2024-2025学年上学期高二数学苏教版期中必刷常考题之空间向量的应用

第33页（共33页）2024-2025学年上学期高二数学苏教版（2019）期中必刷常考题之空间向量的应用一．选择题（共5小题）1．（2025•四川开学）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面A1EF的距离（）A．和点E，F的位置有关 B．和EF的长度有关 C．和点P的位置有关 D．等于22．（2024秋•苏州期末）△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝3，点P在平面ABC外，且PA→⋅PB→=3，PA→⋅PC→A．724 B．524 C．35 3．（2024秋•聊城期末）在四面体ABCD中，∠BAD＝∠CAD＝60°，AC⊥AB，AB＝AD＝2，AC＝3，则异面直线AC与BD所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．（2024秋•广西期末）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，BD=3，E是BC的中点，沿BD将△BCD翻折至△BC′D的位置，使得平面BC′D⊥平面ABD，F为C′D的中点，则异面直线EF与A．35 B．45 C．13 5．（2024秋•长寿区期末）已知向量a→=(2，-1A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•临沂一模）圆柱O1O2的轴截面是正方形，O1，O2分别是上、下底面的圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，若圆柱O1O2的侧面积为16π，则（）A．圆柱O1O2的体积是16π B．圆柱O1O2内切球的表面积是8π C．AOD．点B到直线AO1距离的最大值为3（多选）7．（2025•安徽模拟）如图，已知圆台的轴截面为ABCD，其中AB=3CD=123，AD＝8，M为圆弧A．圆台的体积为208π B．圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为π3C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为323D．过C，E，M三点的平面与圆台下底面的交线长为36（多选）8．（2024秋•合肥期末）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AE=BD=42，A．AE⊥CF B．平面PBC与平面ADE可能平行也可能垂直 C．PC2+PE2的取值范围是[32，64] D．点B到平面CEF的距离为4三．填空题（共4小题）9．（2024秋•呼和浩特期末）已知直线l的一个方向向量为d→=(1，2，-1)，平面α的一个法向量n→=(x，-10．（2025•东兴区校级开学）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段BD的中点，N为AA1上的一动点（含端点），当直线C1M与平面BDN所成角取得最大值时，AN的长度为．11．（2024秋•泰安期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为侧面ADD1A1内（含边界）的一个动点，P是线段CC1的中点，若直线PM与平面ADD1A1所成的角为π4，则点M的轨迹长度为12．（2025•江西模拟）已知正四棱柱ABCD﹣AB1C1D1的底面边长为2，沿该棱柱的表面从点A经过棱A1B1或棱BB1上的一点E到达点C1的最短距离为13，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为．四．解答题（共3小题）13．（2025•安康模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ACC1A1，平面ABC⊥平面ACC1A1，A1C⊥AB．（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；（2）已知A1C＝2AC＝2BC，求直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．14．（2025•安徽模拟）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD且AB=12CD=1，AB⊥BC，∠ADC＝60（1）若M，N分别是棱AD，EC的中点，证明：MN∥平面ABE；（2）求平面BCE与平面ADE夹角的余弦值．15．（2025•延庆区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝2，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥FE；（Ⅱ）若CF=5，求直线BE与平面

2024-2025学年上学期高二数学苏教版（2019）期中必刷常考题之空间向量的应用参考答案与试题解析题号12345答案DBCAA一．选择题（共5小题）1．（2025•四川开学）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面A1EF的距离（）A．和点E，F的位置有关 B．和EF的长度有关 C．和点P的位置有关 D．等于2【考点】空间中点到平面的距离．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】D【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直的性质可求得结论．【解答】解：因为E，F为CD上两个动点，所以平面A1EF即为平面A1B1CD，因为AB∥CD，CD⊂平面A1CD，所以AB∥平面A1CD，又P为AB上任意一点，所以点P到平面A1B1CD的距离即点A到平面A1B1CD的距离，在正方体中，AD1⊥A1D，CD⊥AD1，CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面A1B1CD，则点A到平面A1B1CD的距离为22所以点P到平面A1EF的距离为22故选：D．【点评】本题考查空间点到平面距离的求法，属中档题．2．（2024秋•苏州期末）△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝3，点P在平面ABC外，且PA→⋅PB→=3，PA→⋅PC→A．724 B．524 C．