2024-2025学年上学期高二数学人教A版期中必刷常考题之等差数列

第25页（共25页）2024-2025学年上学期高二数学人教A版（2019）期中必刷常考题之等差数列一．选择题（共5小题）1．（2024秋•许昌期末）在等差数列{an}中，a5＝8，2a3＝a2+6，则公差等于（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024秋•合肥期末）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造与公士共出52钱，则簪袅出的钱数比大夫多（）A．4钱 B．8钱 C．10钱 D．12钱3．（2024秋•楚雄州期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝20，S7＝50，则S10＝（）A．40 B．45 C．60 D．754．（2025•雁江区校级模拟）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：出生时间1965年1月﹣4月1965年5月﹣8月1965年9月﹣12月1966年1月﹣4月…改革后法定退休年龄60岁+1个月60岁+2个月60岁+3个月60岁+4个月…那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（）A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁5．（2024秋•西安期末）已知数列{an}为递增的等差数列，若a3+a12＝13，a5a10＝36，则{an}的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．1二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•昆明校级期末）等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a9＝4a6，下列选项正确的是（）A．a1＜0 B．d＜0 C．Sn取得最小值时，n＝5 D．Sn＞0时n的最小值为10（多选）7．（2024秋•武汉校级期末）已知数列{an}的通项公式为an＝2n+1，{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（）A．a5+a6＝a1+a3+a7 B．数列{a2n﹣1}是公差为4的等差数列 C．S6﹣2S3＝18 D．数列{an（多选）8．（2024秋•新乡期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知S8＞0，a5＜0，则（）A．a4＞0 B．d＞0 C．当Sn＞0时，n的最大值为9 D．当n＝4时，Sn取得最大值三．填空题（共4小题）9．（2025•上犹县校级一模）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=3n+510．（2024秋•邢台期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝2n﹣15，则当Sn取得最小值时，n＝．11．（2024秋•南阳期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OD→+OB→=a2OA→+a2024OC→，且A，B，12．（2024秋•甘肃期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝12，S12＝15，则S16＝．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•武汉期末）设{an}是公差不为零的等差数列，a22+a32（1）求an和Sn；（2）求{|an|}的前n项和Tn．14．（2024秋•莎车县期末）设数列{an}{bn}的各项都是正数，Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*．都有an2=2Sn-an，b1＝e，bn+1=bn2．c（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求数列{cn}的前n项和Tn；（3）试探究是否存在整数λ，使得对于任意n∈N*，不等式5(n-1)2S15．（2024秋•雁塔区校级期末）在等差数列{an}中，已知a1+a3＝12，a2+a4＝18，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S10的值．

2024-2025学年上学期高二数学人教A版（2019）期中必刷常考题之等差数列参考答案与试题解析题号12345答案BBDCD一．选择题（共5小题）1．（2024秋•许昌期末）在等差数列{an}中，a5＝8，2a3＝a2+6，则公差等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】B【分析】利用等差数列通项公式列出等式，联立两个等式即可求得结果．【解答】解：等差数列{an}中，a5＝8，2a3＝a2+6，设等差数列的首项为a1＝2，公差为d，∵a5＝8，2a3＝a2+6，∴a1解得a1故选：B．【点评】本题考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（2024秋•合肥期末）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造与公士共出52钱，则簪袅出的钱数比大夫多（）A．4钱 B．8钱 C．10钱 D．12钱【考点】求等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】B【分析】设大夫所出的钱数为a1＝2，公差为d（d＞0），依题列出方程组，求出a1，d，即得所求．【解答】解：设大夫所出的钱数为a1＝2，公差为d（d＞0），由题意得a4+a5＝52，a1+a2+⋯+a5＝100，由等差数列的性质得2a解得a1∴簪袅出的钱数比大夫多：a3﹣a1＝2d＝8，∴簪袅出的钱数比大夫多8钱．故选：B．【点评】本题考查等差数列通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2024秋•楚雄州期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝20，S7＝50，则S10＝（）A．40 B．45 C．60 D．