2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线教案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1§9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简洁的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，探讨参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主，难度为中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应娴熟驾驭基础内容及双曲线方程的求法，能敏捷应用双曲线的几何性质.1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的肯定值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)概念方法微思索1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的肯定值等于常数2a的动点的轨迹肯定为双曲线吗？为什么？提示不肯定.当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0<a<b，双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响.∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，故当a>b>0时，1<e<eq\r(2)，当a＝b>0时，e＝eq\r(2)(亦称等轴双曲线)，当0<a<b时，e>eq\r(2).题组一思索辨析1.推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的肯定值等于8的点的轨迹是双曲线.(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(×)(3)双曲线方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线相互垂直，离心率等于eq\r(2).(√)(5)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq\f(x2,b2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).(√)题组二教材改编2.若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(5) B.5C.eq\r(2) D.2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).3.已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为()A.x±eq\r(2)y＝0 B.eq\r(2)x±y＝0C.x±2y＝0 D.2x±y＝0答案A解析椭圆C1的离心率为eq\f(\r(a2－b2),a)，双曲线C2的离心率为eq\f(\r(a2＋b2),a)，所以eq\f(\r(a2－b2),a)·eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，即a4＝4b4，所以a＝eq\r(2)b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±eq\f(1,\r(2))x，即x±eq\r(2)y＝0.4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.答案eq\f(x2,15)－eq\f(y2,15)＝1解析设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝±1(a>0)，把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为eq\f(x2,15)－eq\f(y2,15)＝1.题组三易错自纠5.(2024·全国Ⅰ)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(－1,3) B.(－1，eq\r(3))C.(0,3) D.(0，eq\r(3))答案A解析∵方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故选A.6.若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(7),3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)答案D解析由条件知y＝－eq\f(b,a)x过点(3，－4)，∴eq\f(3b,a)＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝eq\f(5,3).故选D.7.已知双曲线过点(4，eq\r(3))，且渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为________________.答案eq\f(x2,4)－y2＝1解析由双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，可设该双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，eq\r(3))，所以eq\f(42,4)－(eq\r(3))2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上随意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.答案eq\f(3,4)解析∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，∴|PF1|＝2|PF2|＝4eq\r(2)，则cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(4\r(2)2＋2\r(2)2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq\f(3,4).引申探究1.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).2.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝2.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而依据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，常常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.跟踪训练1设双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.答案(2eq\r(7)，8)解析如图，由已知可得a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋22<m2＋42，,42<m＋22＋m2，))解得－1＋eq\r(7)<m<3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2eq\r(7)<2m＋2<8.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2024·大连调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.答案x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.依据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1).(2)依据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为eq\f(5,4)；②焦距为26，且经过点M(0,12)；③经过两点P(－3,2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7).解①设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).由题意知，2b＝12，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.②∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,144)－eq\f(x2,25)＝1.③设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB<0).②与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；③与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2<k<a2).跟踪训练2(1)(2024·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的肯定值等于8，则曲线C2的标准方程为________________.答案eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1.即eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.(2)(2024·全国Ⅲ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(5),2)x，且与椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1有公共焦点，则C的方程为()A.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1答案B解析由y＝eq\f(\r(5),2)x，可得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5),2).①由椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.故选B.题型三双曲线的几何性质命题点1与渐近线有关的问题例3已知F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是()A.eq\r(2)x±y＝0 B.x±eq\r(2)y＝0C.x±2y＝0 D.2x±y＝0答案A解析由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则依据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos30°，得c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a.所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，即eq\r(2)x±y＝0.命题点2求离心率的值(或范围)例4已知直线l为双曲线：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，直线l与圆(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2，c>0)相交于A，B两点，若|AB|＝a，则双曲线C的离心率为________.答案eq\f(\r(7),2)解析由题意可知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，圆(x－c)2＋y2＝a2的圆心为(c,0)，半径为a.因为直线l为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，与圆(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2，c>0)相交于A，B两点，且|AB|＝a，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|bc|,\r(a2＋b2))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＝a2，即4b2＝3a2，即4(c2－a2)＝3a2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(7,4)，又e＝eq\f(c,a)，且e>1，所以e＝eq\f(\r(7),2).