35 【考点】异面直线及其所成的角；平面向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据题意，取AC的中点E，连接DE、PE，由三角形中位线定理、异面直线所成角定义，证出∠PDE（或补角）就是异面直线DP与BC的所成角．然后在△PAB中，根据PA→⋅PB→=3且AB＝2，运用平面向量数量积的运算性质求出PD＝2，同理在△PAC中求出PE=5.最后在△【解答】解：取AC的中点E，连接DE、PE，因为△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，所以DE=12BC=32且可得∠PDE（或补角）就是异面直线DP与BC的所成角．由PA→⋅PB→=3，得（PD→+DA→）•（PD所以PD→2-DA→2=3，结合DA→2=14|AB→|2＝同理可得PE→2=EA→2+PA→在△PDE中，PD＝2，DE=32，PE所以cos∠PDE=PD2+DE2-P故选：B．【点评】本题主要考查异面直线所成角的定义与求法、空间向量数量积的定义与运算性质、余弦定理等知识，属于中档题．3．（2024秋•聊城期末）在四面体ABCD中，∠BAD＝∠CAD＝60°，AC⊥AB，AB＝AD＝2，AC＝3，则异面直线AC与BD所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】转化思想；综合法；空间角；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，以AB→、AC→、AD→为基向量，运用空间向量数量积的定义与运算法则，求出cos＜AC→，BD【解答】解：根据题意，可得AB→•AC→=0，AB→•AD→=|AB→|•|AD→|cos∠BAD＝2，AC→•AD→=|△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，可得BD＝2．因为AC→•BD→=AC→•（AD→-AB→）=AC所以cos＜AC→，BD→＞=AC→⋅BD→|AC→|⋅|所以异面直线AC与BD所成的角等于60°．故选：C．【点评】本题主要考查空间向量的数量积及其运算法则、异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．4．（2024秋•广西期末）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，BD=3，E是BC的中点，沿BD将△BCD翻折至△BC′D的位置，使得平面BC′D⊥平面ABD，F为C′D的中点，则异面直线EF与A．35 B．45 C．13 【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直．【专题】转化思想；向量法；空间角；运算求解；空间想象．【答案】A【分析】先证BC'⊥平面ABD，再以B为原点建系，利用向量法求异面直线所成角即可．【解答】解：由AB＝2，AD＝1，BD=3，知AD2+BD2＝AB2，即AD⊥因为平行四边形ABCD，所以AD∥BC，所以BC⊥BD，即BC'⊥BD，又平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，BC'⊂平面BC′D，所以BC'⊥平面ABD，故以B为原点，BC，BD，BC'所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E（12，0，0），F（0，32，12），A（﹣1，3，0），C′（0，0所以EF→=（-12，32，12），AC'所以cos＜EF→，因为异面直线所成角的取值范围为（0，π2]所以异面直线EF与AC′所成角的余弦值为35故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，熟练掌握面面垂直的性质定理，利用向量法求异面直线所成角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．5．（2024秋•长寿区期末）已知向量a→=(2，-1A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】代入空间向量垂直的坐标表示，即可求解．【解答】解：向量a→=(2，则a→⋅b→=2×5+(-1)×1+3故选：A．【点评】本题主要考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025•临沂一模）圆柱O1O2的轴截面是正方形，O1，O2分别是上、下底面的圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，若圆柱O1O2的侧面积为16π，则（）A．圆柱O1O2的体积是16π B．圆柱O1O2内切球的表面积是8π C．AOD．点B到直线AO1距离的最大值为3【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离；圆柱的体积．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】根据圆柱体积公式、侧面积公式，结合空间向量数量积的坐标公式、点到线距离公式逐一判断即可．【解答】解：根据题意可知，圆柱O1O2的轴截面是正方形，O1，O2分别是上、下底面的圆心，设圆柱O1O2的底面半径为r，∴母线为2r，∵圆柱O1O2的侧面积为16π，∴2πr•2r＝16π⇒r＝2．∵圆柱O1O2的体积是π•22×2×2＝16π，∴选项A正确；∵圆柱O1O2的底面半径为2，∴母线为4，∴圆柱O1O2内切球的半径为2，∴圆柱O1O2内切球的表面积是4π•22＝16π，因此选项B不正确；建立如图所示的空间直角坐标系，O1（0，0，4），B（0，2，0），C（0，2，4），设A（2cosθ，2sinθ，0），sinθ≠1，AOAO∴选项C正确；设a→直线AO1的单位方向向量为u→∴点B到直线AO1距离为d=-由题意﹣1≤sinθ＜1，∴当sinθ＝﹣1时，dmax=8故选：AC．【点评】本题考查了正弦函数与二次函数的性质，属于中档题．（多选）7．（2025•安徽模拟）如图，已知圆台的轴截面为ABCD，其中AB=3CD=123，AD＝8，M为圆弧A．圆台的体积为208π B．圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为π3C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为323D．