75【考点】求等差数列的前n项和．【答案】D【分析】先根据S7﹣S3＝30，得a5+a6＝15，进而应用求和公式计算即可．【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝20，S7＝50，由S7﹣S3＝a4+a5+a6+a7＝50﹣20＝30，得a5+a6＝15，则S10故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2025•雁江区校级模拟）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：出生时间1965年1月﹣4月1965年5月﹣8月1965年9月﹣12月1966年1月﹣4月…改革后法定退休年龄60岁+1个月60岁+2个月60岁+3个月60岁+4个月…那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（）A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁【考点】等差数列的通项公式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】构造等差数列得出公差及首项，再应用等差数列通项公式计算即可．【解答】解：5月出生的男职工退休年龄为{an}，则1965年5月出生的男职工退休年龄为a1=6016岁，则1966年所以公差为14{an}是首项为6016，公差为1974年5月出生的男职工退休年龄为a10故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月．故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于中档题．5．（2024秋•西安期末）已知数列{an}为递增的等差数列，若a3+a12＝13，a5a10＝36，则{an}的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】等差数列的通项公式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】D【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解．【解答】解：因为数列{an}为递增的等差数列，a3+a12＝a5+a10＝13，a5a10＝36，所以a5＝4，a10＝9，则{an}的公差d=a10故选：D．【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•昆明校级期末）等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a9＝4a6，下列选项正确的是（）A．a1＜0 B．d＜0 C．Sn取得最小值时，n＝5 D．Sn＞0时n的最小值为10【考点】由等差数列中若干项求通项公式或其中的项．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】AD【分析】根据等差数列基本量的计算可得a1+4d＝0，进而根据单调性可得n＝1，2，3，4时an＜0，a5＝0，当n＞5时an＞0，即可结合选项逐一求解．【解答】解：等差数列{an}是递增数列，公差为d＞0，由a9＝4a6可得a1+8d＝4（a1+5d），故a1+4d＝0，由于d＞0，因此a1＜0，故A正确，B错误，进而可得当n＝1，2，3，4时an＜0，a5＝0，当n＞5时an＞0，因此Sn取得最小值时，n＝5或n＝4，C错误，由于S9故当n≥10时，Sn＞0，因此Sn＞0时n的最小值为10，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．（多选）7．（2024秋•武汉校级期末）已知数列{an}的通项公式为an＝2n+1，{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（）A．a5+a6＝a1+a3+a7 B．数列{a2n﹣1}是公差为4的等差数列 C．S6﹣2S3＝18 D．数列{an【考点】等差数列的性质；等差数列的概念与判定；等差数列的通项公式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】BC【分析】利用数列的通项公式可判断A；根据等差数列定义可判断B；利用等差数列的前n项和公式可判断C；求出{anS【解答】解：数列{an}的通项公式为an＝2n+1，{an}的前n项和为Sn，对于A，a5+a6＝24，a1+a3+a7＝25，即a5+a6≠a1+a3+a7，A错误；对于B，a2n﹣1＝2（2n﹣1）+1＝4n﹣1，则a2（n+1）﹣1﹣a2n﹣1＝4（n+1）﹣1﹣（4n﹣1）＝4，故数列{a2n﹣1}是公差为4的等差数列，B正确；对于C，Sn则S6﹣2S3＝48﹣2×15＝18，C正确；对于D，anSn当n增大时，n+32+1n故当n＝1时，数列{anSn}故选：BC．【点评】本题主要考查了等差数列通项公式及求和公式的应用，还考查了数列单调性的应用，属于中档题．（多选）8．（2024秋•新乡期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知S8＞0，a5＜0，则（）A．a4＞0 B．d＞0 C．当Sn＞0时，n的最大值为9 D．当n＝4时，Sn取得最大值【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】AD【分析】根据题意，由等差数列前n项和公式可得S8=(a1+a8)×82=(a4+a5)×82＞0，变形可得a4+【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，S8=(a1+a8)×82=(又由a5＜0，则a4＞0，A正确，又由a5＜0，则其公差d＝a5﹣a4＜0，B错误；故当n＝4时，Sn取得最大值，D正确；S9=(a1+a9)×92故选：AD．【点评】本题考查等差数列前n项和的性质，涉及等差数列的通项公式和性质，属于基础题．三．填空题（共4小题）9．（2025•上犹县校级一模）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=3n+5【考点】等差数列前n项和的性质．