．（2024春•龙岩期末）已知函数f（x）的定义域为（1，+∞），其导函数为f′（x）．若存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）＝h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有优化特质M（a）．（参考数值：e-1e（1）设函数F（x）＝x-1x-blnx（x＞1①证明：函数F（x）具有优化特质M（b）；②若b＞0，对任意x∈（1，e），F（x）＜0都成立，求实数b的取值范围；（2）已知函数g（x）具有优化特质M（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的实数α，β，且α＝λx1+（1﹣λ）x2，β＝（1﹣λ）x1+λx2，使得不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数λ的取值范围．

2024-2025学年上学期高二数学北师大版（2019）期中必刷常考题之导数的计算参考答案与试题解析题号12345答案ACABA一．选择题（共5小题）1．（2024秋•安阳期末）已知函数f(x)=xex+2kA．e B．e2 C．1 D．﹣【考点】基本初等函数的导数．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】A【分析】求出f′（x），再由f′（1）＝0可得答案．【解答】解：因为f(所以f'则f′（1）＝（1+1）e﹣2k＝0，解得k＝e．故选：A．【点评】本题主要考查了基本初等函数求导，属于基础题．2．（2024秋•诸暨市期末）下列选项正确的是（）A．（sin10°）′＝cos10° B．(lgC．[（2x+1）（2x﹣1）]′＝8x D．（e﹣x）′＝e﹣x【考点】基本初等函数的导数．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】C【分析】利用导数的运算法则逐项求导判断．【解答】解：根据基本初等函数的求导公式：对于A，（sin10°）′＝0，A错误；对于B，(lgx)'=对于C，[（2x+1）（2x﹣1）]′＝（4x2﹣1）′＝8x，C正确；对于D，（e﹣x）′＝（1ex）′＝﹣e﹣x，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的求导，属于基础题．3．（2024秋•保定期末）函数y=logA．1xln2 B．xlnC．1xln2-sin【考点】基本初等函数的导数．【专题】计算题；对应思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】解：∵y=∴y′=1故选：A．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．（2025•徐州模拟）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]＝3，若x0是方程f（x）﹣f′（x）＝2的一个解，则x0可能存在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】基本初等函数的导数；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用；数学抽象；运算求解．【答案】B【分析】根据条件设f（x）﹣log2x＝t，然后求出t的值，进而求出函数f（x）的表达式，根据函数零点的判定条件即可得到结论．【解答】解：设f（x）﹣log2x＝t，则f（x）＝log2x+t，且f（t）＝3，当x＝t时，f（t）＝log2t+t＝3，解得t＝2，∴f（x）＝log2x+2，f′（x）=1则由f（x）﹣f′（x）＝2得log2x+2-1xln即log2x-1xln设g（x）＝log2x-1xln2，则g（1）=-1ln2＜∴根据根的存在性定理可知在（1，2）内g（x）存在零点，即x0∈（1，2），故选：B．【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，根据函数的性质求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，综合性较强．5．（2024秋•德州期末）已知函数f（x）＝lnx﹣xf'（1），则f（2）＝（）A．ln2﹣1 B．ln2-12 C．12【考点】基本初等函数的导数．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】A【分析】可求导得出：f'(x)=1x-f'(1)，从而可求出f′（1【解答】解：f'∴f′（1）＝1﹣f′（1），解得f'∴f(∴f（2）＝ln2﹣1．故选：A．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•阜宁县校级期末）下列命题正确的有（）A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则lim△B．(cosxC．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则x0D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f【考点】基本初等函数的导数．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】CD【分析】根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误．