2024-2025学年上学期高一数学苏教版期中必刷常考题之向量应用

第29页（共29页）2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之向量应用一．选择题（共5小题）1．（2024秋•邢台期末）已知单位向量a→和b→的夹角为θ，且cosθ=A．1 B．2 C．2 D．22．（2024•河北模拟）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直线异面垂直，E、F分别为AB、CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，线拐子使用时将丝线从点A出发，依次经过D、B、C又回到点A，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中AB＝EF＝CD＝30cm，则丝线缠一圈长度为（）A．902cm B．903cm C．603．（2024秋•青岛校级期中）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1．则|PA→+A．213+2 B．13+1 C．72 D4．（2024秋•成都校级月考）点P是△ABC所在平面内的点，且有PA→+7PB→+5BC→=0→，直线AP，CP分别交BC，AB于点D，E，记△ACD，△APE的面积分别为S1A．2125 B．1625 C．1635 5．（2024秋•普陀区校级期中）已知点A1，A2，⋯，An（n∈N，n≥2）均在圆O上，若有OA1→+OA2→+⋯+OAn→=A．0个 B．仅有1个 C．仅有2个 D．3个或以上二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•葫芦岛期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点（）A．AN→B．向量AD→与CN→C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2 D．若AP→=λAB→+（多选）7．（2024春•惠山区校级期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．“意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．下列说法正确的是（）A．正三角形的费马点是正三角形的中心 B．若P为△ABC的费马点，且PA→+PB→C．若△ABC三边长分别为1，3，2，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为7 D．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A=π2，bc＝2，若点P（多选）8．（2024秋•锡林郭勒盟期中）下列说法中正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是12% B．a→，b→的夹角为钝角的充要条件是C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的中位数是18 D．若样本数据x1，x2，⋯，x10的方差为1，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，⋯，3x10﹣1的方差为8三．填空题（共4小题）9．（2024秋•西青区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC→+14AB→，则实数m的值为10．（2024秋•漯河期末）若在斜二测画法得到的直观图中，m→，n→分别是x'y'上的单位向量，定义：若O'M→=xm→+yn→，则点M在直观图的坐标系x'O'y'中的坐标为（x，y）．已知在直观图的坐标系x'O'y'中的点A坐标为11．（2024秋•广州校级期末）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量OM→=(a，b)为函数f（x）的互生向量，同时称函数f（x）为向量OM→的互生函数．设函数f(x)=cos(π2+x)+cos(-x)，则f（x）的互生向量OM→=12．（2024秋•滨州期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，过点C作CD∥OQ，交OP于点D，则△OCD的面积的最大值为四．解答题（共3小题）13．（2024春•高新区校级月考）在斜△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知1+sinA（1）若c2﹣a2＝ab，求∠A，∠B，∠C的值；（2）若c＝2，求CA→14．（2024春•高新区校级月考）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3sin（1）若sinC＝2sinA，求AB→在BC→上的投影向量；（用向量（2）若a＝3，S△ABC=1534，BD为∠ABC的平分线，BE15．（2024秋•广东月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S=3，且a2+43S＝（b+c）2，D是AB的中点，点E在线段AC上且AE＝2EC，线段CD与线段BE交于点M（1）求角A的大小；（2）若AM→=xAB→（3）若点G是△ABC的重心，求线段GM的最小值．

2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之向量应用参考答案与试题解析题号12345答案DCADC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•邢台期末）已知单位向量a→和b→的夹角为θ，且cosθ=A．1 B．2 C．2 D．2【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据平面向量数量积运算律得出(2a【解答】解：因为单位向量a→和b→的夹角为θ，且所以(2a所以|2a故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题．2．（2024•河北模拟）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直线异面垂直，E、F分别为AB、CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，线拐子使用时将丝线从点A出发，依次经过D、B、C又回到点A，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中AB＝EF＝CD＝30cm，则丝线缠一圈长度为（）A．902cm B．903cm C．60【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】整体思想；综合法；推理和证明；运算求解．