16.3　二次根式的加减（第1课时　二次根式的加减）

教案word版1/516.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减本节内容是在学习二次根式的性质以及乘除法法则的基础上学习的，是二次根式运算的进一步深入．二次根式的加减是把二次根式化为最简二次根式之后，把同类二次根式进行合并，可以类比整式的加减来学习．所以本节课内容是对前两节二次根式的乘除以及化简的综合运用，进一步发展学生的运算能力，加强数感，体会类比思想．【类比导入】1．复习回顾，感悟知识：(1)2x和5x________(填“是”或“不是”)同类项，所以2x＋5x＝________；(2)3a2和－a3________(填“是”或“不是”)同类项，所以3a2＋2a2－a3＝________．2．类比探索：猜一猜：被开方数相同的二次根式应该如何加减？被开方数不同的二次根式又该如何加减？【说明与建议】说明：类比整式的加减，让学生归纳出被开方数相同的二次根式相加减的方法，并进行简单计算．建议：在教学过程中，教师应注重问题的提出过程，知识的形成过程，能力的发展过程以及解决问题的方法．命题角度1利用二次根式合并的条件解题1．若eq\r(5)和最简二次根式3eq\r(2m－1)是同类二次根式，则m＝3．2．若最简二次根式eq\r(3n－1,m＋2)与eq\r(3)可以合并，则m－n＝0．命题角度2二次根式的加减运算3．计算eq\r(24)－3eq\r(\f(1,6))的结果是eq\f(3,2)eq\r(6)．4．计算：(1)10eq\r(3)＋7eq\r(12)－5eq\r(48)；(2)eq\r(18)＋(eq\r(98)－eq\r(27)).解：（1）原式＝10eq\r(3)＋14eq\r(3)－20eq\r(3)＝4eq\r(3).（2）原式＝3eq\r(2)＋7eq\r(2)－3eq\r(3)＝10eq\r(2)－3eq\r(3).命题角度3二次根式的化简求值5．先化简，再求值：eq\r(9a3)＋eq\r(16a)－2eq\r(\f(25,4)a)，其中a＝eq\f(1,2).解：原式＝3aeq\r(a)＋4eq\r(a)－5eq\r(a)＝(3a－1)eq\r(a).当a＝eq\f(1,2)时，原式＝(3×eq\f(1,2)－1)×eq\r(\f(1,2))＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4).测量大师——海伦海伦(HeronofAlexandria，约1世纪)生于埃及，是古希腊数学家、力学家、机械学家和测量家，曾在罗马帝国的著名学术研究城市亚历山大教授数学、物理学等．海伦着重于研究数学的实际应用，这可以从他的著作《测地术》《几何》《体积求法》中略知一二．《测地术》更被古代的人们采用了数百年之久．除此之外，他曾替欧几里得(Euclid，约公元前330－公元前275)的《几何原本》作注释及补充．海伦以解决几何测量问题而闻名，他给出了很多平面图形的面积公式和立体的体积计算公式．例如正三边形至正十二边形的面积计算方法．在《测地术》中，他更给出了著名的三角形的面积公式——海伦公式．此外，海伦还把他的理论应用于机械设计，并有《机械学》《投石炮》《炮枪设计》等著作．同时他亦是水钟、测量仪、起重机等的设计者．可见他是一位把数学应用于生活的天才．已知三角形的三条边长分别是a，b，c，则三角形的面积为S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，其中p＝eq\f(a＋b＋c,2)，这个公式叫海伦公式．海伦公式出现在《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式实际上是阿基米德发现的，但是这个名称已成为习惯用法，我们仍称这个公式为海伦­秦九韶公式．课题16.3第1课时二次根式的加减授课人素养目标1.通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加减法运算．2．会二次根式的加减，能通过加减法运算解决实际问题．3．通过整式的加减运算与二次根式的加减运算比较，体会类比思想．4．经历探究二次根式加减法法则的过程，激发学习热情，体验成功的快乐．教学重点二次根式的加减运算．教学难点正确合并被开方数相同的二次根式，二次根式加减法的实际应用．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾化简：(1)eq\r(\f(5,3))；(2)eq\r(48)；(3)eq\r(72m3).