【解答】解：对于A，limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx=2对于B，(cosxx)'=对于C，f'(x)=12x+1(2x+1)'=22x对于D，f'(x)=2x+3f故选：CD．【点评】本题主要考查了导数的定义及函数的求导公式的应用，属于中档题．（多选）7．（2025•镇江模拟）下列求导运算正确的是（）A．若f（x）＝cos（2x+3），则f′（x）＝2sin（2x+3） B．若f（x）＝e﹣2x+1，则f′（x）＝e﹣2x+1 C．若f(x)=D．若f（x）＝xlnx，则f′（x）＝lnx+1【考点】基本初等函数的导数．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】CD【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【解答】解：f（x）＝cos（2x+3），则f'（x）＝﹣2sin（2x+3），故A错误；f（x）＝e﹣2x+1，则f′（x）＝﹣2e﹣2x+1，故B错误；f(则f'（x）=x'⋅e若f（x）＝xlnx，则f'（x）=x'lnx故选：CD．【点评】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．（多选）8．（2024秋•周口期末）下列求导运算正确的是（）A．（eπ）′＝eπ B．（2x3）′＝6x2 C．[sin（cosx）]′＝﹣sinx•cos（cosx） D．(【考点】基本初等函数的导数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】根据导数的运算对选项进行分析，从而确定正确答案．【解答】解：对于A，因为eπ为常数，所以（eπ）′＝0，故A错误；对于B，因为（2x3）′＝6x2，故B正确；对于C，因为[sin（cosx）]′＝cos（cosx）•（cosx）′＝﹣sinx•cos（cosx），故C正确；对于D，因为(lnx+1故选：BCD．【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•宿迁校级期末）已知函数f（x）＝ln（2x+1），则f'（1）＝23【考点】基本初等函数的导数．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】23【分析】根据对数函数和复合函数的求导公式求出f'(x)=22x+1，然后将x【解答】解：∵f（x）＝ln（2x+1），∴f'∴f'故答案为：23【点评】本题考查了对数函数和复合函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．10．（2024秋•锡山区校级期末）已知函数f(x)=(2x+3)4(x-1x)，【考点】基本初等函数的导数；二项式定理的应用．【专题】对应思想；综合法；导数的综合应用；二项式定理；运算求解．【答案】369．【分析】利用导数的运算法则变形，再由二项式系数的性质求解．【解答】解：由f(得f′（x）=8(2x∴f′（x）的展开式中的常数项为：8（C33＝8（27﹣18）+81+24×9＝72+81+216＝369．故答案为：369．【点评】本题考查导数的运算法则及二项式定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．11．（2024秋•闵行区校级期末）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝ax+4，若f′（1）＝2，则实数a的值为2．【考点】基本初等函数的导数．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】2．【分析】求出f′（x）代入x＝1可得答案．【解答】解：因为f′（x）＝a，所以f′（1）＝a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查基本初等函数的导数，属于基础题．12．（2024秋•金安区校级期末）已知函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）＝2x+3f′（0）•ex，则f'（2）＝2﹣3e2．【考点】基本初等函数的导数．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】2﹣3e2．【分析】先对函数求导，然后把x＝0代入求出f′（0），进而可求．【解答】解：因为f（x）＝2x+3f′（0）•ex，所以f′（x）＝2+3f′（0）•ex，则f′（0）＝2+3f′（0），即f′（0）＝﹣1，f′（x）＝2﹣3ex，则f'（2）＝2﹣3e2．故答案为：2﹣3e2．【点评】本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024春•琼山区校级期中）求下列函数的导数（1）y=（2）y＝x﹣log2x；（3）y=【考点】基本初等函数的导数．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（1）y′＝2xln2+12cos（2）y′＝1-1（3）y′=-【分析】根据导数运算性质运算即可．【解答】解：（1）∵y=2x+sinx2cosx2，∴y′＝2xln2+12cos2（2）∵y＝x﹣log2x，∴y′＝1-1（3）∵y=cosxx，∴y【点评】本题考查导数运算的性质，考查数学运算能力，属于基础题．14．（2024春•西湖区校级期中）已知函数f(（1）计算函数f（x）的导数f′（x）的表达式；（2）求函数f（x）的值域．