【答案】C【分析】依题意可得BD→=BE→+【解答】解：依题意EB→⊥EF→，所以EB→⋅EF→=0又BD→所以BD＝152+302+152＝152×6，所以|BD→|=15所以丝线缠一圈长度为4×故选：C．【点评】本题考查向量的运算性质的应用，属于中档题．3．（2024秋•青岛校级期中）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1．则|PA→+A．213+2 B．13+1 C．72 D【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据题意，点P在以C为圆心、半径r＝1的圆上运动，设AB的中点为D，则PA→+PB→=2PD【解答】解：设AB的中点为D，则PA→+PB△ACD中，∠A＝90°，AD=12AB＝2，AC＝3，可得CD因为P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，所以点P的轨迹是以C为圆心、半径r＝1的圆，可知|PD→|的最大值为CD+r=13结合PA→+PB→=2PD→，可知|PA→+PB→|故选：A．【点评】本题主要考查向量的线性运算法则、三角形中线的性质、解三角形及其应用、圆的性质等知识，属于中档题．4．（2024秋•成都校级月考）点P是△ABC所在平面内的点，且有PA→+7PB→+5BC→=0→，直线AP，CP分别交BC，AB于点D，E，记△ACD，△APE的面积分别为S1A．2125 B．1625 C．1635 【考点】平面向量的综合题．【专题】转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】由向量的加法法则结合三点共线确定点P的位置，再结合三角形的面积公式求解即可．【解答】解：由PA→+7PB即PA→因为B，D，C三点共线，则存在实数λ，使得PB→设PA→=x可得xPD即(x由于PD→，则x+2λ=0即PA→=-7PD同理，设PC→=μ因为A，E，B三点共线，所以-2-5又由三角函数的诱导公式可得sin∠CPA＝sin∠CPD，所以S=1=3故选：D．【点评】本题考查平面向量的综合应用，属中档题．5．（2024秋•普陀区校级期中）已知点A1，A2，⋯，An（n∈N，n≥2）均在圆O上，若有OA1→+OA2→+⋯+OAn→=A．0个 B．仅有1个 C．仅有2个 D．3个或以上【考点】平面向量的综合题．【专题】分类讨论；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据向量的线性运算，结合圆的特征，分n＝2，n＝3，n≥4三种情况讨论可判定结论．【解答】解：由题意有OA当n＝2时，两向量共线反向，A1，A2平分圆O，符合题意；当n＝3时，由OA1→+O变形可得OA两边平方可得OA所以1＝1+2×1×1×cos∠A2OA3+1，解得cos∠因为0＜∠A2OA3＜π，所以∠A同理可得∠A1O所以A1，A2，A3平分圆O，若n≥4，当n为偶数时，只要分为n2可得OA比如过圆心的两条直线与圆相交的四个点，满足OA所以A1，A2，⋯，An不一定平分圆，故不符合题意；当n为奇数时，可分三个点，使这三个向量满足OA可得A1，A2，A3平分圆O，另外剩余的一定是偶数点，由前面知道，这些点可分组，但不一定平分圆，故可得A1，A2，⋯，An不一定平分圆，综上所述，只有n＝2与n＝3符合题意，故满足要求的n的个数为2个．故选：C．【点评】本题考查向量的运算及性质，考查圆的特征，属中档题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•葫芦岛期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点（）A．AN→B．向量AD→与CN→C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2 D．若AP→=λAB→+【考点】平面向量的综合题．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；逻辑思维．【答案】ACD【分析】利用平面向量的基本定理求出AN→关于AB→，AD→利用平面向量的线性运算可得出CN→关于AB→，AD→推导出AN→=45AM→，可得出△ACN、△分析可知存在m∈[0，1]，使得DP→=mDC→=12mAB→，利用平面向量的基本定理可得出λ+【解答】解：对于A选项，由题意可知，DC→=12AB→，则则BM→=MC→，即AM→-AB因为A、N、M三点共线，所以存在t∈R，使得AN→=t因为B、D、N三点共线，所以t2+3t4=1，解得t对于B选项，因为CN→=AN→-AC→=（25AD→+对于C选项，因为M为线段BC的中点，所以S△ACM＝S△BCM=12S△由A选项的分析知，AN→所以S△ACN=45S△ACM=25S△ABC，同理，S△ABN=25S△ABC，则S△所以S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2，故C选项正确；对于D选项，因为AP→=AB→+BP→=AB所以若AP→=λAB→+μAD→，则λ＝1，μ=m2，当m故选：ACD．【点评】本题主要考查平面向量基本定理以及向量共线定理，属于中档题．（多选）7．（2024春•惠山区校级期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．“意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．下列说法正确的是（）A．正三角形的费马点是正三角形的中心 B．若P为△ABC的费马点，且PA→+PB→C．若△ABC三边长分别为1，3，2，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为7 D．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A=π2，bc＝2，若点P【考点】平面向量的综合题；解三角形．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用；逻辑思维．【答案】ABC【分析】对A，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B，取AB的中点D，由PA→+PB→+PC→=可得点P是△对C，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解．【解答】解：对于A，若O是正三角形ABC的中心，根据正三角形的性质易得∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，所以点O是正三角形ABC的费马点，故A正确；对于B，如图，取AB的中点D，则PA→+PB→=2PD→，因为PA→+PB→+PC→=0又点P是△ABC的费马点，则∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，则∠APD＝∠BPD＝60°，又AD＝BD，由等面积法可得PA＝PB，同理可得PC＝PB，所以PA＝PB＝PC，所以点P是△ABC的外心，所以点P是△ABC的中心，即△ABC是正三角形．