2024-2025学年上学期高二数学人教A版期中必刷常考题之导数的运算

第19页（共19页）2024-2025学年上学期高二数学人教A版（2019）期中必刷常考题之导数的运算一．选择题（共5小题）1．（2024秋•安阳期末）已知函数f(x)=xex+2kA．e B．e2 C．1 D．﹣2．（2024秋•诸暨市期末）下列选项正确的是（）A．（sin10°）′＝cos10° B．(lgC．[（2x+1）（2x﹣1）]′＝8x D．（e﹣x）′＝e﹣x3．（2024秋•舟山期末）下列求导运算不正确的是（）A．（ex•sinx）′＝（cosx+sinx）ex B．(1C．(3D．[4．（2024秋•保定期末）函数y=logA．1xln2 B．xlnC．1xln2-sin5．（2025•徐州模拟）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]＝3，若x0是方程f（x）﹣f′（x）＝2的一个解，则x0可能存在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•阜宁县校级期末）下列命题正确的有（）A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则lim△B．(cosxC．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则x0D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f（多选）7．（2025•镇江模拟）下列求导运算正确的是（）A．若f（x）＝cos（2x+3），则f′（x）＝2sin（2x+3） B．若f（x）＝e﹣2x+1，则f′（x）＝e﹣2x+1 C．若f(x)=D．若f（x）＝xlnx，则f′（x）＝lnx+1（多选）8．（2024秋•项城市期末）已知函数f(x)=ax(a＞0)在点（x1，y1）处的切线与圆C：x2+y2A．x1x2＝﹣1 B．y1C．x1﹣x2≠2 D．y1+y2＞3三．填空题（共4小题）9．（2024秋•许昌期末）已知函数f（x）满足f(x)=f'(π10．（2024秋•楚雄州期末）用d（X，Γ）表示点X与曲线Γ上任意一点距离的最大值．已知函数f1(x)=tx3+(1-t)x，x∈[0，1]，f2(x)=tx3+(1-t)x，x∈[1，2]．设P是曲线y11．（2025•信阳校级二模）已知函数f（x）＝（x+1）ex，过点M（1，t）可作2条与曲线y＝f（x）相切的直线，则实数t的取值范围是．12．（2024秋•诸暨市期末）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝2x+1，则f（1）+f'（1）＝．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•安阳期末）已知函数f（x）＝x3﹣（a+1）x2+a（a+1）x（a∈R）的图象在原点处的切线的斜率为2．（1）求a的值；（2）若a＞0，求曲线y＝f（x）的过点A（1，1）的切线方程．14．（2024秋•碑林区校级期末）已知函数f（x）＝x3﹣（a+1）x2+a（a+1）x（a∈R）的图象在原点处的切线的斜率为2．（1）求a的值；（2）若a＞0，求曲线y＝f（x）的过点A（1，1）的切线方程．15．（2024秋•金华期末）已知函数f(（1）若a＝b＝1，c＝0，求f′（1）；（2）若a＝c＝0，函数f（x）在x＝1处的切线方程为y＝3x+d，求b+d的值；（3）若a＝b＝0，c＝1，求曲线y＝f（x）与曲线（x﹣1）2+y2＝4的共同的切线方程．

2024-2025学年上学期高二数学人教A版（2019）期中必刷常考题之导数的运算参考答案与试题解析题号12345答案ACCAB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•安阳期末）已知函数f(x)=xex+2kA．e B．e2 C．1 D．﹣【考点】基本初等函数的导数．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】A【分析】求出f′（x），再由f′（1）＝0可得答案．【解答】解：因为f(所以f'则f′（1）＝（1+1）e﹣2k＝0，解得k＝e．故选：A．【点评】本题主要考查了基本初等函数求导，属于基础题．2．（2024秋•诸暨市期末）下列选项正确的是（）A．（sin10°）′＝cos10° B．(lgC．[（2x+1）（2x﹣1）]′＝8x D．（e﹣x）′＝e﹣x【考点】基本初等函数的导数．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】C【分析】利用导数的运算法则逐项求导判断．【解答】解：根据基本初等函数的求导公式：对于A，（sin10°）′＝0，A错误；对于B，(lgx)'=对于C，[（2x+1）（2x﹣1）]′＝（4x2﹣1）′＝8x，C正确；对于D，（e﹣x）′＝（1ex）′＝﹣e﹣x，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的求导，属于基础题．