过C，E，M三点的平面与圆台下底面的交线长为36【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；圆台的体积．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】ABD【分析】求出圆台的高，根据体积公式可判定选项A；把圆台补成圆锥，根据母线TM与平面ABCD所成的角最大可判定选项B；利用两条母线所在直线夹角为π2时截面面积最大可判定选项C；找出过C，E，M三点的平面与圆台下底面的交线，结合垂径定理可判定选项D【解答】解：选项A，因为AB=3所以圆台上底面圆半径为23，下底面圆半径为6所以圆台的高h=故圆台的体积V=4π3×(12+36+108)=208选项B，由h＝4，BC＝8，得sin∠由∠OBC∈(0如图，将圆台补成圆锥，顶点记为T，底面圆的圆心记为O，连接TO，MO，MT，因为M为圆弧AB的中点，所以MO⊥AB，因为TO⊥平面AMB，MO⊂平面AMB，所以TO⊥MO，因为TO∩AB＝O，TO，AB⊂平面ABCD，所以MO⊥平面ABCD，又MO⊂平面TMO，所以平面TMO⊥平面ABCD，此时母线所在直线TM与平面ABCD所成的角最大，最大为∠MTO，∠MTO=π选项C，由∠TBO可得TO＝6，BT＝12，所以TC＝12﹣8＝4，当两条母线所在直线夹角为π2最大值为12×122×sinπ2选项D，如图，在梯形ABCD中，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接MF交底面圆于点N，则MN为截面与底面圆的交线，由CDAF=DEEA=2所以tan∠OMF=取MN中点G，则OG⊥MN，MN＝2MG，所以MN=2×6故选：ABD．【点评】本题考查圆台的性质，考查线面角的求法及立体几何的综合应用，属中档题．（多选）8．（2024秋•合肥期末）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AE=BD=42，A．AE⊥CF B．平面PBC与平面ADE可能平行也可能垂直 C．PC2+PE2的取值范围是[32，64] D．点B到平面CEF的距离为4【考点】空间中点到平面的距离；直线与平面垂直；平面与平面平行．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可判断AB中的位置关系，利用空间距离公式计算CD后可判断它们的正误．【解答】解：根据题意可知，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AE=建立如图所示的空间直角坐标系，A项．∵AE=BD=42，∴AB＝AD＝4，∴则A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），E（0，0，4），F（4，4，4）．A项.AE→=(-4，∴AE→⊥CFB项．当点P与点F重合时，平面PBC//平面ADE，当点P与点A重合时，平面PBC⊥平面ADE，故B项正确；C项．根据题意，可设点P（4，4λ，4λ），其中0≤λ≤1，则PC2+PE2＝42+（4λ﹣4）2+（4λ）2+42+（4λ）2+（4λ﹣4）2＝64λ2﹣64λ+64＝64（λ2﹣λ+1），当λ∈[0，1]]时，λ2∴64（λ2﹣λ+1）∈[48，64]，即PC2+PE2的取值范围是[48，64]，故C项错误；D项.CE→设平面CEF的法向量为m→=(x故-4y+4∴点B到平面CEF的距离为|CB→⋅故选：ABD．【点评】本题考查了空间直角坐标系的建立，属于基础题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•呼和浩特期末）已知直线l的一个方向向量为d→=(1，2，-1)，平面α的一个法向量n→=(x，-【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；平面的法向量．【专题】转化思想；向量法；立体几何；运算求解．【答案】10．【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出x的值．【解答】解：因为l∥α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，即n→解得：x＝10．故答案为：10．【点评】本题考查向量法的应用，属于基础题．10．（2025•东兴区校级开学）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段BD的中点，N为AA1上的一动点（含端点），当直线C1M与平面BDN所成角取得最大值时，AN的长度为1．【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角．【专题】转化思想；向量法；空间角；运算求解；空间想象．【答案】1．【分析】以D为坐标原点建系，设AN＝a（0≤a≤2），直线C1M与平面BDN所成角为θ，利用向量法求线面角，可将sinθ表示成关于a的函数，再结合换元法，配方法，求解即可．【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AN＝a（0≤a≤2），则D（0，0，0），B（2，2，0），M（1，1，0），C1（0，2，2），N（2，0，a），所以C1M→=(1，设平面BDN的法向量为n→=(x令x＝a，则z＝﹣2，y＝﹣a，所以n→设直线C1M与平面BDN所成角为θ，则sinθ=|令t＝a+2，则a＝t﹣2，且t∈[2，4]，设f（t）=(当1t=13时，f（t）取得最大值，sinθ取得最大值，即θ取得最大值，此时t＝3，即a所以a＝1，所以AN的长度为1．故答案为：1．【点评】本题考查空间中线面角的求法，熟练掌握利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11．（2024秋•泰安期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为侧面ADD1A1内（含边界）的一个动点，P是线段CC1的中点，若直线PM与平面ADD1A1所成的角为π4，则点M的轨迹长度为2π【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．