故B正确；对于C，如图，在Rt△ABC中，AB＝1，BC=3，AC＝2，∠ACB＝设点O是Rt△ABC的费马点，将△COA绕点C顺时针旋转60°得到△CED，易证△COE，△ACD是正三角形，则OC＝OE，OA＝DE，CD＝AC，且点B，O，E、D共线，所以∠BCD＝90°，所以BD=BC即该三角形的费马点到各顶点距离之和为7，故C正确；对于D，由费马点定义可得∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，设PA＝x，PB＝y，PC＝z，x，y，z＞0，由SΔABC＝S△PAB+S△PAB+S△PAB，可得12xy整理得xy+yz=-12故选：ABC．【点评】本题主要考查费马点的定义和平面向量的应用，属于中档题．（多选）8．（2024秋•锡林郭勒盟期中）下列说法中正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是12% B．a→，b→的夹角为钝角的充要条件是C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的中位数是18 D．若样本数据x1，x2，⋯，x10的方差为1，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，⋯，3x10﹣1的方差为8【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；方差；百分位数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】根据简单随机抽样的特点，结合已知条件判断选项A；根据a→⋅b→＜【解答】解：从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，个体m被抽到的概率是12%，选项A正确；a→与b→反向时，夹角不为钝角，但a→•b→将10个数据按照从小到大顺序排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，又10×0.5＝5，所以这10个数据的中位数为12×（17+19）＝18，选项若样本数据x1，x2，⋯，x10的方差为1，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，⋯，3x10﹣1的方差为32×1＝9，选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查了数据的分析与应用问题，是基础题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•西青区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC→+14AB→，则实数m的值为【考点】平面向量的综合题；三角形中的几何计算；平面向量的模；平面向量的基本定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】58；30【分析】设CP→=λCD→，利用平面向量的线性运算法则，算出AP→=（1﹣λ）AC→+根据∠BAC＝60°且△ABC的面积为43，算出bc＝16，然后运用平面向量数量积的运算性质、向量的模的公式，算出|AP→|2=2564b2【解答】解：设CP→=λCD→，则AP→=AC→+CP→=AC→+由AD→=2DB→，得AD→=23AB结合题意AP→=mAC→所以AP→=58AC→+14AB→，设|可得|AP→|2＝（58AC→因为△ABC的面积S=12bcsinA=43，所以34bc由基本不等式得2564b2+116所以|AP→|2≥152，可得|AP→|≥302，当b=4105且故答案为：58；30【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量数量积的定义与运算性质、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．10．（2024秋•漯河期末）若在斜二测画法得到的直观图中，m→，n→分别是x'y'上的单位向量，定义：若O'M→=xm→+yn→，则点M在直观图的坐标系x'O'y'中的坐标为（x，y）．已知在直观图的坐标系x'O'y'中的点A坐标为(3，【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】5或17（其中一个即给分）．【分析】根据题意，分析可得＜m→，n→＞=45°或135【解答】解：根据题意，在斜二测画法得到的直观图中，m→，n→分别是x'y'上的单位向量，则＜m→，n在直观图的坐标系x'O'y'中的点A坐标为(3，2)，则O若＜m→，n→＞=45°，则O'A→2＝9m→2+2n→2+62m若＜m→，n→＞=135°，则O'A→2＝9m→2+2n→2+62m→•故|O'A|=5或17故答案为：5或17（其中一个即给分）【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及直观图中点坐标的表示，属于基础题．11．（2024秋•广州校级期末）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量OM→=(a，b)为函数f（x）的互生向量，同时称函数f（x）为向量OM→的互生函数．设函数f(x)=cos(π2+x)+cos(-x)，则f（x）的互生向量OM→=（﹣1，1【考点】平面向量的综合题．【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（﹣1，1）；(2，【分析】化简函数为f（x）＝﹣sinx+cosx可得互生向量，化简g（x），作出简图，可得k的范围．【解答】解：因为f(所以f（x）的互生向量OM→由题意，f（x）＝2sinx，则g(若函数g（x）在[0，2π]上有四个零点，则k=2sinx+23|cosx|设h(则函数y＝h（x）与y＝k在[0，2π]上的图象有四个交点，又h=4由三角函数性质作其函数图象如图所示，由三角函数图象及性质可知k的取值范围为(2，故答案为：（﹣1，1）；(2，【点评】本题考查平面向量与三角函数的综合应用，属中档题．12．（2024秋•滨州期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，过点C作CD∥OQ，交OP于点D，则△OCD的面积的最大值为【考点】平面向量的综合题．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】312【分析】首先得到∠CDO=2π3，设∠【解答】解：因为∠POQ=π3，CD∥设∠COD=α在△OCD中，由正弦定理可得OCsin即1sin2π所以S=3=1=1=3因为0＜α＜显然当2α+π6=π2，即α故答案为：312【点评】本题考查正弦定理及三角恒等变换，属中档题．四．解答题（共3小题）13．