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】73【分析】由等差数列性质得到a9【解答】解：两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且Sn由等差数列性质得：a9故答案为：73【点评】本题考查等差数列前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（2024秋•邢台期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝2n﹣15，则当Sn取得最小值时，n＝7．【考点】求等差数列的前n项和．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】7．【分析】法一：利用通项公式，得到当1≤n≤7，n∈N*时，an＜0，当n≥8，n∈N*时，an＞0，由此能求出当Sn取得最小值时，n＝7．法二：利用定义法证明数列{an}为等差数列，表示Sn可得结果．【解答】解法一：数列{an}的前n项和为Sn，an＝2n﹣15，由an＝2n﹣15得，当1≤n≤7，n∈N*时，an＜0，当n≥8，n∈N*时，an＞0，∴当Sn取得最小值时，n＝7．解法二：数列{an}的前n项和为Sn，an＝2n﹣15，由an＝2n﹣15得，a1＝﹣13，an+1﹣an＝2（n+1）﹣15﹣（2n﹣15）＝2，∴数列{an}是以﹣13为首项，2为公差的等差数列，∴Sn∴当Sn取得最小值时，n＝7．故答案为：7．【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（2024秋•南阳期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OD→+OB→=a2OA→+a2024OC→，且A，B，【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】2025．【分析】结合空间向量共面定理可得a2+a2024＝2，再结合等差数列前n项和公式求结论．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，OD→∴OD→∵A，B，C，D四点共面（O为该平面外一点），∴由空间向量共面定理得a2﹣1+a2024＝1，即a2+a2024＝2．∴由等差数列前n项和公式得S2025故答案为：2025．【点评】本题考查等差数列的性质、空间向量共面定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．（2024秋•甘肃期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝12，S12＝15，则S16＝16．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】16．【分析】由等差数列的性质：Sn，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列，代入数据即可求得S16．【解答】解：根据题意，因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列，所以2（S8﹣S4）＝S4+S12﹣S8，即2（12﹣S4）＝S4+3解得S4＝7，所以S8﹣S4﹣S4＝﹣2，所以S16﹣S12＝3﹣2＝1，解得S16＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的前n项和，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•武汉期末）设{an}是公差不为零的等差数列，a22+a32（1）求an和Sn；（2）求{|an|}的前n项和Tn．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an＝2n﹣7，Sn（2）Tn【分析】（1）根据a22+a32=a42+a52可得a4+a3＝0，结合S7（2）讨论n≤3和n＞3可得数列{|an|}的前n项和Tn．【解答】解：（1）{an}是公差不为零的等差数列，a22+a32设等差数列{an}的公差为d，∵a22+即（a2﹣a5）（a2+a5）＝（a4﹣a3）（a4+a3），由等差数列的性质得，﹣3d（a4+a3）＝d（a4+a3），由d≠0得，a4+a3＝0，即2a1+5d＝0，由S7＝7得，7a联立方程可得a1＝﹣5，d＝2，∴an＝﹣5+2（n﹣1）＝2n﹣7，Sn（2）由an＝2n﹣7得，n≤3时，an＜0，n＞3时，an＞0．当n≤3时，Tn当n＞3时，Tn∴{|an|}的前n项和Tn为Tn【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（2024秋•莎车县期末）设数列{an}{bn}的各项都是正数，Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*．都有an2=2Sn-an，b1＝e，bn+1=bn2．c（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求数列{cn}的前n项和Tn；（3）试探究是否存在整数λ，使得对于任意n∈N*，不等式5(n-1)2【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据原题给出的递推式，取n＝1求解a1，取n＝n﹣1得另一递推式，两式作差后可以判断数列{an}为等差数列，因为bn+1=bn2，两边取对数后可得到一新数列{lnbn}，并且同时得到该数列的首项和公比，则数列{an}（2）把求得的数列{an}、{bn}的通项公式代入cn＝an•lnbn后，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和；（3）求出数列{an}的前n项和，连同和Tn代入不等式5(n-1)【解答】解：（1）因为an＞0，an2当n＝1时，a12=2S1-当n≥2时，有an-由①﹣②得，an即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝an+an﹣1．因为an＞0，所以an﹣an﹣1＝1（n≥2），即数列{an}是等差数列，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+n﹣1＝n．