第1课时 勾股定理逆定理

17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第1课时勾股定理的逆定理讲授新课当堂练习课堂小结新课导入目录新课导入教学目标教学重点学习目标1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.（重点）2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）复习导入B

C

A

问题1

勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.bca问题2

求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①

a＝5，b＝12；②

a＝2.5，b＝6；③a＝24，c＝25.c=13c=6.5b=7思考

以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？讲授新课典例精讲归纳总结

同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.讲授新课一、勾股定理的逆定理这个意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3,4,5,它们满足关系“32+42=52”,那么围成的三角形是直角三角形.

画画看，如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm.它们满足关系“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm,7.5cm,8.5cm，再试一试.我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.问题

据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：命题2如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′证一证:

作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，

B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.则ACaBbc证明：勾股定理的逆定理:

如果三角形的三边长a、b、c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.特别说明：归纳总结

例1

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.归纳：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.变式1：若△ABC的三边a,b,c满足

a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.变式2：若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.变式3：若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.命题1

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.

命题2

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.前面我们学习了两个命题，分别为：二、互逆命题与互逆定理命题1：直角三角形a2+b2=c2命题2：直角三角形a2+b2=c2题设结论它们是题设和结论正好相反的两个命题.问题1

两个命题的条件和结论分别是什么？问题2

两个命题的条件和结论有何联系？

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2互逆定理勾股定理勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.

题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.归纳总结例2

说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

(3)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0；

如果a＞0，b＜0，那么ab＜0.(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.内错角相等，两条直线平行.如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.

在角平分线上的点到角两边的距离相等.

成立不成立成立成立如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.三、勾股数概念学习常见勾股数：3，4，5；5，12，13；

6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：

一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.(1)确定是否是三个正整数；(2)确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．判断勾股数的方法：

例3下列各组数是勾股数的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习1.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，5B2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则(

)A．∠A为直角

B．∠B为直角C．∠C为直角

D．△ABC不是直角三角形A4.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则△ABC是(

)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对B5.已知下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若a＝1，则

＝a；③内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(

)A．0B．1C．2D．3A6.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是_____________.

2.47.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.等腰三角形或直角三角形

8.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD