2024-2025学年上学期高一数学苏教版期中必刷常考题之向量的概念

第21页（共21页）2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之向量的概念一．选择题（共5小题）1．（2025•安康模拟）已知向量a→=（﹣1，2），b→=（3，x），若a→A．-32 B．32 C．﹣6 2．（2025•湖南模拟）已知a→，b→均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“|a→+b→|＝|aA．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（2025•山东模拟）已知向量a→=（3，sinθ），b→=（5，1），若a→∥A．725 B．-725 C．24254．（2025•苏州模拟）若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知a→是平面内的任意一个向量，向量b→，c→满足b→⊥c→A．9 B．43 C．6 D．5．（2025•魏县校级开学）已知向量a→，b→是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a→①2a→-3b→=4e→且a②存在相异实数λ，μ，使λa→-μb③xa→+yb→=0（其中实数x，y满足x+④已知梯形ABCD，其中AB→=aA．①② B．①③ C．② D．③④二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•朝阳期末）下列关于平面向量的说法错误的是（）A．若a→，bB．若a→=bC．若a→≠b→D．若a→∥b→（多选）7．（2024秋•辽宁校级期末）下列命题正确的是（）A．若向量AB→，CD→共线，则A，B，CB．若A，B，C为平面内任意三点，则AB→C．若点G为△ABC的重心，则GA→D．已知向量a→=(4+x，y-2)，b→=(（多选）8．（2024秋•岳阳县校级期末）下列关于向量的说法错误的是（）A．若a→∥b→，B．若单位向量a→，b→夹角为π6，则向量a→在向量C．若a→与b→不共线，且sa→+tbD．若a→⋅c→三．填空题（共4小题）9．（2024秋•唐县校级期末）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP→=xe1→+ye2→（其中e1→，e2→分别为x，y轴方向相同的单位向量），则P的坐标为（x10．（2024秋•河南期末）已知向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中11．（2024秋•抚顺期末）若非零向量a→与单位向量e→共线，且|a→+e→|＝|e→|，则|a12．（2025•宁远县校级开学）已知a→，b→是两个不共线的向量，若m→=-a→+kb→四．解答题（共3小题）13．（2024秋•葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ14．（2024秋•淮安月考）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；（2）若A，C，D三点共线，BD→⋅AC15．（2024春•香坊区校级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a→=（2，1），A（1，0），B（cosθ，（1）若a→∥AB→，且|AB→|=5|OA（2）若a→∥AB→，求y＝cos2θ﹣cosθ+t

2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之向量的概念参考答案与试题解析题号12345答案CCACA一．选择题（共5小题）1．（2025•安康模拟）已知向量a→=（﹣1，2），b→=（3，x），若a→A．-32 B．32 C．﹣6 【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示列式计算得解．【解答】解：由题可得：a→由a→∥（a→+b→），可得2×2＝﹣1×（2+x故选：C．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．2．（2025•湖南模拟）已知a→，b→均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“|a→+b→|＝|aA．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量的模；充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；简易逻辑；运算求解．【答案】C【分析】根据两个向量夹角的取值范围，结合共线向量的加法法则、充要条件的概念加以分析，即可得到本题的答案．【解答】解：若sinθ＝0，结合a→，b→夹角的取值范围是[0，π]，可得θ＝当θ＝0时，则a→，b→同向共线，则若非零向量a→，b→满足|a此时θ＝π，必有sinθ＝0，可知必要性成立．综上所述，“sinθ＝0”是“|a故选：C．【点评】本题主要考查共线向量的加法法则、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．3．（2025•山东模拟）已知向量a→=（3，sinθ），b→=（5，1），若a→∥A．725 B．-725 C．2425【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；求二倍角的三角函数值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】直接利用向量的坐标运算和三角函数的倍角公式求出结果．【解答】解：已知向量a→=(3，sinθ)整理得：3﹣5sinθ＝0，故sinθ=故cos2故选：A．【点评】本题考查的知识点：向量的共线，向量的坐标运算，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．4．（2025•苏州模拟）若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知a→是平面内的任意一个向量，向量b→，c→满足b→⊥c→A．9 B．43 C．6 D．【考点】平面向量的模．