【考点】基本初等函数的导数；函数的值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（1）f′（x）＝excosx；（2）[1【分析】（1）根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可得出f′（x）＝excosx；（2）0≤x≤π2时，可得出f′（x）≥0，从而得出f（x）在[0，π2]【解答】解：（1）∵f(∴f'（2）∵0≤x≤π2，∴f′（x）＝ex∴函数f（x）在[0∴f(x)∴函数f（x）的值域为[1【点评】本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数的单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．15．（2024春•龙岩期末）已知函数f（x）的定义域为（1，+∞），其导函数为f′（x）．若存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）＝h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有优化特质M（a）．（参考数值：e-1e（1）设函数F（x）＝x-1x-blnx（x＞1①证明：函数F（x）具有优化特质M（b）；②若b＞0，对任意x∈（1，e），F（x）＜0都成立，求实数b的取值范围；（2）已知函数g（x）具有优化特质M（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的实数α，β，且α＝λx1+（1﹣λ）x2，β＝（1﹣λ）x1+λx2，使得不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】基本初等函数的导数；利用导数研究函数的最值．【专题】分类讨论；转化思想；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）①证明见解答；②（e-1e，（2）（0，1）．【分析】（1）①先求出函数F（x）的导函数F′（x），然后说明h（x）=1x2对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，将其配凑成F′（x）＝h（x）（x2﹣bx+1）形式，即可证明函数F（x）具有性质M②根据第一问令φ（x）＝x2﹣bx+1，讨论判别式Δ与0的大小，结合导数研究函数恒成立得解；（2）先求函数g（x）的导数，再分0＜λ＜1，λ≤0，λ≥1进行讨论，结合函数的单调性即可求解．【解答】解：（1）①证明：F′（x）＝1+1当x∈（1，+∞）时，恒有h(使得F′（x）＝h（x）（x2﹣bx+1）=x根据定义可得函数F（x）具有优化特质M（b）．②F'令F'（x）＝0，则x2﹣bx+1＝0，Δ＝b2﹣4，当Δ≤0时，0＜b≤2，此时F'（x）≥0，函数F（x）在（1，e）上单调递增，又F（1）＝0，所以F（x）＜0不成立，舍去；当Δ＞0时，b＞2，设φ（x）＝x2﹣bx+1，其对称轴大于1，φ（1）＝2﹣b＜0，若φ（e）＝e2﹣be+1≤0，即b≥e+1e，则函数F（x又F（1）＝0，所以F（x）＜0恒成立，符合题意；若φ（e）＝e2﹣be+1＞0，即b＜则φ（x）＝0在（1，e）上存在唯一零点x0，函数F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，e）上单调递增，又F（1）＝0，则只需满足F（e）≤0，所以b≥e-1e，从而得综上，实数b的取值范围为（e-1e，（2）由函数g（x）具有优化特质M（2）可得g′（x）＝h（x）（x2﹣2x+1）＝h（x）（x﹣1）2，则函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，当0＜λ＜1时，α＝λx1+（1﹣λ）x2＞λx1+（1﹣λ）x1＝x1，α＝λx1+（1﹣λ）x2＜λx2+（1﹣λ）x2＝x2，即x1＜α＜x2，同理：x1＜β＜x2，由函数g（x）单调性可知：g（x1）＜g（α）＜g（x2），g（x1）＜g（β）＜g（x2），从而不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立；当λ≤0时，α＝λx1+（1﹣λ）x2≥λx2+（1﹣λ）x2＝x2，β＝（1﹣λ）x1+λx2≤λx1+（1﹣λ）x1＝x1，即β≤x1＜x2≤α，由函数g（x）单调性可知：g（β）≤g（x1）＜g（x2）≤g（α），得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符；当λ≥1时，同理可得α≤x1＜x2≤β，由函数g（x）单调性可知：g（α）≤g（x1）＜g（x2）≤g（β），得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符；综上，实数λ的取值范围是（0，1）．【点评】本题主要考查新定义的应用，考查函数的概念、性质及导数的应用等知识，属于中档题．

考点卡片1．函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．2．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．3．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．4．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、