3．（2024秋•舟山期末）下列求导运算不正确的是（）A．（ex•sinx）′＝（cosx+sinx）ex B．(1C．(3D．[【考点】简单复合函数的导数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误．【解答】解：对于A，（ex•sinx）′＝（ex）′•sinx+ex•（sinx）′＝ex•sinx+ex•cosx＝（cosx+sinx）ex，故A正确；对于B，(1x)'=-对于C，（3x+ln3）′＝（3x）′+（ln3）′＝3xln3，故C错误；对于D，[ln(2x故选：C．【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．4．（2024秋•保定期末）函数y=logA．1xln2 B．xlnC．1xln2-sin【考点】基本初等函数的导数．【专题】计算题；对应思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】解：∵y=∴y′=1故选：A．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．（2025•徐州模拟）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]＝3，若x0是方程f（x）﹣f′（x）＝2的一个解，则x0可能存在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】基本初等函数的导数；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用；数学抽象；运算求解．【答案】B【分析】根据条件设f（x）﹣log2x＝t，然后求出t的值，进而求出函数f（x）的表达式，根据函数零点的判定条件即可得到结论．【解答】解：设f（x）﹣log2x＝t，则f（x）＝log2x+t，且f（t）＝3，当x＝t时，f（t）＝log2t+t＝3，解得t＝2，∴f（x）＝log2x+2，f′（x）=1则由f（x）﹣f′（x）＝2得log2x+2-1xln即log2x-1xln设g（x）＝log2x-1xln2，则g（1）=-1ln2＜∴根据根的存在性定理可知在（1，2）内g（x）存在零点，即x0∈（1，2），故选：B．【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，根据函数的性质求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，综合性较强．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•阜宁县校级期末）下列命题正确的有（）A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则lim△B．(cosxC．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则x0D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f【考点】基本初等函数的导数．【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】CD【分析】根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误．【解答】解：对于A，limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx=2对于B，(cosxx)'=对于C，f'(x)=12x+1(2x+1)'=22x对于D，f'(x)=2x+3f故选：CD．【点评】本题主要考查了导数的定义及函数的求导公式的应用，属于中档题．（多选）7．（2025•镇江模拟）下列求导运算正确的是（）A．若f（x）＝cos（2x+3），则f′（x）＝2sin（2x+3） B．若f（x）＝e﹣2x+1，则f′（x）＝e﹣2x+1 C．若f(x)=D．若f（x）＝xlnx，则f′（x）＝lnx+1【考点】基本初等函数的导数．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】CD【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【解答】解：f（x）＝cos（2x+3），则f'（x）＝﹣2sin（2x+3），故A错误；f（x）＝e﹣2x+1，则f′（x）＝﹣2e﹣2x+1，故B错误；f(则f'（x）=x'⋅e若f（x）＝xlnx，则f'（x）=x'lnx故选：CD．【点评】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．（多选）8．（2024秋•项城市期末）已知函数f(x)=ax(a＞0)在点（x1，y1）处的切线与圆C：x2+y2A．