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，A（x，y），B（3，0），C(0，3)，D(0，-3)，则|a→-b→|+|a→-c→|+|【解答】解：△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知a→是平面内的任意一个向量，向量b→，c→满足b设OA→=a→，以AB所在的直线为x轴，以过C与x轴垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意设A（x，y），B（3，0），C(0，3则a→-b→=所以|a|a因为△BCD为等边三角形，由题意，等边△BCD的费马点为△BCD的中心，此时|AB|+|AC|+|AD|取最小值，所以(|AB故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的模的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．5．（2025•魏县校级开学）已知向量a→，b→是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a→①2a→-3b→=4e→且a②存在相异实数λ，μ，使λa→-μb③xa→+yb→=0（其中实数x，y满足x+④已知梯形ABCD，其中AB→=aA．①② B．①③ C．② D．③④【考点】平面向量的相等与共线．【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；逻辑思维．【答案】A【分析】平面平面向量共线定义对四个选项进行逐一的分析判断，即可得到答案．【解答】解：对于①，因为2a→-3b→=4e→且a→+2b→=-对于②，因为存在相异实数λ，μ，使λa→-μb→=0，所以λa对于③，因为xa→+yb→=0（其中实数x，y满足x+y＝0），因为xa→对于④，在梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故a→，b故选：A．【点评】本题考查了平面向量共线定理的理解和应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•朝阳期末）下列关于平面向量的说法错误的是（）A．若a→，bB．若a→=bC．若a→≠b→D．若a→∥b→【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】对应思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】根据相等向量与共线向量的概念可判定A、B、C；由向量共线定理可判定D．【解答】解：若a→，b→是共线的单位向量，则a→两向量相等，即大小相等，方向相同，故B正确；若a→≠b此时a→，b若a→∥b→，如则不存在实数λ，使得a→=λ故选：ACD．【点评】本题考查平行向量与相等向量的概念，属基础题．（多选）7．（2024秋•辽宁校级期末）下列命题正确的是（）A．若向量AB→，CD→共线，则A，B，CB．若A，B，C为平面内任意三点，则AB→C．若点G为△ABC的重心，则GA→D．已知向量a→=(4+x，y-2)，b→=(【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BC【分析】根据向量共线的定义判断出A项的正误；平面向量的线性运算法则判断出B项的正误；根据平面向量的线性运算性质与三角形重心的性质，可判断出C项的正误；根据平面向量共线的坐标表示，判断出D项的正误．【解答】解：对于A，若向量AB→，CD不一定A、B、C、D在同一直线上，故A项错误；对于B，根据平面向量线的性运算法则，可知AB→+BC对于C，若点G为△ABC的重心，设AB中点为M，则GA→由三角形重心的性质，得CG→=2GM→，可得2GM对于D，因为向量a→=(4+x，y所以（4+x）•y＝x•（y﹣2），化简得x+2y＝0，故D项错误．故选：BC．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、三角形重心的性质、两个向量平行的条件等知识，考查概念的理解能力，属于基础题．（多选）8．（2024秋•岳阳县校级期末）下列关于向量的说法错误的是（）A．若a→∥b→，B．若单位向量a→，b→夹角为π6，则向量a→在向量C．若a→与b→不共线，且sa→+tbD．若a→⋅c→【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AD【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据投影向量的定义分析判断；对于C：根据向量共线的判定定理分析判断；对于D：根据数量积的定义分析判断．【解答】解：A：当b→=0→时，满足a→∥b→，b→∥c→，但a→与c→不一定平行，A错误；B：单位向量C：不妨假设s≠0，则a→=-tsb→，可知所以s＝t＝0，C正确；D：因为a→⋅c又c→≠0→，则|a故选：AD．【点评】本题主要考查向量的相关知识，考查计算能力，属于中档题也是易错题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•唐县校级期末）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP→=xe1→+ye2→（其中e1→，e2→分别为x，y轴方向相同的单位向量），则P的坐标为（x【考点】平面向量的概念与平面向量的模．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】3．【分析】由斜坐标定义用e1→，e2【解答】解：由题意OP→所以|OP故答案为：3．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．10．（2024秋•河南期末）已知向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】4．【分析】结合三点共线的向量形式，利用向量基本定理得λμ＝1，然后利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：向量a→，b→因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使AB→=k又向量a→，b→不共线，所以λ=k1=μk⇒λμ=1当且仅当λ＝4μ＝2时，取等号，即λ+4μ的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，共线向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．11．（2024秋•抚顺期末）若非零向量a→与单位向量e→共线，且|a→+e→|＝|e→|，则|a【考点】平面向量的模．