2024-2025学年上学期高一数学北师大版期中必刷常考题之弧度制

第20页（共20页）2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之弧度制一．选择题（共5小题）1．（2025•文昌校级一模）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内按正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin6°的近似值为（π取近似值3.14）（）A．0.314 B．0.157 C．0.105 D．0.0522．（2024秋•黑龙江期末）已知扇形的半径为1cm，它的周长为6cm，那么该扇形的圆心角为（）A．2° B．4 C．4° D．23．（2024秋•河南期末）已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（）A．2 B．1 C．12 D．4．（2024秋•昆明期末）将2πA．30° B．60° C．120° D．150°5．（2025•张掖模拟）在扇形AOB中，∠AOB＝2，且弦AB＝2，则扇形AOB的面积为（）A．2sin2 B．1sin21 C二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•河南模拟）下列说法中正确的有（）A．命题“∀x∈R，cosx≥﹣1”的否定是“∃x∈R，cosx＜﹣1” B．若α是第三象限角，则(sin(C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为12D．若角α的终边过点（a，2a）（a≠0），则sinα（多选）7．（2024秋•盐城期末）下列说法正确的有（）A．终边在y轴上的角的集合为{θB．正切函数f（x）＝tanx的对称中心是（kπ，0）（k∈Z） C．若3a＝4b＝12，则1aD．已知f（x）＝|logax|，若f（m）＝f（n）（m≠n），则mn＝1（多选）8．（2024秋•常德期末）已知某扇形纸片的周长和圆心角分别为44和2，则（）A．该扇形纸片的半径为12 B．该扇形纸片的半径为11 C．该扇形纸片的面积为121 D．该扇形纸片的面积为125三．填空题（共4小题）9．（2025•邓州市校级开学）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分．若弧田所在圆的半径为2，圆心角为2π3，则此弧田的面积为10．（2024秋•光明区校级期末）已知一个扇形的圆心角为30°，所对的弧长为π3，则该扇形的面积为11．（2024秋•金山区校级期末）已知扇形的弧长为2π，面积为3π，则扇形所在圆的半径为．12．（2024秋•盐城期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为弧度．四．解答题（共3小题）13．（2025•浦东新区校级开学）如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角的绝对值为α（0＜α＜π）．（1）当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；（2）当α＝2时，求：弧BC的中点E到弦BC的距离．14．（2024秋•开封期末）如图，以x轴的非负半轴为始边的角α，β的终边分别交圆O（O为坐标原点）于A，B两点，其中A点在第一象限，已知扇形AOB的弧长与面积的数值都是π2（1）求圆心角∠AOB的弧度数；（2）若点A的纵坐标为85，求点B15．（2025•章贡区校级开学）（1）已知角α＝1200°，将α改写成β+2kπ，（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限角；（2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内（不包括边界）的角的集合．

2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之弧度制参考答案与试题解析题号12345答案CBACB一．选择题（共5小题）1．（2025•文昌校级一模）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内按正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin6°的近似值为（π取近似值3.14）（）A．0.314 B．0.157 C．0.105 D．0.052【考点】扇形面积公式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，将一个单位圆等分成60个扇形，则每个扇形的圆心角均为6°，再根据这60个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积列等式，计算即可．【解答】解：将一个单位圆等分成60个扇形，则每个扇形的圆心角均为6°．因为这60个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，又等腰三角形的面积为S=12×1×1×sin6°，圆的面积为s＝所以60×12故选：C．【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．2．（2024秋•黑龙江期末）已知扇形的半径为1cm，它的周长为6cm，那么该扇形的圆心角为（）A．2° B．4 C．4° D．2【考点】弧长公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】B【分析】根据弧长公式即可求解．【解答】解：由题意扇形的半径为1cm，它的周长为6cm，设扇形的圆心角为α，半径为r，由题意可得6＝2r+αr，故α＝4rad．故选：B．【点评】本题考查了扇形的弧长公式的应用，属于基础题．3．（2024秋•河南期末）已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（）A．2 B．1 C．12 D．【考点】扇形面积公式．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】A【分析】根据周长和面积列方程组求得扇形的半径和弧长，代入求角公式即可得解．【解答】解：设扇形的半径为r，所对弧长为l，扇形的周长是24，面积为36，则有2r+l=24，12即扇形的圆心角（正角）的弧度数为2．故选：A．【点评】本题主要考查扇形的面积和弧长，属于基础题．4．（2024秋•昆明期末）将2πA．30° B．60° C．120° D．150°【考点】弧度制．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】由πrad＝180°，得1rad=180°【解答】解：∵πrad＝180°，即1rad=180°∴2π3rad=故选：C．【点评】本题考查了角度与弧度的互化，是基础的会考题型．5．（2025•张掖模拟）在扇形AOB中，∠AOB＝2，且弦AB＝2，则扇形AOB的面积为（）A．2sin2 B．1sin21 C【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；数形结合；综合法；三角函数的求值．