20.2　数据的波动程度

8/920.2数据的波动程度本章是统计部分的最后一章，主要学习分析数据的集中趋势和离散程度的常用方法．本节课是在研究了平均数、中位数、众数这些统计量之后，进一步研究另外一种统计的方法——方差．“方差”属于数学中的概率统计范畴，它的特点是与生活中的实际问题联系紧密，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用．【情景导入】播放阅兵的视频：我们知道接受检阅的仪仗队必须精挑细选，整齐划一，特别注重队员的身高．下面有两组仪仗队，准备抽取其中一组参与检阅．已知这两组仪仗队队员的身高（单位：cm）如下表：甲队178177179178178177178178177180乙队178177179176178180180178176178你认为哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？【说明与建议】说明：通过生活中的一个实例提出问题，吸引学生的注意力，更容易激发学生的兴趣，引起学生的思考．这个问题学生很自然想到利用平均数做出选择，结果却发现两个队队员的平均身高一样，学生原有的知识与遇到的问题情境产生知识碰撞，从而引发进一步学习新知识的欲望．建议：学生积极进行计算，得到两个仪仗队队员的身高的平均数、中位数、众数都是178cm，无法利用这些数据做出判断，引发思考和提升解决问题的兴趣．【置疑导入】如图所示反映的是甲、乙、丙三个选手的射击成绩．显然，图中甲的成绩整体水平比丙的好．那么，甲、乙两人的射击成绩如何比较呢？除了平均水平外，是否还有其他统计量能反映数据的信息呢？交流讨论下列问题：（1）估计甲、乙两位选手射击成绩的平均数；（2）具体算一算甲、乙两位选手射击成绩的平均数，并在图中画出表示其平均成绩的直线；（3）甲、乙两人的平均成绩差不多，但稳定性差别比较大．你认为哪位选手的成绩更稳定？你是怎么看出来的？（4）一般地，你认为如何刻画一组数据的离散水平？【说明与建议】说明：思维往往是从人的动作、活动参与开始的，而动手操作则最易激发学生去想象和发现．在操作过程中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．命题角度1方差的计算1.已知一组数据－3，－2，1，3，6，1，则其方差为9Ｗ．2.在学校组织的“共享好书伴你成长”活动中，八年级（1）班第一小组5名同学所分享的好书册数分别是：7，3，x，6，4.已知这组数据的中位数是5，则这组数据的方差是2Ｗ．命题角度2方差的应用3.甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲10次立定跳远成绩的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝0.6，乙10次立定跳远成绩的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝0.35，则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是乙Ｗ．（填“甲”或“乙”）4.甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：命中环数/环78910甲命中的频数/次2201乙命中的频数/次1310（1）甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少？（2）谁的射击成绩更稳定？解：（1）x甲＝eq\f(1,5)×（7×2＋8×2＋10）＝8（环）；x乙＝eq\f(1,5)×（7＋8×3＋9）＝8（环）.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,5)×[（7－8）2＋（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（10－8）2]＝1.2；seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,5)×[（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（9－8）2]＝0.4.答：甲射击成绩的平均数是8、方差是1.2，乙射击成绩的平均数是8、方差是0.4；（2）∵seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＞seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，∴乙的射击成绩更稳定．课题20.2数据的波动程度授课人素养目标1.了解方差的定义和计算公式，理解方差概念的产生和形成的过程．2.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小，并会运用方差知识，解决实际问题．3.培养认真细致的学习态度和用数据说话的求实精神．教学重点对方差意义的理解及应用，用样本方差估计总体方差．教学难点运用方差知识，解决实际问题．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.表示一组数据的“集中趋势”的统计量有哪些？2.什么是平均数、中位数、众数？3.如何计算一组数据的平均数、中位数、众数？温故知新，为抓住本节重点、突破本节难点做知识储备．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？利用学生熟悉的实例引入新课，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生强烈的好奇心和求知欲．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】我们常常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”，但在有些情况下只知道“平均水平”是不够的．针对以上问题，思考：（1）计算出两组数的平均数，你有什么发现？x甲＝7.537t，x乙≈7.515t，说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此估计出这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大．（2）画出甲、乙两种甜玉米的产量统计图．教学步骤师生活动设计意图甲种甜玉米的产量乙种甜玉米的产量（3）观察（2）题图，你发现了什么？乙种甜玉米的产量集中在平均值附近，而甲种甜玉米的产量与其平均值比波动较大．通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定．思考：什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？我们已经看出，甲种甜玉米的产量与平均值的偏差较大，而乙种的较小，那么如何加以说明呢？我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为“方差”．我们通常用s2表示一组数据的方差，用x表示一组数据的平均数，x1，x2……表示各个数据．方差的计算公式是：s2＝eq\f(1,n)[（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－x）2＋（x2－x）2…＋（xn－x）2]．想一想：根据方差公式，各个数据与平均值差的平方和的大小对方差有何影响？