【答案】23【分析】根据线面角得出M的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧；【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为侧面ADD1A1内（含边界）的一个动点，P是线段CC1的中点，若直线PM与平面ADD1A1所成的角为π4以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立坐标系，易知平面A1ADD1的一个法向量为n→=(0，1，0)，P（设M（t，0，n），t，n∈[0，2]，当直线PM与平面A1ADD1所成的角为π4sinπ∴t2+（n﹣1）2＝4，则点M的轨迹是以E（0，0，1）为球心，2为半径的球，M为侧面ADD1A1内的一个动点，则点M的轨迹在侧面ADD1A1内是以E（0，0，1）为圆心，2为半径的劣弧，设轨迹分别交AD，A1D1于点M2，M1，可得M1则∠M1ED1=∠M2劣弧M1M2的长为π3故答案为：23【点评】本题考查正方体结构特征、劣弧、点的轨迹、球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．（2025•江西模拟）已知正四棱柱ABCD﹣AB1C1D1的底面边长为2，沿该棱柱的表面从点A经过棱A1B1或棱BB1上的一点E到达点C1的最短距离为13，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为2613【考点】异面直线及其所成的角；多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】分类讨论；综合法；空间角；立体几何；运算求解；空间想象．【答案】2613【分析】设该棱柱的高为h，利用点E到达点C1的最短距离为13，求出h的值，再过点E作B1D1的平行线与A1D1交于点F，易知∠AEF或其补角即为所求，然后根据解三角形的知识求解即可．【解答】解：设该棱柱的高为h（h＞0），如图所示，若沿该棱柱表面从点A经过棱BB1上一点E到达点C1，则最短距离为(2+2)若从点A经过棱A1B1上的一点E到达点C1，则最短距离为22+(2+h)2=13因为A1E∥C1D1，所以A1EC过点E作EF∥B1D1，交A1D1于点F，因为B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以∠AEF或其补角即为AE与BD所成角，在△AEF中，AE=AF=12+(23所以cos∠故答案为：2613【点评】本题考查异面直线所成角的求法，棱柱表面最短距离等问题，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．四．解答题（共3小题）13．（2025•安康模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ACC1A1，平面ABC⊥平面ACC1A1，A1C⊥AB．（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；（2）已知A1C＝2AC＝2BC，求直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）25【分析】（1）根据线面垂直得到线线垂直，再根据一条直线垂直于一个平面里两条相交的直线，即可得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值即为直线所在的方向向量与平面法向量夹角的余弦值，可求得结果．【解答】解：（1）证明：设P∈平面ACC1A1，过P作PM⊥C1C、PN⊥AC，垂足分别为M、N，因为平面BCC1B1⊥平面ACC1A1，平面BCC1B1∩平面ACC1A1＝CC1，PM⊥C1C、PM⊂平面AA1C1C，所以PM⊥平面BCC1B1，因为BC⊂平面BCC1B1，所以PM⊥BC，同理PN⊥BC，又因为PM∩PN＝P，PM、PN⊂平面AA1C1C，所以BC⊥平面ACC1A1．（2）由（1）知BC⊥平面ACC1A1，因为A1C⊂平面AA1C1C，所以BC⊥A1C，又因为A1C⊥AB，所以CA，CB，CA1两两垂直，以C为坐标原点，CA→，CB→，CA1→由AC=BC=12A1C，可设AC＝BC＝则A（1，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，2），所以AB→所以AB设n→=(x，y，则n→⊥CB取n→设直线AB1与平面BCC1B1所成的角为θ，则sinθ=|即直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为25【点评】本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．14．（2025•安徽模拟）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD且AB=12CD=1，AB⊥BC，∠ADC＝60（1）若M，N分别是棱AD，EC的中点，证明：MN∥平面ABE；（2）求平面BCE与平面ADE夹角的余弦值．【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）证明见解答；（2）217【分析】（1）通过线线平行得到平面MNF∥平面BAE，进而证明MN∥平面ABE．（2）通过分析可得MD，ME，MC两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求两平面夹角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取DE的中点F，连接MF，NF，∵M，N分别是棱AD，EC的中点，∴MF∥AE，NF∥CD，∵AB∥CD，∴NF∥AB，∵MF∥AE，MF⊄平面BAE，AE⊂平面BAE，∴MF∥平面BAE，同理可得NF∥平面BAE，∵MF∩NF＝F，MF，NF⊂平面MNF，∴平面MNF∥平面BAE，又MN⊂平面MNF，∴MN∥平面ABE；（2）解：如图，连接CM，ME，AC，取DC的中点G，连接AG，∵AB∥CD且AB=12CD=1，∴AB∥CG∴四边形ABCG为平行四边形，故BC∥AG，∵AB⊥BC，∴AG⊥CD，且GD＝1，∵∠ADC＝60°，∴AD＝2，故△ADC为等边三角形，∴CM⊥AD，CM=∵△ADE为等边三角形，∴DE=2在△CDE中，由余弦定理得：CE∴CM2+ME2＝CE2，即CM⊥ME，故MD，ME，MC两两互相垂直，以M为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则C(0，0，3)，E(0，3，0)，D（1，0由AB→=1∴EC→设平面BCE的一个法向量为n→则由n→⊥EC→，令z＝3，则y=3，x取平面ADE的一个法向量为m→则cos＜∴平面BCE与平面ADE夹角的余弦值为217【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面夹角的余弦值求法，属中档题．