【答案】B【分析】由已知可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为SAOB=12r2∵∠AOB＝2，且弦AB＝2，∴可得：α＝2，r=1∴扇形的面积为SAOB=12r2α故选：B．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•河南模拟）下列说法中正确的有（）A．命题“∀x∈R，cosx≥﹣1”的否定是“∃x∈R，cosx＜﹣1” B．若α是第三象限角，则(sin(C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为12D．若角α的终边过点（a，2a）（a≠0），则sinα【考点】扇形面积公式；任意角的三角函数的定义；求全称量词命题的否定．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】AC【分析】应用全称命题的否定写出原命题的否定判断A；由角所在的象限判断对应函数值符号，再应用诱导公式得点坐标为（cosα，tanα）判断B；应用扇形弧长、面积公式求扇形圆心角判断C；根据正弦函数的定义求sinα，注意参数的符号判断D．【解答】解：A：由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为∃x∈R，cosx＜﹣1，故A正确；B：由α是第三象限角，则sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，又sin（π2+α）＝cosα，tan（π+α）＝tanα，所以（cosα，tanαC：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=1012当r=4l=2，则圆心角的弧度数为lr=所以扇形的圆心角（正角）的弧度数为12，故CD：角α的终边过点（a，2a）（a≠0），则sinα=2a故选：AC．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，扇形面积公式，命题的否定的应用，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．（多选）7．（2024秋•盐城期末）下列说法正确的有（）A．终边在y轴上的角的集合为{θB．正切函数f（x）＝tanx的对称中心是（kπ，0）（k∈Z） C．若3a＝4b＝12，则1aD．已知f（x）＝|logax|，若f（m）＝f（n）（m≠n），则mn＝1【考点】终边相同的角（弧度制）；象限角、轴线角．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】根据基础知识可知A正确，B错误，对于C选项先把已知的指数式换成对数式，然后利用换底公式进行计算即可，对于D选项，通过把mn分别代入解析式去计算即可．【解答】解：对于A，当k为奇数时，θ的终边在y轴的负半轴上，当k为偶数时，θ的终边在y轴的正半轴上，所以终边在y轴上的角的集合为{θ对于B，正切函数的对称中心是(kπ对于C，因为3a＝12，所以a＝log312，同理b＝log412，所以1a对于D，因为f（m）＝f（n）（m≠n），所以|logam|＝|logan|，所以log所以m=1n，即mn故选：ACD．【点评】本题考查了正切函数的对称性，对数的运算性质以及终边相同的角的概念，属于基础题．（多选）8．（2024秋•常德期末）已知某扇形纸片的周长和圆心角分别为44和2，则（）A．该扇形纸片的半径为12 B．该扇形纸片的半径为11 C．该扇形纸片的面积为121 D．该扇形纸片的面积为125【考点】扇形面积公式；弧长公式．【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】BC【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，然后根据已知以及弧长公式建立方程，由此求出扇形半径，进而求出扇形面积，由此即可判断各个选项．【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，则由已知可得2r+l＝44，且α＝2，又l＝αr，解得r＝11，l＝22，故A错误，B正确；扇形的面积为S=12×α×r故选：BC．【点评】本题考查了扇形面积公式以及弧长公式的应用，属于基础题．三．填空题（共4小题）9．（2025•邓州市校级开学）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分．若弧田所在圆的半径为2，圆心角为2π3，则此弧田的面积为4【考点】扇形面积公式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解；新文化类．【答案】4π【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答．【解答】解：依题意，等腰△AOB底边AB=2(OAcosπ6)=23，高h而扇形的面积为12所以此弧田的面积为4π故答案为：4π【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，属于基础题．10．（2024秋•光明区校级期末）已知一个扇形的圆心角为30°，所对的弧长为π3，则该扇形的面积为π3【考点】扇形面积公式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】π3【分析】根据弧长公式计算得出半径，再根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角为30°=π则由已知可得π3=π6×则扇形面积为S=故答案为：π3【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，属于基础题．11．（2024秋•金山区校级期末）已知扇形的弧长为2π，面积为3π，则扇形所在圆的半径为3．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】3．【分析】由题意利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：因为扇形的弧长为2π，面积为3π，所以扇形的面积S=1解得r＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．12．（2024秋•盐城期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为2弧度．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】2．【分析】设扇形的圆心角和半径，由周长和面积建立方程组，解出圆心角．【解答】解：由题意折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，设此扇形的圆心角为α，半径为r，则C=2则α=2故答案为：2．【点评】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2025•浦东新区校级开学）如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角的绝对值为α（0＜α＜π）．