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】先判断非零向量a→与单位向量e【解答】解：|a→+e→|＝|e→|则非零向量a→与单位向量e则|a故|a→|＝2故答案为：2．【点评】本题主要考查平面向量的模，属于基础题．12．（2025•宁远县校级开学）已知a→，b→是两个不共线的向量，若m→=-a→+kb→【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．【答案】23【分析】根据平面向量共线定理，列方程求解即可．【解答】解：根据题意知，存在λ∈R，使m→=λ即-a→+kb→=λ（3a解得λ=-13，故答案为：23【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ【考点】平面向量的概念与平面向量的模；运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）203（2）6．【分析】（1）由重心性质可得BG→（2）由平面向量基本定理的推论得13【解答】解：（1）根据题意：BA→=(-4，由G是△ABC的重心，可得BG→所以|BG（2）由BE→可得BA→=1所以BG→因为E，F，G三点共线，所以13则2λ当且仅当8μ3λ=2λ3所以2λ+8μ的最小值为6．【点评】本题考查平面向量的模长公式及平面向量基本定理，考查基本不等式求最值，属中档题．14．（2024秋•淮安月考）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；（2）若A，C，D三点共线，BD→⋅AC【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量数量积的坐标运算．【专题】方程思想；数形结合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）D（4，3）；（2）D(【分析】（1）设D（x，y），利用BC→=AD（2）利用三点共线，可得AD→=λAC→，可得D（3﹣4λ，【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），∴BC→=（1，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC→设D（x，y），则AD→=（x﹣3，y﹣∴x-3=1y-1=2，解得x=4y（2）由A，C，D三点共线，且AC→可设AD→又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴BD→又BD→•AC→=-4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得∴D(【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．15．（2024春•香坊区校级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a→=（2，1），A（1，0），B（cosθ，（1）若a→∥AB→，且|AB→|=5|OA（2）若a→∥AB→，求y＝cos2θ﹣cosθ+t【考点】平面向量的相等与共线．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）OB→=（﹣1，﹣（2）ymin=-【分析】（1）运用向量平行的条件和向量的模长的公式，解方程可得t，进而得到所求向量的坐标；（2）由向量平行的条件，运用配方法和余弦函数的性质，可得所求最小值．【解答】解：（1）∵向量a→=（2，1），A（1，0），B（cosθ，∴AB→=（cosθ﹣1，t），又a→∥AB→，∴2t﹣cosθ+1＝0，∴cosθ﹣1＝又|AB→|=5|OA→|，∴（cosθ﹣1）2+t2＝由①②得，5t2＝5，∴t2＝1，∴t＝±1，当t＝1时，cosθ＝3（舍去），当t＝﹣1时，cosθ＝﹣1，∴B（﹣1，﹣1），即OB→=（﹣1，﹣（2）由（1）可知t=cosθ∴y＝cos2θ﹣cosθ+(cosθ-1)24又∵cosθ∈[﹣1，1]；∴当cosθ=35时，ymin【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查三角函数的化简和求值，注意运用二次函数的最值的求法，属于中档题．

考点卡片1．充要条件的判断【知识点的认识】充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性．【命题方向】充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故选：A．2．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．3．求二倍角的三角函数值【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2【解题方法点拨】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用二倍角公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．已知tanα2=22，则解：因为tanα所以tanα=故答案为：224．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．5．平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB【解题方法点拨】﹣计算模：也就是AB→﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．【命题方向】﹣向量模的计算：考查如何计算向量的模，并应用于几何问题．﹣向量长度的应用：在问题中如何利用向量的长度解决实际问题，如物体的位移和距离计算．如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如图，设小正方形的边长为1，则|AB→|=则长度为5的对角线有20个，分别为AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，∴模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案为：39．6．平面向量的相等与共线【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．7．平面向量的平行向量（共线向量）【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直