2024-2025学年山东省名校联盟高一下学期3月校际联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省名校联盟高一下学期3月校际联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量AB=−2,1,AC=A.1,5 B.−1,−5 C.−5,−3 D.5,32.已知i是虚数单位，则2i1+i=(

)A.1+i B.1−i C.−1−i D.−1+i3.在▵ABC中，已知AB=1,AC=2,∠BAC=π3，则▵ABC的面积为(

)A.32 B.3 C.14.在▵ABC中，D在线段BC上，AD为∠BAC的角平分线，若AB=2AC，则(

)A.AD=14AB+34AC 5.如图，在测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C,D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=l，在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB=(

)

A.l⋅tanθsinβsinα+βB.l⋅6.已知复数z=a+bia,b∈R可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=a2+b2，θ是以x轴非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角．已知z1=r1(cosθA.2,−4 B.−4,2 C.−2,4 D.4,−27.如图所示，▵ABC的三条边均与圆O相切，其中BC=20,∠ABC=120∘,∠ACB=20∘，则圆O的半径约为(

A.5.861 B.5.674 C.5.076 D.4.9268.已知向量a,b,e是平面向量，e=1，若非零向量a与e的夹角为60∘，向量b满足A.23+1 B.23−1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=(2,1),a−bA.a⊥b B.a+b=5

C.向量a+b与a的夹角的余弦值为210.设z1,z2A.z1z2=z1⋅z2 B.z1z211.已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若▵ABC的外心为O，重心为G，垂心为H,M为边BC的中点，且AB=5,AC=3，则下列结论正确的有(

)A.AG⋅BC=−163 B.AO⋅三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i为虚数单位，若复数z=1+ia−2ia∈R为纯虚数，则a的值为

13.如图，在▵ABC中，点D满足BC=3BD，过点D的直线分别交直线AB,AC于不同的两点E,F，设AB=xAE,AC=yAF，则14.在圆内接四边形ABCD中，AC=4,AB=2AD,∠BAD=60∘，则▵BCD面积的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在三角形ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，已知BE=3,CD=6,BC=2(1)求三角形ABC的面积；(2)求三角形ABC的周长．16.(本小题12分)已知复数z=a+bia,b∈R，其中i(1)若|z|2−4(2)若z=1+2i+3i2+4i17.(本小题12分)已知a,(1)若AB=a+2(2)试确定实数k，使ka+b(3)若a=2,1,b18.(本小题12分)已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足acos(1)求角A的大小；(2)若三角形ABC的面积为10，内切圆的半径为1，求a；(3)若∠BAC的角平分线交BC于D，且AD=4，求三角形ABC面积的最小值．19.(本小题12分)n个有次序的实数a1,a2,⋅⋅⋅,an所组成的有序数组a1,a2,⋅⋅⋅,an称为一个n维向量，其中aii=1,2⋅⋅⋅,n称为该向量的第i个分量．特别地，对一个n维向量a(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量x1,x2,⋅⋅⋅,xk参考答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.A

6.B

7.C

8.B

9.ABD

10.AB

11.ACD

12.−2

13.3

14.315.(1)如图，因D,E分别是边AB,AC的中点，则设AE=EC=x,AD=DB=y．注意到∠ADC+∠CDB=π,∠AEB+∠BEC=π，则cos∠ADC+则由余弦定理：Ay2解得x=13y=2.则在三角形由余弦定理可得cosA=从而sinA=则三角形ABC的面积为：12(2)由(1)易得三角形ABC的周长为AB+AC+BC=4+2

16.(1)首先，复数的模长平方∣z∣2=代入方程得：a2展开并整理实部和虚部：a2根据复数相等的条件，得到两个方程：a解得b=1，代入第一个方程：a2因此，复数z=2+i；(2)考虑S=n=0则iS=n=0相减得：S−iS=1+其中，n=12024in=i因此：S解得：S=1−2025i因此，z=1013−1012i，即a=1013，b=−1012，故a−b=1013−(−1012)=2025．

17.(1)AD所以AD=4a+8b又AD与AB

有公共点A，因此A,B,D

三点共线．(2)由于v1

和v2

共线，存在实数λ

ka+b和a则有k=λ1=λ2−k，解得λ=k=1所以k=1．(3)a则a+b=由a+则a+b⋅

18.(1)由正弦定理边角互化可得：a又sinB=sinA+C从而3sinA则3sinA−cosA=1⇒2故A=π(2)因三角形ABC的面积为S=10，内切圆的半径为r=1．则S=12a+b+c又由(1)，S=1则由余弦定理：cosA=化简后可得：400−40a80(3)如图，过D点做AB，AC垂线，垂足为E，F．由(1)可得∠BAC=π3，则又由角平分线性质可得DE=DF=ADsinπ又注意到∠AEF+∠EDF+∠DFA+∠FAE=π，∠AEF=∠DFA=π则∠EDF=2π3⇒∠EDB+FDC=π3又DE=DF=2，则BE=2tanθ,FC=2tan故三角形ABC面积为：13注意到tanθ+则S=36−2tanθ注意到tanθ>0,要使tanθtanπ则S=36−2tanθ

19.解：(1)根据题意，结合维向量的定义，则两两垂直的4维信号向量可以为：1,1,1,1,(2)假设存在14个两两垂直的14维信号向量y1因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以，不妨设y1因为y1⋅y3=0，所以y设