长山初中《圆》的导学案

长山初中2013-2014学年度九年级上期数学导学案活动3.已知：如图2,OA,OB为。的半径，C、。分别为。4、的中点,

求证：（1）ZA=ZB;⑵AE=BE

主备人：曹永富审核：九年级数学组

第1课时24.1.1圆

［学习目标］（学什么！）活动4.如图，AB为。。的直径，CD是。0中不过圆心的任意一条弦，求证：AB>CDo

1.理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念,

能够从图形中识别；（学习重点）

2.理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；（学习难点）

3.能应用圆的有关概念解决问题.

［学法指导］（怎么学!）［课堂小结］

通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆1.圆的两种定义：⑴；

的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题.（2）.

［学习流程］2.什么是弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧?

一、导学自习（教材P78-79）3.同圆或等圆的半径有什么性质？

（一）知识链接［当堂达标］

1.自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？1.教材P80练习1、2题

2.下列说法正确的有（）

2.结合教材图24.1-1,说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？

①半径相等的两个圆是等圆；②半径相等的两个半圆是等弧；

（二）自主学习

③过圆心的线段是直径；④分别在两个等圆上的两条弧是等弧.

1.理解圆的定义：（阅读教材图24.1-2和图24.1-3,并自己动手画圆）（图3）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（1）描述性定义:o

3.如图3,点A、。、D以及点B、O、C分别在一条直线上，则圆中有__条弦.

从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于；

4.O的半径为3c则。中最长的弦长为

②到定点的距离等于定长的点都在.

5.如图4,在AABC中，NACB=9（RNA=40。,以C为圆心，为半径的圆交45于点O,求

（2）集合性定义:o

NACD的度数.

（3）圆的表示方法：以。点为圆心的圆记作,读作.

（4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是,另一个是,其中确定圆的位置,

确定圆的大小.

2.圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；（3）等圆、等弧。

如图1,弦有线段,直径是,最长的弦是,优弧有;

劣弧有____________________。BX""X

二、研习展评/Kp、

［拓展训练］

活动L判断下列说法是否正确，为什么？U

已知：如图5,AB是。O的直径，CD是。O的弦，AB,CD的延长线交于E,若AB=2DEfZE=18°,

（1）直径是弦.（）（2）弦是直径.（）求NC及NAOC的度数.

（3）半圆是弧.（）（4）弧是半圆.（）（图1）

（5）等弧的长度相等.（）（6）长度相等的两条弧是等弧.（）

活动2.。。的半径为2on,弦AB所对的劣弧为圆周长的工，则NA0B=_______,AB=______

6

（图5）

［课后作业］［学习目标］（学什么！）

1.以点O为圆心作圆，可以作（）1.理解圆的轴对称性;

A.1个B.2个C.3个D.无数个2.掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明.

2.一个点到圆的最小距离为4cm,最大距离为9cm,则该圆的直径是)［学法指导］（怎么学!）

A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或］3cm本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用，学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理

3.确定一个圆的条件为（）的证明；学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论，并加以应用.

A.圆心B.半径C.圆心和半径D.以上都不对.［学习流程］

4.已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O.一、导学自习（教材P80-81）

求证：点A、B、C、。在以O为圆心的圆上.1.阅读教材P80有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？

2.阅读教材p80“探究”内容，自己动手操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？

归纳：圆是对称图形，都是它的对称轴；

3.阅读教材p80“思考”内容，自己动手操作：

按下面的步骤做一做：（如图1）

5.如图，菱形MCD中，点、E、尸、G、〃分别为各边的中点.

第一步，在一张纸上任意画一个O,沿圆周将圆剪下，作。的一条弦A3；

求证：点E、F、G、”四点在同一个圆上.

第二步，作直径CO,使CDJ_AB,垂足为/

第三步，将。沿着直径折叠./,\

你发现了什么？

归纳：（1）图］是—对称图形，对称轴是

（2）相等的线段有________________,相等的弧有______________________.,/1、

二研习展评%）

6.如图，在。O中，AC.3。为直径，求证：AB//CD活动1：（1）如图2,怎样证明“自主学习3”得到的第（2）个结论.’

叠合法证明：/IA

D

7.如图，04、08为。O的半径，C、。为04、08上两点，＞AC=BD（图2）

求证：AD=BC

（2）垂径定理：垂直于弦的直径____弦，并且_____________的两条弧.

定理的几何语言：如图2CD是直径（或CO经过圆心），且CD_LAB

（3）推论：.

活动2：垂径定理的应用

如图3,已知在。中，弦的长为8cm，圆心。到A3的距离（弦心距）为3cm,求0

的半径.（分析：可连结Q4,作OCJ_AB于C）

给O

［学后反思］

（图3）

小结：（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。

第2课时24.1.2垂直于弦的直径（2）如图4,根据垂径定理和勾股定理，“半弦、半径、弦心距”构成

(4)

直角三角形，则八d、。的关系为,知道其中任意两个量，

可求出第三个量.