x1x2＝﹣1 B．y1C．x1﹣x2≠2 D．y1+y2＞3【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】利用导数的几何意义，直线的点斜式方程，基本不等式，结合直线与圆的位置关系，建立方程，即可求解．【解答】解：设公切线为l，因为f(所以f'（x）=a所以公切线l：y=a2x1x+ax所以公切线l：y=故-x2y2=a2x1，因为y1=ax1，所以由式子②得y1y2由A可知x2=-1x1又x1当且仅当x1＝1时取等号，此时x2＝﹣1，该情况下公切线l不存在，所以x1﹣x2≠2故C正确；因为y1=2y2，且y2∈（0，1），所以y故选：ACD．【点评】本题考查两曲线的共切线问题，导数的几何意义的应用，属中档题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•许昌期末）已知函数f（x）满足f(x)=f'(π【考点】简单复合函数的导数．【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】-3【分析】根据导数运算法则，结合赋值法，求得f'【解答】解：由f（x）＝f′（π6）cosx﹣sinx，得f′（x）＝﹣f′（π6）sinx﹣cos所以f′（π6）＝﹣f′（π6）sinπ6所以32f′（π6）所以f′（π6）=故答案为：-3【点评】本题考查了导数的定义与运算问题，是基础题．10．（2024秋•楚雄州期末）用d（X，Γ）表示点X与曲线Γ上任意一点距离的最大值．已知函数f1(x)=tx3+(1-t)x，x∈[0，1]，f2(x)=tx3+(1-t)x，x∈[1，2]．设P是曲线y【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】17．【分析】令f（x）＝tx3+（1﹣t）x，通过求导可得f（x）在[0，2]上单调递增，由此可得d（P，f2（x）），结合t∈【解答】解：令f（x）＝tx3+（1﹣t）x，则f′（x）＝3tx2+1﹣t，其对称轴为t=-因为t∈[12，1]，所以f′（x）在[0，2]上单调递增，故f'（x）在[0，2]上的最小值为f'（0）＝即f'（x）≥0在[0，2]上恒成立，则f（x）＝tx3+（1﹣t）x在[0，2]上单调递增．由f2（2）＝6t+2，可设M（2，6t+2），则d（P，f2（x））＝|MP|．由f1（1）＝1，可设N（1，1），则d(故答案为：17．【点评】本题考查导数在函数单调性中的应用，属于中档题．11．（2025•信阳校级二模）已知函数f（x）＝（x+1）ex，过点M（1，t）可作2条与曲线y＝f（x）相切的直线，则实数t的取值范围是(0，2【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】函数思想；数形结合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】(0，【分析】设切点坐标为（a，（a+1）ea），求出切线方程为y﹣（a+1）ea＝（a+2）ea（x﹣a），代入点M的坐标化简可得t＝（3﹣a2）ea，设g（a）＝（3﹣a2）ea，依题意，直线y＝t与g（a）＝（3﹣a2）ea的图象有两个交点，利用导数研究函数g（a）的性质，进而作出草图，结合图象即可得解．【解答】解：由f（x）＝（x+1）ex，得f′（x）＝（x+2）ex，设切点为（a，（a+1）ea），则函数在切点处的切线方程为y﹣（a+1）ea＝（a+2）ea（x﹣a），将点M（1，t）代入切线方程，得t﹣（a+1）ea＝（a+2）（1﹣a）ea，化简得t＝（3﹣a2）ea，设g（a）＝（3﹣a2）ea，则g′（a）＝﹣2aea+（3﹣a2）ea＝﹣（a2+2a﹣3）ea＝﹣（a+3）（a﹣1）ea，令g′（a）＞0，解得﹣3＜a＜1，则g（a）在（﹣3，1）上单调递增，令g′（a）＜0，解得a＜﹣3或a＞1，则g（a）在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）上单调递减，又g(作出函数g（a）的大致图象如下图所示，由图象可知，要使直线y＝t与g（a）＝（3﹣a2）ea的图象有两个交点，则t∈故答案为：(0，【点评】本题考查导数的几何意义及应用，考查数形结合思想及运算求解能力，是中档题．12．（2024秋•诸暨市期末）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝2x+1，则f（1）+f'（1）＝5．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】5．【分析】由已知可得f'（1），再把点M的坐标代入切线方程求解f（1），则答案可求．【解答】解：由函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝2x+1，得f'（1）＝2，将点M的坐标代入切线方程，可得f（1）＝2×1+1＝3，因此，f（1）+f'（1）＝5．故答案为：5．