思维升华(1)求双曲线的渐近线的方法求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0).(2)求双曲线的离心率①求双曲线的离心率或其范围的方法(ⅰ)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)干脆求e.(ⅱ)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.②双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1).跟踪训练3(2024·锦州模拟)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.eq\r(7)B.4C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\r(3)答案A解析因为△ABF2为等边三角形，所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，因为A为双曲线右支上一点，所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，因为B为双曲线左支上一点，所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，又e>1，所以e＝eq\r(7).故选A.高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个学问点，这类问题一般有两类：一类是依据肯定的条件求离心率；另一类是依据肯定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最终要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例1已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq\f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))答案A解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则M到直线l的距离d＝eq\f(4b,5)≥eq\f(4,5)，∴1≤b<2.离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\r(\f(4－b2,4))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，故选A.例2已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2eq\r(2) D.2eq\r(3)答案B解析不妨设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由AC⊥BF1知eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BF1,\s\up6(→))＝0，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(3b2,2a)))，eq\o(BF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，\f(b2,a)))，可得2c2－eq\f(3b4,2a2)＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，则有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或eq\f(1,3)，又e>1，所以e＝eq\r(3).故选B.1.(2024·鄂尔多斯调研)已知双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，点(4，－2)在它的一条渐近线上，则离心率等于()A.eq\r(6)B.eq\r(5)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(5),2)答案B解析渐近线方程为y＝－eq\f(a,b)x，故(4，－2)满意方程－2＝－eq\f(a,b)×4，所以eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，故选B.2.(2024·新余摸底)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4a2)＝1(a≠0)的渐近线方程为()A.y＝±2x B.y＝±eq\f(1,2)xC.y＝±4x D.y＝±eq\r(2)x答案A解析依据双曲线的渐近线方程知，y＝±eq\f(2a,a)x＝±2x，故选A.3.(2024·辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(5)，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 D.x2－eq\f(y2,4)＝1答案D解析因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为eq\r(5)，所以eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,4)＝1，故选D.4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8答案B解析由双曲线的方程，得a＝1，c＝eq\r(2)，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|＝(2eq\r(2))2，解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.5.已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝e，则eq\o(F2P,\s\up6(→))·eq\o(F2F1,\s\up6(→))的值为()A.3B.2C.－3D.－2答案B解析由题意及正弦定理得eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝e＝2，∴|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，又|F1F2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF2F1＝eq\f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)＝eq\f(4＋16－16,2×2×4)＝eq\f(1,4)，∴eq\o(F2P,\s\up6(→))·eq\o(F2F1,\s\up6(→))＝|eq\o(F2P,\s\up6(→))|·|eq\o(F2F1,\s\up6(→))|·cos∠PF2F1＝2×4×eq\f(1,4)＝2.故选B.6.(2024·沈阳模拟)已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，eq\r(2))，则△APF周长的最小值为()A.4＋eq\r(2) B.4(1＋eq\r(2))C.2(eq\r(2)＋eq\r(6)) D.eq\r(6)＋3eq\r(2)答案B解析由题意知F(eq\r(6)，0)，设左焦点为F0，则F0(－eq\r(6)，0)，由题意可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝7.已知离心率为eq\f(\r(5),2)的双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若＝16，则双曲线的实轴长是()A.32B.16C.84D.4答案B解析由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝eq\f(b,a)x上，由题意可知|F2M|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a.由＝16，可得eq\f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq\r(5)，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.8.(2024·葫芦岛模拟)已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0，A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))C.(1,2) D.(2，＋∞)答案A解析由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝eq\f(1,4)a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝eq\f(1,2)a，由双曲线C1的一条渐近线与圆9.则a＝________；b＝________.答案12解析由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2.又c＝eq\r(5)，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.10.(2024·河北名校名师俱乐部二调)已知F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________.答案4解析由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1为等腰三角形，∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1为等腰直角三角形.∴|BA|＝|BF1|＝eq\f(\r(2),2)|AF1|＝eq\f(\r(2),2)×4＝2eq\r(2)，∴＝eq\f(1,2)|BA|·|BF1|＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4.11.(2024·辽阳模拟)已知焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________.答案(0,2)解析对于焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，即eq\f(x2,8－m)－eq\f(y2,m－4)＝1，其焦点在x轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－m>0，,m－4>0，))解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d＝eq\r(m－4)∈(0,2).12.(2024·福建六校联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.答案eq\f(4,3)解析设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又△APQ的一个内角为60°，∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得，|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP，即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝eq\f(4,3)(舍负).13.(2024·营口调研)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上其次象限内一点，若直线y＝eq\f(b,a)x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\r(5) D.eq\r(6)答案C解析如图，直线PF2的方程为y＝－eq\f(a,b)(x－c)，设直线PF2与直线y＝eq\f(b,a)x的交点为N，易知Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).又线即5a2