15．（2025•延庆区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝2，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥FE；（Ⅱ）若CF=5，求直线BE与平面【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑思维；运算求解．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3030【分析】（Ⅰ）由线面平行的判定与性质定理得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，AB∥DC，又AB⊄平面DCP，DC⊂平面DCP，所以AB∥平面DCP，又因为AB⊂平面ABE，且平面ABE∩平面DCP＝FE，所以AB∥FE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知FE∥DC，又因为E是PC的中点，所以F是PD的中点，因为CF=5，即CD2+因为PD⊥平面ABCD，AD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC．又在正方形ABCD中，AD⊥CD，所以DA，DC，DP两两垂直．如图，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，0，1）．所以BE→设平面BCF的一个法向量为n→则BF→⋅n→=-2x-设直线BE与平面BCF所成角为θ，则sinθ＝|cos＜BE→，故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为3030【点评】本题主要考查线面平行的判定与性质定理，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．

考点卡片1．平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算2．多面体和旋转体表面上的最短距离问题【知识点的认识】多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题，要注意的是，如果不是指定的两点间的某种特殊路径，其表面上两点间的距离应是按各种可能方式展开成平面图形后各自所得最短距离中的最小者．旋转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化为展开面内两点连线的最短长度问题来解决．3．圆柱的体积【知识点的认识】圆柱的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆柱尺寸进行体积计算．【命题方向】﹣圆柱的体积计算：考查如何根据底面圆的半径和高度计算圆柱的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆柱的体积计算．4．圆台的体积【知识点的认识】圆台的体积计算依赖于底面圆的半径r1、顶面圆的半径r2和圆台的高度h．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆台尺寸进行体积计算．【命题方向】﹣圆台的体积计算：考查如何根据底面和顶面的半径以及高度计算圆台的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆台的体积计算．5．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝902、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：6．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．7．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．8．平面与平面平行【知识点的认识】两个平面平行的判定：（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．平面与平面平行的性质：性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．9．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．10．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直【知识点的认识】一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→⇔存在λ∈R共面向量定理若两个向量a→，b→不共线，则向量p→与向量a→，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p→空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量a→、b→、c不共面，那么对空间任一向量p→，存在有序实数组{x，y，z}使得p→=xa（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积（1）a→•b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→⇔a→•b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐标运算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a数量积a→•b→=a1b1+a2b2+a共线a→∥b→⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈垂直a→⊥b→⇔a1b1+a2b2+a3b3夹角公式cos＜a→，11．平面的法向量【知识点的认识】1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量e→以及与e→共线的向量叫做直线①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量n→的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是与平面平行或在平面内，则