【点评】本题考查导数的概念及其几何意义，是基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•安阳期末）已知函数f（x）＝x3﹣（a+1）x2+a（a+1）x（a∈R）的图象在原点处的切线的斜率为2．（1）求a的值；（2）若a＞0，求曲线y＝f（x）的过点A（1，1）的切线方程．【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（1）a＝﹣2或1；（2）3x﹣4y+1＝0或x﹣y＝0．【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列式求解a的值即可；（2）结合（1）可得f（x）＝x3﹣2x2+2x，f′（x）＝3x2﹣4x+2，设切点为（t，t3﹣2t2+2t），结合导数的几何意义，利用点斜式方程求出切线方程，最后利用过点A（1，1）求出t的值，即可得解．【解答】解：（1）由f（x）＝x3﹣（a+1）x2+a（a+1）x，得f′（x）＝3x2﹣2（a+1）x+a（a+1），由题意得f′（0）＝a（a+1）＝2，解得a＝﹣2或1；（2）∵a＞0，∴a＝1，则f′（x）＝3x2﹣4x+2，设切点坐标为（t，t3﹣2t2+2t），则切线的斜率k＝3t2﹣4t+2，∴切线方程为y﹣（t3﹣2t2+2t）＝（3t2﹣4t+2）（x﹣t），把点A（1，1）代入，可得1﹣（t3﹣2t2+2t）＝（3t2﹣4t+2）（1﹣t），得（t﹣1）2（2t﹣1）＝0，解得t=12或t∴切线方程为3x﹣4y+1＝0或x﹣y＝0．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．14．（2024秋•碑林区校级期末）已知函数f（x）＝x3﹣（a+1）x2+a（a+1）x（a∈R）的图象在原点处的切线的斜率为2．（1）求a的值；（2）若a＞0，求曲线y＝f（x）的过点A（1，1）的切线方程．【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（1）a＝﹣2或1；（2）3x﹣4y+1＝0或x﹣y＝0．【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列式求解a的值即可；（2）结合（1）可得f（x）＝x3﹣2x2+2x，f′（x）＝3x2﹣4x+2，设切点为（t，t3﹣2t2+2t），结合导数的几何意义，利用点斜式方程求出切线方程，最后利用过点A（1，1）求出t的值，即可得解．【解答】解：（1）由f（x）＝x3﹣（a+1）x2+a（a+1）x，可得f′（x）＝3x2﹣2（a+1）x+a（a+1），又f（x）的图象在原点处的切线的斜率为2，则f′（0）＝a（a+1）＝2，解得a＝﹣2或1；（2）因为a＞0，所以由（1）可得a＝1，所以f（x）＝x3﹣2x2+2x，f′（x）＝3x2﹣4x+2，设切点坐标为（t，t3﹣2t2+2t），则切线的斜率k＝3t2﹣4t+2，所以切线方程为y﹣（t3﹣2t2+2t）＝（3t2﹣4t+2）（x﹣t），因为切线过点A（1，1），所以1﹣（t3﹣2t2+2t）＝（3t2﹣4t+2）（1﹣t），得（t﹣1）2（2t﹣1）＝0，解得t=12或t所以切线方程为3x﹣4y+1＝0或x﹣y＝0．【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．15．（2024秋•金华期末）已知函数f(（1）若a＝b＝1，c＝0，求f′（1）；（2）若a＝c＝0，函数f（x）在x＝1处的切线方程为y＝3x+d，求b+d的值；（3）若a＝b＝0，c＝1，求曲线y＝f（x）与曲线（x﹣1）2+y2＝4的共同的切线方程．【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；直线与圆；运算求解．【答案】（1）1；（2）0；（3）x-【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解；（2）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解；（3）根据导数的几何意义，直线与圆的位置关系，建立方程，即可求解．【解答】解：（1）若a＝b＝1，c＝0，则f(∴f'(x)=1-xex（2）若a＝c＝0，则f（x）＝blnx，∴f'(x)=bx，∴f′（∴切线为y＝3（x﹣1），∴d＝﹣3，∴b+d＝0；（3）若f(x)=2∴在（x0，f（x0））处的切线方程为1x又该切线与圆（x﹣1）2+y2＝4相切，∴|1x0+x0∴公切线方程为x-【点评】本题考查利用导数求函数的切线问题，直线与圆的位置关系，属中档题．

考点卡片1．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．2．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．3．简单复合函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二