又因为bn+1=bn2，且bn＞0，取自然对数得lnbn由此可知数列{lnbn}是以lnb1＝lne＝1为首项，以2为公比的等比数列，所以lnb所以bn（2）由（1）知，cn所以Tn=1×2×T由③﹣④得-T所以Tn（3）由an＝n，an2=2由5(n-1)即使得对于任意n∈N*且n≥2，不等式5(n-任意n∈N*且n≥2，不等式5(n-∵5(n又令g(由g可得2n化简得：2n解得2≤n≤3，所以当n＝2或3时，g（n）取最小值，最小值为g(2)=所以λ＝2时，原不等式恒成立．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，对于（3）的求解运用了数列的函数特性及基本不等式求最值，该题是一道综合性较强的题目，考查了学生综合处理问题的能力和计算能力，此题算得上是难度性较强的题目．15．（2024秋•雁塔区校级期末）在等差数列{an}中，已知a1+a3＝12，a2+a4＝18，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S10的值．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an=3n(n【分析】（1）依题意列出方程组，解得即可得到d＝3，a1＝3，则通项公式可求．（2）根据求和公式即可求出．【解答】解：（1）因为{an}是等差数列，a1+a3＝12，a2+a4＝18，所以2a解得d＝3，a1＝3，则an＝3+（n﹣1）×3＝3n，n∈N*．（2）S10＝10×3+10×92×3【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．

考点卡片1．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn=a1(1-qn3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【解题方法点拨】典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故选：B．典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{Sn}也为等差数列，则SA．310B．212C．180D．121解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，其前n项和为Sn=n∴SnS1=1，S2∵数列{Sn}∴2S∴22+d=解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn由于{(1∴Sn+10an2故选：D．2．等差数列的性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝a等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．【解题方法点拨】例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．3．等差数列的概念与判定【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝a【解题方法点拨】﹣定义：等差数列满足an+1﹣an＝d．﹣判定：根据相邻两项的差是否为定值判定数列是否为等差数列．【命题方向】常见题型包括利用定义和相邻两项的差判断数列是否为等差数列，结合具体数列进行分析．下列数列不是等差数列的是（）A．6，6，6，⋯，6，⋯B．﹣2，﹣1，0，⋯，n﹣3，⋯C．5，8，11，⋯，3n+2，⋯D.0，1，3，⋯，n2解：数列6，6，6，⋯，6，⋯是公差为0的等差数列；数列﹣2，﹣1，0，⋯，n﹣3，⋯是公差为1的等差数列；∵3n+2﹣[3（n﹣1）+2]＝3为常数，故数列5，8，11，⋯，3n+2，⋯是等差数列；∵1﹣0≠3﹣1，故数列0，1，3，⋯，n2故选：D．4．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．【解题方法点拨】eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【命题方向】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．5．由等差数列中若干项求通项公式或其中的项【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．【解题方法点拨】﹣定义：根据等差数列的定义和通项公式an＝a1+（n﹣1）d进行推导．﹣设未知数：假设通项公式，利用已知项求解参数．﹣递推关系：利用等差数列的递推关系推导出通项公式．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的若干项推导出通项公式或求解其中的项，结合具体数列进行分析．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通项公式．解：设等差数列{an}的公差为d，∵a5＝10，a12＝31，∴10=a1+4故an＝﹣2+3（n﹣1）＝3n﹣5．6．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝则S10＝10a1+10×92d＝10+45＝故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．7．求等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】﹣代入计算：将具体问题中的n值代入前n项和公式，计算数列的前n项和．﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的前n项和公式．﹣综合应用：将前n项和公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的前n项和公式计算具体项，推导数列和公式，解决实际问题．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝a3，a4＝5，则Sn＝_____．解：设等差数列{an}的公差为d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n•a1+n(n-1)2•2＝故答案为：n2﹣2n．8．等差数列前n项和的性质【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】等差数列的前n项和具有许多重要性质，如递增性、递减性、与通项公式的关系等．﹣性质分析：分析等差数列的前n项和的性质，如递增性、递减性等．﹣公式推导：根据等差数列的定义和前n项和公式，推导