复习二次根式的化简，为本节课做铺垫．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？出示问题，教师倾听学生的交流，指导学生探究，重点关注学生能否找到解决问题的正确方法，帮助分析．以实际问题引入新课，激发学生的学习兴趣，感受本节课学习的必要性，加强新旧知识的联系．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．针对【课堂引入】的问题，教师继续提出如下问题问题1怎样设计出解决问题的正确方案？问题2如何计算eq\r(8)＋eq\r(18)？问题3如何比较eq\r(8)＋eq\r(18)与7.5的大小？师生活动：学生分组讨论，交流合作，探求方法．教师引导学生类比整式的加减，先将eq\r(8)和eq\r(18)化成最简二次根式，再利用分配律进行计算．2．下列计算是否正确？为什么？(1)eq\r(8)－eq\r(3)＝eq\r(8－3)；(2)eq\r(4)＋eq\r(9)＝eq\r(4＋9)；(3)eq\r(9)×eq\r(16)＝eq\r(9×16)；(4)3eq\r(2)－eq\r(2)＝2.教师活动：教师点拨，化简后出现的eq\r(2)可看成x，被开方数相同的二次根式加减法可看作合并同类项．学生活动：学生小组讨论，总结二次根式的加减法步骤：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来，包含前面的符号，被开方数和根指数不变；(2)当二次根式的系数是带分数时，必须将其化成假分数；(3)化简后，被开方数不相同的根式不能合并．通过提出问题，让学生积极参与到课堂中来，类比整式的加减，将被开方数相同的二次根式合并．其中，要注意强调二次根式加减运算与乘除运算的联系和区别，避免一些常见的错误，提高解题的准确度．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第13页例1)计算：(1)eq\r(80)－eq\r(45)；(2)eq\r(9a)＋eq\r(25a).解：(1)原式＝4eq\r(5)－3eq\r(5)＝eq\r(5).(2)原式＝3eq\r(a)＋5eq\r(a)＝8eq\r(a).例2(教材第13页例2)计算：(1)2eq\r(12)－6eq\r(\f(1,3))＋3eq\r(48)；(2)(eq\r(12)＋eq\r(20))＋(eq\r(3)－eq\r(5)).解：(1)原式＝4eq\r(3)－2eq\r(3)＋12eq\r(3)＝14eq\r(3).(2)原式＝2eq\r(3)＋2eq\r(5)＋eq\r(3)－eq\r(5)＝3eq\r(3)＋eq\r(5)．师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注学生能否正确化简，并再次强调哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．【变式训练】计算：(1)eq\r(16x)＋eq\r(64x)；解：原式＝4eq\r(x)＋8eq\r(x)＝12eq\r(x).(2)eq\r(125)－2eq\r(5)＋eq\r(45).解：原式＝5eq\r(5)－2eq\r(5)＋3eq\r(5)＝6eq\r(5).师生活动：学生独立完成，然后互相展示，交流答案，教师关注学生对运算法则的运用是否正确．1.通过典型例题的讲解，帮助学生掌握本课时的主要内容，理解二次根式的化简过程．2．变式训练进一步巩固所学知识，培养学生的应用意识和能力．活动四：课堂检测【课堂检测】1．计算3eq\r(2)＋eq\r(2)的值是(C)A.5B．6C．4eq\r(2)D．2eq\r(2)2．下列根式中可以与eq\r(5)合并的是(B)A.eq\r(10)B．eq\r(20)C．eq\r(15)D．eq\r(25)3．下列计算正确的是(C)A.5eq\r(3)－4eq\r(3)＝1B．eq\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)C.eq\r(8)－eq\r(2)＝eq\r(2)D．3＋2eq\r(2)＝5eq\r(2)4．三角形的三边长分别为eq\r(20)cm，eq\r(40)cm，eq\r(45)cm，则这个三角形的周长为(5eq\r(5)＋2eq\r(10))cm.5．计算：(1)5eq\r(8)－2eq\r(27)＋eq\r(18)；(2)2eq\r(18)－eq\r(50)＋eq\f(1,3)eq\r(45).解：(1)原式＝13eq\r(2)－6eq\r(3).(2)原式