（2024春•高新区校级月考）在斜△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知1+sinA（1）若c2﹣a2＝ab，求∠A，∠B，∠C的值；（2）若c＝2，求CA→【考点】平面向量的综合题；解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）A=（2）82【分析】（1）由三角函数的诱导公式，余弦定理，正弦定理解三角形即可；（2）由正弦定理，向量的数量积及基本不等式求最小值即可．【解答】解：（1）由1+sinA可得1+sinA即cosAcosB＝sinBsinA+sinB，即cos（A+B）＝sinB，则有﹣cosC＝sinB＞0，故cosC＜0，即π2由﹣cosC＝sinB，得sin(所以C-π2由c2﹣a2＝ab，可得c2＝a2+ab＝a2+b2﹣2abcosC，整理得a＝b﹣2acosC，由正弦定理，可得sinA＝sinB﹣2sinAcosC＝sin（A+C）﹣2sinAcosC＝cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A），即sinA＝sin（C﹣A），故A＝C﹣A或A+C﹣A＝π（舍），所以C＝2A，由A+(2解得A=（2）由（1）知，C=由正弦定理，得asin故a=即CA=4(2≥4(2当且仅当2cos2所以CA→⋅CB【点评】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换与基本不等式的综合应用，属中档题．14．（2024春•高新区校级月考）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3sin（1）若sinC＝2sinA，求AB→在BC→上的投影向量；（用向量（2）若a＝3，S△ABC=1534，BD为∠ABC的平分线，BE【考点】平面向量的综合题；解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）BC→（2）419【分析】（1）由已知化简可解得B=2π3，再结合sinC＝2sinA，利用正弦定理可得|AB（2）先用三角形面积公式求c，再利用S△ABC＝S△ABD+S△BCD求得|BD|，又BE为中线，所以由BE→=12(【解答】解：（1）由已知，可得3=3=sinB+3又0＜B＜π，故B=因为在△ABC中，sinC＝2sinA，而|BC|sinA所以AB→在BC|AB（2）由题意，S△ABC=12由S△ABC＝S△ABD+S△BCD，可得153解得|BD|=15所以|BE所以BEBD【点评】本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题．15．（2024秋•广东月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S=3，且a2+43S＝（b+c）2，D是AB的中点，点E在线段AC上且AE＝2EC，线段CD与线段BE交于点M（1）求角A的大小；（2）若AM→=xAB→（3）若点G是△ABC的重心，求线段GM的最小值．【考点】平面向量的综合题；解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）A=（2）x+（3）26【分析】（1）a2+43S=(b（2）由三点共线得到AM→=λAC→（3）由重心定义得到AG→=13(AB→+AC→)【解答】解：（1）因为a2所以43所以3sinA即3sinA=cosA又A∈（0，π），所以A-所以A=（2）由题意AE→=2由D、M、C三点共线，可得DM→即AM→-AD所以AM→同理由B、M、E三点共线，可得AM→所以λ=所以x+（3）由G是△ABC的重心，得AG→所以GM→所以S△则GM≥2当且仅当c＝2b时，等号成立，所以|GM→|≥132故线段GM的最小值为26【点评】本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题．

考点卡片1．平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB【解题方法点拨】﹣计算模：也就是AB→﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．【命题方向】﹣向量模的计算：考查如何计算向量的模，并应用于几何问题．﹣向量长度的应用：在问题中如何利用向量的长度解决实际问题，如物体的位移和距离计算．如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如图，设小正方形的边长为1，则|AB→|=则长度为5的对角线有20个，分别为AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，∴模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案为：39．2．平面向量数量积的含义与物理意义【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→⋅b→=|a→||b→|cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为注意：①a→⋅b→②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一个数量|b→|cos（3）坐标计算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：a→与b→的数量积a→⋅b→等于a→的长度|a→|与b3．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4．平面向量的综合题【知识点的认识】1、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．2、相关概念（1）向量的模：AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．3、向量的加减运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量叫做a特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）向量的减法运算．求两个向量差的运算叫向量的减法运算．法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为a→与b→的差，即a→设a→=OA→，b特征；有共同起点的两个向量a→、b→，其差a→-b→仍然是一个向量，叫做a→与b5．三角形中的几何计算【知识点的认识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S=12a•ha（ha表示边②S=12absinC=12acsinB=③S=12r（a+b+c）（（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．【解题方法点拨】几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．6．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一