2024-2025学年江苏省常州市溧阳中学高一下学期3月阶段考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省溧阳中学高一下学期3月阶段考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知cosα=13，则sinA.79 B.−79 C.72.已知向量a，b满足|a−b|=|a+b|，|A.0 B.12 C.223.等式sinα+3cosα=4m−6A.−1,73 B.−1,73 C.4.已知sinθ−4cosθ=0，则coA.−815 B.815 C.155.若锐角三角形三边长分别为1,3,x，则x的范围是(

)A.5<x<13 B.1<x<5 C.6.已知▵ABC中，AB=4,AC=26,O是▵ABC内一点，且满足OA=OB=OC,M为BC的中点，N是直线A.3 B.6 C.4 D.97.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=60∘，AB=6，AD=8，BE=12BC，DF=13DC，G是平行四边形ABCD所在平面内一点，且AG=λA.−3 B.−1 C.0 D.28.若函数fx=4sinωxsinωx+π3A.712,56 B.712,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列化简正确的是A.cos82∘sin52∘−sin10.已知函数fx=2cosφA.fx的图象关于点3π8,0中心对称

B.fx的值域为−2,2

C.满足fx在区间−m,mm>0上单调递增的m的最大值为π811.武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=150∘，OA=2OC=2OD=2，点F在弧AB上，且∠BOF=120∘，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有(

)A.OD⋅DA=3−1

B.OF=λOA+mOB，则λ+m=3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知x∈−π6,π3，则函数13.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点Ax1,y1，Bx2,y2，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作cosA,B，余弦距离为1−cosA,B.已知Pcosα,sinα，Qcosβ,sinβ，14.若平面向量a,b,c满足c=1,a⋅四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知向量a=(1,2)，(Ⅰ)若a//b，求(Ⅱ)若a⊥(a+2(Ⅲ)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．16.(本小题12分)(1)求tan70(2)已知θ∈0,π2，求函数17.(本小题12分)已知向量a=cosα+3(1)求cosα+β(2)若α∈0,π2，β∈π2,π18.(本小题12分)在直角梯形ABCD中，已知AB=2DC，AD⊥AB，|AD|=|CD|=1，动点E、F分别在线段DC和(1)当λ=23时，求(2)求AE与EF的夹角；(3)求AE+119.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，定义向量OA=(m,n)为函数f(x)=msinx+ncosx的有序相伴向量．

(1)设ℎ(x)=2sin(x−π3)(x∈R)，写出函数ℎ(x)的相伴向量OM；

(2)若f(x)的有序相伴向量为OB=(0,1)，函数

ℎ(x)=f(x)+|sinx|，x∈[0,2π]，与直线y=k有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围；

(3)若f(x)的有序相伴向量为OB=(m,0)，当函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“和谐区间”.当m=−3时，参考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.D

6.C

7.B

8.D

9.CD

10.ACD

11.BCD

12.3

13.2+14.π315.解：(1)因为a=(1,2)，b=(−3,k)，且a

//

所以1×k−2×−3=0，解得则b=(2)因为a+2b=所以a·(解得k=1(3)因为a与b的夹角是钝角，则a·b<0且a即a·b=1×−3+2×k<0，

则k<32且k≠−6．

故实数k的取值范围为

16.解：(1)原式=sin=====cos(2)令t=sin当θ∈0,π2时，−π4又t2=sin故y=sin函数开口向下，对称轴为x=1则函数y在−1,12上单调递增，在所以当t=12时，函数y取得最大值54，当t=−1时，函数y所以y=sinθ−cos

17.(1)解：∵a⊥b=cos因此，cosα+β(2)解：因为tanα=3−22∈0,因为β∈π2,π，则π因为cosα+β=−所以，sinα+β=所以，tan2α+β因此，2α+β=3π

18.解：(1)当λ=2依题意知，BF=23BC，则AC=AD+因为EF=AF=AE=所以EF=因此AC⋅EF=(因为AB=2DC，AD=所以AB=2，AD所以AC⋅(2)由(1)知CB=因为BF=λBC，所以AE=AF=AB+则EF=因为AB=2，AD=1，所以AE⋅EF=(λ−1)故向量AE,EF(3)由(2)可知：AE=AF=AB+则AE+因为AB=2，AD⇀=1所以|AE+12由题意知，λ∈0,1所以|AE+1∴AE+1

19.解：(1)因为ℎ(x)=2sin(x−π3)=2(sinxcosπ3−cosxsinπ3)=2(12sinx−32cosx)=sinx−3cosx，

所以函数ℎ(x)的相伴向量OM=(1,−3)；

(2)若f(x)的有序相伴向量为OB=(0,1)，

则f(x)=cosx，

所以ℎ(x)=f(x)+|sinx|=cosx+|sinx|=cosx+sinx,x∈[0,π]cosx−sinx,x∈(π,2π]=2sin(x+π4),x∈[0,π]−2sin(x−π4),x∈(π,2π],

如图所示：

当x∈[0,π4]时，ℎ(x)∈[1,2]；当x∈(π4,π]时，ℎ(x)∈[−1,2)；

当x∈(π,7π4]时，ℎ(x)∈(−1,2]，当x∈(7π4,2π]时，ℎ(x)∈[1,2)；

由图象可知，若函数ℎ(x)与直线y=k有且仅有2个不同的交点，

则k=2或−1<k<1，

所以k∈(−1,1)∪{2}；

(3)f(x)有唯一“和谐区间”[−3,3]，理由如下：

因为f(x)的有序相伴向量为OB=(m,0)，

则f(x)=msinx，

当m=−3时，f(x)=−3sinx，

当m=−3时，假设f(x)存在“和谐区间”，

则由−3≤f(x)≤3，得−3≤a<b≤3，

①若a，b≥0，则由[a,b]⊆[0,π)，知f(x