2024-2025学年重庆八中高三（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆八中高三（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|52x−1∈Z},B={x|log2A.{0,1,3} B.{1,3} C.(0,3) D.(1,3)2.设z=a+bi(a,b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是(

)A.a≠0且b=0 B.a≠0且b≠0 C.a=0 D.a=0且b≠03.已知直线l：3x+4y−16=0，点P为圆C：(x−2)2+y2=1上一动点，则点PA.1 B.2 C.3 D.44.已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1=4,A.47 B.53 C.57 D.645.如图所示，点O为正八边形的中心，已知|OA|=1，点P为线段BC，CD上一动点，则AP⋅ABA.[1,2]

B.[2−2,2]6.锐角△ABC中的角A，B，C满足6cosA+3tanB+3A.π6 B.π4 C.π37.小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为14，不下雨的概率均为34，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为(

)A.316 B.15128 C.391288.如图所示，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为2，点P，M，N分别为棱AA1，AB，A1A.直线C1Q与直线CP始终异面

B.直线C1Q与直线CP可能垂直

C.直线C1Q与直线BP可能垂直

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=ax+1x+1的图象关于直线y=x对称，则下列选项正确的是(

)A.f(x)=−x+1x+1 B.∀x∈{x|x≠−1}，f(1x)=−f(x)

C.函数f(x)在定义域内是减函数 10.已知点F1、F2分别为双曲线C：x24−y2A.双曲线C与双曲线y22−x24=1有相同的渐近线

B.若|PF1|=2|PF2|，则△PF1F2的周长为12+211.已知数列{an}满足a1=0,ean+1=1eanA.an+an+1≥ln2 B.S2025<701

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(x−1)6=a0+13.若直线y=kx+b是曲线f(x)=ex−1的切线，也是曲线g(x)=ex−2的切线，则14.设A(x1,y1)，B(x2,y2)为平面上两点，定义d(A,B)=|x1−四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，B1C⊥平面ABC且AC=BC=B1C=2，D，E分别是AC，B1C1的中点．16.(本小题15分)

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b−3c)⋅sin(A+C)=(a−c)⋅(sinA+sinC)．

(1)求A；

(2)若BC=2，在AC边上存在一点D，使得AD=22，BD=2，∠ACB的平分线交AB17.(本小题15分)

已知F1、F2是离心率e=32的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，B为椭圆C上一点，且BF1⋅BF2的最小值为−2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若P(x0,y0)为第一象限内椭圆上一点，点P关于原点的对称点为18.(本小题17分)

信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般地，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验A的所有可能结果为a1,a2,……,an(n∈N∗)，且P(ai)=pi>0(i=1,2,⋯,n)，i=1npi=1，定义随机试验A的信息熵H(A)=−i=1npilog2pi．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx+a(x2−1)x2+bx+1．

(1)当a=−3，b=4，x>1时，求证：f(x)>0；

(2)当b=0时，若f(x)有三个零点x1，x2，x3(x1<x2参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.D

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.AB

11.AC

12.−20

13.2

14.15415.解：(1)证明：取A1B1的中点M，连接ME，AM，

在三棱柱ABC−A1B1C1，AA1//CC1且AA1=CC1，

∴四边形AA1C1C为平行四边形，

∴AC//A1C1且AC=A1C1，

∵D，E分别为AC，B1C1的中点，

∴ME//A1C1且ME=12A1C1，AD//A1C1且AD=12A1C1，

∴ME//AD且ME=AD，

∴四边形ADEM为平行四边形，∴DE//AM，

∵DE⊄面ABB1A1，AM⊂面ABB1A1，

∴DE//平面ABB1A1．

(2)∵B1C⊥平面ABC，AC⊥CB，AC=BC=B1C=2，

如图，以C为原点，CA、CB、CB1的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、B1(0,0,2)、D(1,0,0)、C1(0,−2,2)、E(0,−1,2)，

∵B1A1=BA=(2,−2,0)，

则CA1=CB1+B1A1=(0,0,2)+(2,−2,0)=(2,−2,2)，

∴A1(2,−2,2)，

∴DE=(−1,−1,2)，DA1=(1,−2,2)，DA=(1,0,0)，

设平面A1DE的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，

则m⊥DEm⊥DA1，则m⋅DE=−x1−y1+2z1=0m⋅DA1=x1−2y1+2z1=0，

可得y1=2x1z1=32x117.解：(1)易知F1(−c,0)，F2(c,0)，

此时BF1⋅BF2=(BO+OF1)⋅(BO+OF2)

=(BO+OF1)⋅(BO−OF1)=|BO|2−c2≥b2−c2，

当且仅当B为短轴顶点时，等号成立，

因为BF1⋅BF2的最小值为−2，

所以b2−c2=−2，①

因为椭圆C的离心率e=32，

所以ca=32，②

又a2=b2+c2，③

联立①②③，

解得a=2，b=1，

则椭圆C的方程为x24+y

18.解：(1)设随机试验A的所有可能结果为a1,a2,……,an(n∈N∗)，

且P(ai)=pi>0(i=1,2,⋯,n)，i=1npi=1，

定义随机试验A的信息熵H(A)=−i=1npilog2pi.：H(A)=−12log212−12log212=1，

设质地不均匀的硬币正面朝上的概率为p(0<p<1,p≠12)，

则H(B)=−plog2p−(1−p)log2(1−p)，

设g(t)=−t⋅log2t−(1−t)⋅log2(1−t)，t∈(0,1)，g′(t)=log2(1−t)−log2t，

∴由g′(t)<0得12<t<1，此时函数单调递减，

由g′(t)>0得0<t<12，此时函数单调递增，

故g(t)max=g(12)=1，则H(A)>H(B)．

当正面与反面等概率出现时，随机试验的不确定性最大，此时信息熵最大．

(2)证明：记n次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为pn，

由全概率公式得，pn+1=23pn+(1−pn)×13，即pn+1=13pn+13，

所以pn+1−12=13(pn−12)，

则数列{pn−12}是首项为p1−12=16，公比为13的等比数列，

所以pn−12=16×(13)n−1=12(13)n，所以pn=12+12(13)n．

此时H(An)=−pnlog2pn−(1−pn)log2(1−pn)，

当n增加时，p