2024-2025学年福建省厦门市第一中学高一下学期3月适应性训练数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省厦门市第一中学高一下学期3月适应性训练数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.向量AB−CB+A.0 B.−2AC C.2BC 2.已知i是虚数单位，a,b∈R，则“a=b=1”是“a+bi2=2i”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.在△ABC中，点E是AB上靠近A的三等分点，F是CE上靠近C的三等分点，则AF=(

)A.19AB+13AC B.24.在▵ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=x，b=2，B=45∘，若三角形有两个解，则x的取值范围是(

)A.x>2 B.x<2 C.2<x<22 5.已知向量a=(2,−1)，b=(1,n)，若a⊥b，则a+bA.(2,1) B.(1,1) C.(1,2) D.((−2,1)6.在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1=1.00m，之后将小镜子前移a=6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2=0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为ℎ=1.75m，则钟楼的高度大约是(

)A.27.75m B.27.25m C.26.75m D.26.25m7.已知▵ABC的三个内角A、B、C满足sin2B=3sin2A−2sin2A.2 B.1 C.12 D.8.若▵ABC的三个内角均小于120∘，点M满足∠AMB=∠AMC=∠BMC=120∘,则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量b,c满足b⊥c，且A.9 B.43 C.6 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=21+3i，其中A.复数z的共轭复数的模为1 B.复数z在复平面内对应的点在第一象限

C.复数z是方程x2+x+1=0的解 10.已知D为▵ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是(

)A.若AD=13AB+12AC，则S△BCDS△ABD=16

B.若AB|AB|+AC|AC11.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A′B′C′拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2.下列结论错误的是(

)

A.这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形

B.若BB′=3，sin∠ABB′=5314，则A′B′=2

C.若AB=2A′B′，则AB′=10BB′

D.若A′是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知OA=1,2,AB=4,−2，则13.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且▵ABC的周长为asinBsinA+sinB−sin14.如图，在▵ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB⇀⋅AC⇀=6AO⇀⋅EC四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知向量a=m,1，b=(1)若向量a，b能构成一组基底，求实数m的范围；(2)若c=1,3，且c⊥a−b16.(本小题12分)如图，观测站C在目标A的南偏西20∘方向，经过A处有一条南偏东40∘走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达D处，此时测得(1)求sin∠BDC(2)求D，A之间的距离．17.(本小题12分)在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，asinA−sin(1)求▵ABC的外接圆半径；(2)若▵ABC为锐角三角形，求▵ABC周长的取值范围．18.(本小题12分)折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片▵ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，▵ABC的面积为S1，a=(1)证明：S1(2)若83S(3)在(2)的条件下，若b=3，D是AB的中点，现需要对纸片▵ABC做一次折叠，使C点与D点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积S19.(本小题12分)在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.其中，双曲余弦函数：cosℎ(x)=ex+e−x2，双曲正弦函数：sinℎ(x)=ex−e−x2，双曲正切函数：tanℎ(x)=sinℎ(x)cosℎ(x).在▵ABC中，(1)若tanℎ(x)=32，证明：(2)若A=π3，作AD平分∠BAC交BC于D点，求(3)若A(cosℎ(θ),sinℎ(θ))(θ≠0)，B(2,0)，C(−2参考答案1.A

2.A

3.C

4.C

5.C

6.D

7.C

8.C

9.AD

10.BCD

11.ACD

12.5

13.2π314.3．15.(1)若向量a，b能构成一组基底，则向量a，b不共线，则mm+1−2≠0，解得m≠−2且(2)因为c⊥a−即m+3−2−3m+1=0，解得所以a=−1,1，则cosa又因为0≤a,b即向量a与b的夹角为3π4

16.(1)由题意知：BD=20km，CD=21km，BC=31km在▵BCD中，由余弦定理cos因为0所以sin(2)∵cos∠CDA=cos180由题意知：∠CAD=2在▵ACD中，由正弦定理得：CDsin∠CAD由余弦定理得：AD即AD解得：AD=15km或AD=−9km(舍)∴D，A之间的距离为15km

17.(1)由asinA−sin故a2+b2由余弦定理得cos由于C∈0,π，所以C=sinC=32，根据所以▵ABC的外接圆半径为3(2)由(1)知，C=π3，B+A=2π由正弦定理有csin所以b+a==2因为▵ABC为锐角三角形，所以0<B<π20<2π所以B+π6∈所以3<b+a<2，则所以▵ABC周长的取值范围为1+

18.(1)证明：由正弦定理可得b=asinB又因为a=5，所以(2)将S1=5得20即103(即103cos又因为A∈0,π，所以sin(3)由余弦定理得a2=b即c2−c−2=则cosB=设折痕为线段EF，其中E在BC上，F在AC上，设CE=DE=x，CF=DF=y，则BE=5−x，AF=在▵BDE中，由余弦定理得x2=(在▵ADF中，由余弦定理得y2=(重叠部分的面积为△CEF的面积，S2因为cos所以sinC=所以S

19.(1)cosℎ2因为x>ln2，则因为tanℎ(x)=sinℎ(x)化简可得cosℎ(x)=2，则sinℎ(x)=3，故a=所以三角形为等腰三角形．(2)余弦定理得sinℎ又因cosℎ代入解得c=cosℎ(x)=5法1：由题可知∠CAD=∠BAD=30∘，等面积法求AD：∴12b⋅AD在▵ABD中余弦定理得BD2=法2：内角平分线，▵ABD中，ABsin▵ACD中，ACsin∠ADC=所以BD=5(3)设BC，CA，AB分别长为a，b，c．法1：b=|AC|=注意到cosℎ故b=类似地，c=2cos如图，记内切圆在BC，CA，AB上的切点分别为D，E，F，由于同一点向同一圆引出的两切线长度相等，故|AE|=|AF|，|BD|=|BF|，|CE|=|CD|而2=|AC|−|AB|=|CE|+|AE|−(|BF|+|AF|)=|CE|−|BF|=|CD|−|BD|，又|CD|+|BD|=|BC|=22，故|CD|=2又由切线的性质知ID⊥OD，故点I的横坐标为1法2：设I坐标为(x,y)，IA=(