（1）当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；（2）当α＝2时，求：弧BC的中点E到弦BC的距离．【考点】扇形面积公式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）23，l（2）l2【分析】（1）设半径为r，由弧长公式及周长得r=2l（2）利用垂径定理结合解直角三角形可得．【解答】解：（1）设内圆弧半径为r，则AB＝CD＝OA＝OD＝r，rα+2rα+2r＝2l，则r=所以S扇环=6当且仅当9α=4α，即α=（2）设OE交BC于F，则由垂径定理得OE⊥BC，∠BOE由（1）知，r=所以OF=所以EF=【点评】本题考查了扇形面积公式，涉及到基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．14．（2024秋•开封期末）如图，以x轴的非负半轴为始边的角α，β的终边分别交圆O（O为坐标原点）于A，B两点，其中A点在第一象限，已知扇形AOB的弧长与面积的数值都是π2（1）求圆心角∠AOB的弧度数；（2）若点A的纵坐标为85，求点B【考点】扇形面积公式．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）π4（2）xB【分析】（1）根据扇形的弧长、面积公式进行计算．（2）利用和角公式结合三角函数的定义求解．【解答】解：如图，以x轴的非负半轴为始边的角α，β的终边分别交圆O（O为坐标原点）于A，B两点，其中A点在第一象限，已知扇形AOB的弧长与面积的数值都是π2（1）记圆O的半径为R，扇形AOB的弧长与面积分别为l，S，则由S=12lR得由S=12R所以圆心角∠AOB的弧度数为π4（2）由点A的纵坐标为85，可得sinα=所以cosα=35，cosβ＝cos（α+π4）＝cosαcosπ所以B点横坐标x＝Rcosβ=-【点评】本题主要考查扇形的面积求解，考查计算能力，属于中档题．15．（2025•章贡区校级开学）（1）已知角α＝1200°，将α改写成β+2kπ，（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限角；（2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内（不包括边界）的角的集合．【考点】终边相同的角（弧度制）；象限角、轴线角．【专题】数形结合；综合法；三角函数的求值；逻辑思维．【答案】（1）α=（2）{θ|2【分析】（1）整理可得α=2π（2）根据题意，利用终边在直线上的角的表示方法，求出角θ的集合．【解答】解：（1）因为α=1200所以角α与2π3的终边相同，且2π（2）图①：因为75°所以阴影部分内（不包括边界）的角的集合为{θ图②：因为30°所以阴影部分内（不包括边界）的角的集合为{θ【点评】本题主要考查终边相同的角的表示以及象限角、轴线角，属于基础题．

考点卡片1．求全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几何中关于图形性质的全称命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．写出命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定：_____．解：因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定是“∃x∈Z，|x|∉N”，故答案为：∃x∈Z，|x|∉N．2．终边相同的角（弧度制）【知识点的认识】终边相同的角：2kπ+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是2π的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．【解题方法点拨】利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和．﹣利用终边相同的角的性质，设定角度θ和θ+2πk（其中﹣确定具体问题中角度的表达形式，求解相关角度值．【命题方向】常见题型包括弧度制下终边相同的角的计算，结合具体问题求解相关角度值．在[0，2π）上与-11π6解：∵与-11π6终边相同的角是2kπ-11π∴令k＝1，可得在[0，2π）上与-11π6故答案为：π63．象限角、轴线角【知识点的认识】在直角坐标系内讨论角（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．【解题方法点拨】（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．【命题方向】已知α是第二象限角，那么α2A．第一象限角B．第二象限角C．第二或第四象限角D．第一或第三象限角分析：用不等式表示α是第二象限角，将不等式两边同时除以2，即得α2的取值范围（用不等式表示的），分别讨论当k取偶数、奇数时，α解：∵α是第二象限角，∴2kπ+π2＜α＜2kπ+π，k∴kπ+π4＜α2＜kπ当k取偶数（如0）时，α2是第一象限角，当k取奇数（如1）时，α故选D．点评：本题考查象限角的表示方式，利用了不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．4．弧度制【知识点的认识】弧度制的有关概念与公式1.1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|=lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，2．弧度制把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值lr与所取的r【解题方法点拨】角度制与弧度制不可混用角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．【命题方向】将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是（）A．π3B．π6C．-π3分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨慢是逆时针旋转∴钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为16×2故选A．点评：本题考查弧度的定义，一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．5．弧长公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S=12lr=12【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S=12lR；③S=12αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2【命题方向】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．2sin1C．2sin1D分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交AB于D，∠AOD＝∠BOD＝1，AC=12AB＝Rt△AOC中，AO=AC从而弧长为α•r=2故