19.2.3　一次函数与方程、不等式（第2课时　一次函数与二元一次方程组）

1/819.2.3一次函数与方程、不等式第2课时一次函数与二元一次方程组函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型．用函数的观点看方程（组）与不等式，不仅能帮助学生加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美．本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义．【置疑导入】小聪和小惠去某景区游览，约好在“飞瀑”见面．上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发：沿景区公路去“飞瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h.（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多远？追问：当小聪追上小慧时，他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”？该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析式法？【说明与建议】说明：通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决问题，在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．建议：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难．可用以下问题串引导学生进行分析：（1）两个人是否同时起步？（2）在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？（3）这个问题中的两个变量是什么？它们之间是什么函数关系？（4）如果用s表示路程，t表示时间，那么他们各自的解析式分别是什么？【情景导入】在河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从A码头匀速行驶到B码头，同时货轮从B码头出发，运送一批物资匀速行驶到A码头，两船距B码头的距离y（km）与行驶时间x（min）之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：（1）A，B两个码头之间的距离是80km；（2）已知货轮距B码头的距离与行驶时间的函数解析式为y1＝eq\f(1,2)x，求客轮距B码头的距离y2（km）与时间x（min）之间的函数解析式；（3）求出点P的坐标，并指出点P的横坐标与纵坐标所表示的实际意义．【说明与建议】说明：通过学生熟悉的问题导入新课，培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识及学习兴趣．建议：引导学生建立函数模型，结合图象利用“数形结合”解决问题．命题角度1利用两个一次函数图象求二元一次方程组的解1.如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,y＝kx))的解是（C）A．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝－1))C．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝1))D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝1))第1题图第3题图2.在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋11与直线y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(5,3)的交点坐标是（4，3），则方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝11，,x－3y＝－5))的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝3))．命题角度2利用两个一次函数图象求一元一次不等式的解集3.函数y＝kx与y＝－x＋3的图象如图所示，根据图象可知，不等式kx＞－x＋3的解集是x＞1．命题角度3利用一次函数与方程、不等式的联系解决实际问题4.某电信公司有两种上网费用的计算方式，方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基本费20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费．设上网时间为x分钟，所需费用为y元．用函数方法解答何时两种计费方式费用相等．解：yA＝0.1x，yB＝0.05x＋20.函数图象如图所示．∴当每月上网时间为400分钟时，两种计费方式费用相等．课题19.2.3第2课时一次函数与二元一次方程组授课人素养目标1.理解一次函数的图象与二元一次方程（组）的关系．2.经历用函数观点分析二元一次方程（组）的过程，进一步体会类比思想、分类讨论思想．3.利用一次函数图象的性质，解决实际问题．4.体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，激发学生的学习兴趣．教学重点借助两个一次函数图象求二元一次方程（组）的解或一元一次不等式的解集．教学难点借助四个一次[一次函数、一元一次方程、二元一次方程（组）的解、一元一次不等式]之间的关系，解决实际问题．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.解二元一次方程组2.一次函数y＝5x＋6与y＝3x＋10的交点坐标是多少？复习旧知，引发思考，为突破本节课重难点做铺垫．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】1号探测气球从海拔5m出发，以1m/min的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都上升了1小时．用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间t（单位：min）的函数关系；1号气球：y＝x＋5，2号气球：y＝0.5x＋15.从实际问题抽象出数学问题，一方面有助于发展学生抽象逻辑能力，另一方面可以激发学生的学习兴趣，更好地开展新课．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】针对【课堂引入】的问题，继续思考在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多少时间？位于什么高度？问题1从数的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？问题2从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？师生活动：教师引导学生类比一次函数与一元一次方程的关系，结合两个一次函数的图象，探求与二元一次方程组之间的关系．最后，教师帮助学生总结．归纳：（2）图象法解方程组的步骤：①将方程组中各方程化为y＝ax＋b的形式；②画出各函数的图象；③由交点坐标得出方程组的解．自主探究：在什么时候，1号气球比2号气球高？在什么时候，2号气球比1号气球高？通过类比一次函数与一元一次方程，分别从数和形两个角度分析二元一次方程组与一次函数之间的关系，进一步开拓学生的思维，感受数形结合思想以及分类讨论思想，体会数学思想的应用价值．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx＋b＝x＋2的解是（B）A.x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4例2如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x和y＝ax＋2相交于点A（m，1），则不等式－2x<ax＋2的解集为（D）A.x<eq\f(1,2)B．x<1C．x>1D．x>－eq\f(1,2)【变式训练】在同一平面直角坐标系内画一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象，解决下列问题：（1）求方程－x＋4＝2x－5的解；（2）求二元一次方程组的解；（3）当x取何值时，y1＞y2？当x取何值时，y1＞0且y2＜0？解：画函数图象如图所示．（1）∵一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象相交于点（3，1），∴方程－x＋4＝2x－5的解为x＝3.（2）由图可知，二元一次方程组（3）由图可知，当x＜3时，y1＞y2；当x＜eq\f(5,2)时，y1＞0且y2＜0.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．通过典型例题和变式训练．进一步感受两个一次函数与二元一次方程组的解之间的联系．由形判数，培养数形结合思想，体会数学知识的融会贯通．活动四：课堂检测【课堂检测】1.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x和y＝ax＋2相交于点A（m，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为（C）第1题图第2题图第3题图2.如图，一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象交于点A（3，2），它们与x轴的交点横坐标分别为1和－1，则不等式k2x＋b2>0>k1x＋b1的解集为（D）A.x>3B．x<－1C．x>1D．－1<x<13.一次函数y1＝mx＋n与y2＝－x＋a的图象如图所示，则不等式mx＋n＞－x＋a的解集为（A）A.x＞3B．x＜3C．x＜2D．x＞24.如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b）.（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解．解：（1）∵P（1，b）在直线l1上，∴b＝1＋1，即b＝2.（2）师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