总结归纳：当数据分布比较分散时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小，即：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．利用公式求出甲、乙两种甜玉米产量的两组数据的方差，并说明哪种甜玉米种子的产量比较稳定．seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,10)×[（7.65－7.537）2＋…＋（7.41－7.537）2]≈0.010.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,10)×[（7.55－7.515）2＋（7.56－7.515）2＋…＋（7.49－7.515）2]≈0.002.∵seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，∴这个地区比较适合种植乙种甜玉米．注意：要求方差，首先应求样本平均数，再代入公式求方差．师生活动：师生交流，归纳总结．1.学生通过观察体会数据的波动情况，在教师的引导下，感受新知，并在合作交流过程中得出规律，获取新知．2.通过对方差公式的探究，帮助学生理解方差公式，让学生掌握方差可以反映一组数据的波动大小．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1（教材第125～126页例1）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）如下表所示．甲团163164164165165166166167乙团163165165166166167168168哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是x甲＝eq\f(163＋164×2＋165×2＋166×2＋167,8)＝165，x乙＝eq\f(163＋165×2＋166×2＋167＋168×2,8)＝166.方差分别是seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(（163－165）2＋（164－165）2＋…＋（167－165）2,8)＝1.5，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(（163－166）2＋（165－166）2＋…＋（168－166）2,8)＝2.5.由seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐．例2（教材第127页例2）某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示，根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的15个鸡腿分别组成一个样本，样本数据的平均数分别是x甲＝eq\f(74＋74＋…＋72＋73,15)≈75，x乙＝eq\f(75＋73＋…＋71＋75,15)≈75.样本数据的方差分别是seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(（74－75）2＋（74－75）2＋…＋（72－75）2＋（73－75）2,15)≈3，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(（75－75）2＋（73－75）2＋…＋（71－75）2＋（75－75）2,15)≈8.由x甲≈x乙可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．【变式训练】1.在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：甲队26252828242826282729乙队28272528272628272726（1）两队参赛选手的平均年龄分别是多少？（2）你能说说两队参赛选手年龄波动的情况吗？解：（1）两组数据的平均数分别是：x甲＝26.9，x乙＝26.9，即甲、乙两队参赛选手的平均年龄相同．（2）两组数据的方差分别是：seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(（26－26.9）2＋（25－26.9）2＋…＋（29－26.9）2,10)＝2.29，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(（28－26.9）2＋（27－26.9）2＋…＋（26－26.9）2,10)＝0.89，由seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))可知，甲队参赛选手年龄波动较大．2.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩（单位：分）如下：甲的成绩76849084818788818584乙的成绩82868790798193907478（1）填写下表：同学平均成绩中位数众数方差85分以上的频率甲84848414.40.3乙848490340.5（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价．解：从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好；从方差看，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝14.4，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝34，甲的成绩比乙相对稳定；从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样；从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．2.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．3.提高学生独立分析问题、解决问题的能力，并规范解题格式．活动四：课堂检测【课堂检测】1.一组数据2，1，1，4的方差为eq\f(3,2)．2.甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝0.55，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝0.56，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(丙))＝0.52，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(丁))＝0.48，则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是丁．3.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是eq\f(1,4)，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是1．4.某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示．班级平均数/分中位数/分众数/分九（1）班858585九（2）班8580100（1）根据图示填写上表；

（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复