［课堂小结］

1.垂径定理是,定理有两个条件，三个结论。问题2：把圆中直径AB向下平移，变成非直径的弦AB,如图2,是否仍有AC=BD呢？

2.定理可推广为：在五个条件①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧⑤平分弦所

对的劣弧中，知推o

［当堂达标］

1.圆的半径为5cm,圆心到弦AB的距离为4cm,则AB=cm.

图2

2.如图5,AB是。。的直径，CD为弦,CDJ_A5于则下列结论中不成立的是（）

A.ZCOE=ZDOEB.CE=DEC.OE=BED.BD=BC问题3：在圆2中连结OC,0D,将小圆隐去，得图4,设OC=OD,求证AC=BD

3.如图6,CD为。。的直径，AB±CD^Ef£>E=8cm,CE=2cm,贝!|cm.

图4

问题4：在图2中，连结OA、0B,将大圆隐去，得图5,设A0=B0,求证：AC二BD

［拓展训练］

已知：如图7,A3是。。的直径，弦CD交AB于E点,BE=lfAE=5fNAEC=30。，求C。的长.

图5

6.如图，已知AB是。0的弦，P是AB上一点，若AB=10,PB=4,0P=5,求。0的半径的

长。

［课后作业］

1、。。的半径是5,P是圆内一点，且0P=3,过点P最短弦、最长弦的长为.

2、如右图2所示，已知AB为。0的直径，且AB_LCD,垂足为M,CD=8,AM=2,

贝lj0M=.

［学后反思］

3、©0的半径为5,弦AB的长为6,则AB的弦心距长为.

4、已知一段弧AB,请作出弧AB所在圆的圆心。

第4课时24.1.3弧、弦、圆心角

5、问题1：如图1,AB是两个以。为圆心的同心圆中大圆的直径,AB交小圆交于C、

D两点，求证：AOBD［学习目标］（学什么！）

1.理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性（中心对称性）；

图1

2.掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和

证明.

［学法指导］（怎么学！）

本节课的学习重点是理解并掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题，学习难活动3：如图4,在。。中，AB=AGZAC5=60°,求证：NA05=NAO仁N3.

点是圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明；学习中通过动（分析：根据圆心角、弧、弦之间关系定理，欲证NAO5=ZAOC=ZB,可先证什么？）

手操作、观察、比较、猜想、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力。

证明:

［学习流程］

一、导学自习（教材P82-83）

（一）知识链接

1.是中心对称图形.（自己叙述）

2.要证明两条弧相等，到目前为止有哪两种方法？（1）（2）［课堂小结］

（二）自主学习

1.圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它

1.顶角在的角叫做圆心角.

们所对应的也相等.此结论是证明圆心角相等、弧相等、弦相等常用的依据.

2.圆既是轴对称图形，又是对称图形，它的对称中心是.实际上，圆绕其圆心旋转

2.定理使用要注意“同圆或等圆”这个前提。

任意角度都能够与原来的图形重合，因此，圆还是对称图形.

［当堂达标］

二、研习展评

1.在同圆或等圆中，如果Cl,那么A3与CO的关系是（）

活动1：（1）阅读教材P82“探究”内容，动手操作：（可以把重合的两个圆看成同圆）

A.AB>ClB.AB=ClC.AB<ClD.无法确定

①在两张透明纸上，作两个半径相等的。0和。0',沿圆周分别将两圆剪下；

2.下列命题中，真命题是（）

②在。0和。0，上分别作相等的圆心角NAO6和NAO3',如图1所示，圆心固定.

A.相等的弦所对的圆心角相等B.相等的弦所对的弧相等

注意：在画NAO6与NAO3'时，要使03相对于Q4的方向与06相对于OA的方向一致，否则

C.相等的弧所对的弦相等D.相等的圆心角所对的弧相等

当Q4与OA'重合时，与08不能重合.

3.如图5,是。。的直径，是BE上的三等分点，ZAOE=60°,

③将其中的一个圆旋转一个角度.使得Q4与。A重合.则NCO/是（）

A.40°B.60°C.80°D.120°

4.教材p83练习第2题（做在书上）

5.已知，如图6,在。0中，弦AD=B（,你能用多种方法证明A3=C1吗？

（图1）

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由.

（2）猜想等量关系：,.

（3）（利用圆的旋转不变性）验证：

［拓展训练］

已知：如图7,A3为。。的直径，C,。为。。上的两点，且C为AQ的

（4）归纳圆心角、弧、弦之间关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对

中点，若Nb4D=20°,

的弦o求NACO的度数.

（5）推

论：。

活动2：下面的说法正确吗？若不正确，指出错误原因.［课后作业］

（1）如图2,小雨说：“因为和所对的圆心角都是N0,所以有A®=A3."

