安徽专版2024年中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练13二次函数的综合应用

Page1课时训练(十三)二次函数的综合应用(限时:90分钟)|夯实基础|1.[2024·襄阳]已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是 (A.m≤5 B.m≥2 C.m<5 D.m>22.二次函数y=-x2+mx的图象如图K13-1,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解,则t的取值范围是 ()图K13-1A.t>-5 B.-5<t<3 C.3<t≤4 D.-5<t≤43.[2024·贵阳]如图K13-2,在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y=12x+12上,若抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是(图K13-2A.a≤-2 B.a<98 C.1≤a<98或a≤-2 D.-2≤4.[2024·长春]如图K13-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+83(a>0)与y轴交于点A,过A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为图K13-35.如图K13-4,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为.

图K13-46.[2024·日照]在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=mx(m<0)与y=x2-4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m的取值范围为7.已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A,B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C',我们称以A为顶点且过点C',对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线,直线AC'为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为.

8.阅读材料:如图K13-5①,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽(a)”,中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ABC=12ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半图K13-5解答下列问题:如图②,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式.(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB.(3)是否存在一点P,使S△PAB=98S△CAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由|拓展提升|9.[2024·台湾]如图K13-6,坐标平面上有一顶点为A的抛物线,此抛物线与函数y=2的图象交于B,C两点,△ABC为正三角形.若A点坐标为(-3,0),则此抛物线与y轴的交点坐标为 ()图K13-6A.0,92 B.0,272 C.(0,9) D.(0,19)10.[2024·潍坊]如图K13-7,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△PAB的周长最小时,S△PAB=.

图K13-711.[2024·合肥二模]如图K13-8,已知直线y=x+1与抛物线y=ax2+2x+c相交于A(-1,0)和B(2,m)两点.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点,当△PAB的面积S最大时,求此时△PAB的面积S及点P的坐标.(3)在x轴上是否存在点Q,使△QAB是等腰三角形?若存在,干脆写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.图K13-8

【参考答案】1.A[解析]∵二次函数的图象与x轴有交点,∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×14m-1≥0,解得m≤5.故选A.2.D[解析]如图,由图易得二次函数解析式为y=-x2+4x.关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标,当x=1时,y=3,当x=5时,y=-5,由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解,直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间(包括直线y=4),∴-5<t≤4.3.C[解析]∵抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,∴令12x+12=ax2-x+1,则2ax2-3x+1=0,∴Δ=9-8a>0,∴a<①当a<0时,a+1+1≤0,a-1+1≤1,解得:a≤-②当a>0时,a+1+1≥0,a-1+1≥1,解得:a综上所述,1≤a<98或a≤-2,故选C4.2[解析]由抛物线解析式得A0,83,点P的横坐标为1,依据对称关系求得M2,83,∵M为线段AB的中点,∴B4,83,设直线OB的解析式为y=kx,将点B的坐标代入直线OB的解析式中,求得其解析式为y=23x,再由顶点坐标公式求得P1,-a+83,代入y=23x,可得a=2.5.-23[解析]如图,连接OB,过B作BD⊥x轴于D,则∠BOC=45°,∠BOD=30°.已知正方形的边长为1,则OB=2.在Rt△OBD中,OB=2,∠BOD=BD=12OB=22,OD=32故B62,-22,代入抛物线的解析式中,得:622a=-22,解得a=-236.-2≤m<-1[解析]当x=1时,y=x2-4=1-4=-3.所以第四象限内在二次函数y=x2-4的图象上和图象上方的整点有3个,坐标为(1,-1),(1,-2),(1,-3).当反比例函数y=mx(m<0)的图象经过点(1,-2),即m=xy=-2时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有2个,当反比例函数y=mx(m<0)的图象经过点(1,-1),即m=xy=-1时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有3个,∵在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有2个,∴m的取值范围为-2≤m<-7.y=x2-2x-3[解析]抛物线y=x2+2x+1=(x+1)2,其顶点坐标为A(-1,0),当x2+2x+1=2x+2时,解得x1=-1,x2=1,把x2=1代入y=2x+2,得y=4,∴C'(1,4),又点C与点C'关于x轴对称,∴C(1,-4),即原抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,-4),设该抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,把A(-1,0)代入,得0=4a-4,解得a=1,∴y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.故答案为y=x2-2x-3.8.解:(1)设抛物线的解析式为y1=a(x-1)2+4,把A(3,0)代入解析式求得a=-1,所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,设直线AB的解析式为y2=kx+b,由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为(0,3),把A(3,0),B(0,3)代入y2=kx+b中,解得:k=-1,b=3,所以y2=-x+3.(2)因为C点坐标为(1,4),所以当x=1时,y1=4,y2=2,所以CD=4-2=2,S△CAB=12×3×2=3(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,则h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x,由S△PAB=98S△CAB,得12×3×(-x2+3x)=化简得4x2-12x+9=0,解得x=32将x=32代入y1=-x2+2x+3中,解得P点坐标为32,1549.B[解析]设B(-3-m,2),C(-3+m,2)(m>0),∴BC=2m,过A作AD⊥BC于D,则AD=2,∠DAC=30°,∴CD=m=233,∴C-3+233设抛物线解析式为y=a(x+3)2,∴a-3+233+32=2,∴a=32∴y=32(x+3)2当x=0时,y=272故选B.10.125[解析]由x+1=x2-4x+5,得x1=1,x2=4,分别代入y=x+1,得y1=2,y2=∴A(1,2),B(4,5).作点A关于y轴的对称点A',连接A'B与y轴交于点P,此时△PAB的周长最小,点A'的坐标为(-1,2).设直线A'B的函数解析式为y=kx+b,有-k+∴直线A'B的函数解析式为y=35x+135,与y轴的交点P的坐标为0,135直线y=x+1与y轴的交点C的坐标为(0,1),则PC=135-1=85,于是S△PAB=S△PBC-S△PAC=12×85×4-12×11.解:(1)∵点B(2,m)在直线y=x+1上,∴m=2+1=3,∴点B的坐标为(2,3).∵点A(-1,0)和点B(2,3)在抛物线y=ax2+2x+c上,∴a解得a∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.(2)如图,过点P作PM⊥x轴于点M,交AB于点N,设点P的坐标为(m,-m2+2m+3),则点N的坐标为(m,m+1),∵点P位于直线AB上方,∴PN=-m2+2m+3-(m+1)=-m2+m+2.∴△