［学后反思］

⑵如图3,小华说：“因为CJ,所以A3所对的48等于CO所对的CAC

（图3）

（图2）

一、导学自习（教材P84-85）

※［课外探究］

1.阅读教材P84“思考”并认真读图，如图1,视角NAOB叫做角，

1.在。。中，M为A3的中点，则下列结论正确的是（）.而视角NACB、NADB和NAEB不同于视角NAOB这一类的角，我们把

NACB、NADB和NAEB这一类的角叫做______.■

A.AB>2AMB.AB=2AMC.AB<2AMD.Ab与2AM的大小不能确定2.顶点在,并且两边都与圆的角叫做圆周角.4C）K大

2.如图8,在。。中，A3为直径，弦。交A3于尸，且OQPC,试猜想AO与。?之间的关系,

圆周角定义的两个特征：（1）顶点都在______；（2）两边都与圆_______.,

自己完成“当堂达标”的第题。渤=落

并证明你的猜想.3.1

4.视角NAO3和NACB有什么关系？视角NADB和NA成和视角NAC5相同吗？曲孰^研究

M同弧（AB）所对的圆心角（NA06）与圆周角（NACB）、同弧所对的圆周角（ZACB、ZADB、

ZAEB等）之间的大小关系.

二、研习展评

活动L（1）阅读教材P84“探究”内容，动手量一量（如图2）：

（图8）

问题1：同弧（弧A3）所对的圆心角NAO5与圆周角NACN的大小关系是怎样的？

3.如图9,。。中，直径A3=15cm,有一条长为9cm的动弦C0在前深上滑动（点C与A,点。与问题2：同弧（弧A8）所对的圆周角NACB与圆周角NAZM的大小关系是怎样的？

3不重合），CF_LCD交Ab于后DELCD交AB于E.

（2）规律：同弧所对的圆周角的度数,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数

⑴求证：AE=BF；

的.

（2）在动弦CO滑动的过程中，四边形CDE厂的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个

活动2：（1）同学们在下面图3的。。中任取篇所对的圆周角，并思考圆心与圆周角有哪几种位置关

定值；若不是，请说明理由.

系？

（图9）

（2）实际上，圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆

心在圆周角的外部.（如图4）

第5课时24.1.4圆周角（1）

［学习目标］（学什么！）

1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角.

2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明.

［学法指导］（怎么学!）

本节课的学习重点是理解并掌握圆周角定理及推论，学习难点是圆周角定理的证明中采用的分

类思想及由“一般到特殊”的数学思想方法；学习中经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等

数学活动，体验圆周角定理的探索过程，培养合情推理能力，发展自己的逻辑思维能力、推理论证②当圆心在圆周角内部（或在圆周角外部）时，能不能作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上

能力和用几何语言表达的能力.的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.

［学习流程］证明：作出过0的直径（自己完成）

※［课外探究］

（4）同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.其实，等弧的情况下该命题也是成立的，1.如图9,△A5C的三个顶点在。O上，ZA=50°,ZABC=60°,30是。。的直径，5。交AC

命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的，想一想为什么？于点£,连结OC,求NAE3的度数.

（5）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角,都等于这条弧所对的圆心角2.已知：如图10,Ab是。。的直径，CD为弦,且Ab_LC0于E,尸为DC延长线上一点，连结Ab

的.交。。于M.求证：ZAMD=ZFMC.

（6）由圆周角定理和圆心角、弧、弦之间关系，可以证明：（学生自己完成）

推论L在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定.

说明：注意圆周角定理及推论1不能丢掉“同圆或等圆”这个前提.

活动3：（小组讨论）由图5,结合圆周角定理思考

问题L半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？

问题2：90°的圆周角所对的弦是什么？

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是；的圆周角所对的弦是直径.

说明：推论2为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件.

［课堂小结］

谈谈本节课的体会：知识、思想、方法、收获、……

［当堂达标］

1.在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？

(图5)第6课时24.L4圆周角（2）

［学习目标］（学什么！）

1.理解圆内接多边形和多边形的外接圆的概念，掌握圆内接四边形的性质，并会用此性质进行

(1)(2)(3)(4)(5)有关的计算和证明；

2.教材p86练习1、2题（直接做在书上）2.进一步掌握圆周角定理及推论，并会综合运用知识进行有关的计算和证明，培养分析问题、解

3.如图6,点A、B、C、D在。O上，若NC=60。，则ND=____,ZAOB=_决问题的能力.

4.如图7,等边△ABC的顶点都在。O上，点D是。O上一点，则NBDC三

3.理解并掌握“如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”

这个直角三角形的判定方法.

［学法指导］（怎么学!）

本节课的学习重点是理解圆内接四边形的性质并能熟练运用圆周角定理及推论进行有关的计算

和证明，学习难点是综合运用知识进行有关的计算和证明时，培养自己的逻辑思维能力及分析问题、

解决问题的能力；学习中注重培养自己的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

［学习流程］

一、导学自习（教材P85-86）

［拓展训练］