人教版七年级数学下册专题111期中期末专项复习之相交线与平行线十八大(原卷版+解析)

专题1L1相交线与平行线十八大必考点

【人教版】

【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】.....................................................1

【考点2三线八角中的截线问题】...............................................................2

【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】.....................................................3

【考点4直线旋转中的平行线的判定】............................................................5

【考点5与垂线有关的角度计算或证明】.........................................................6

【考点6利用平行线的判定与性质计算角度】.....................................................8

【考点7平行线的性质在生活中的应用】.........................................................9

【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】.........................................11

【考点9平行线的运用（单一辅助线）】........................................................12

【考点10平行线的运用（多条辅助线）】........................................................14

【考点11平行线在折叠问题的运用】.............................................................16

【考点12平行线在三角尺中的运用】............................................................17

【考点13平行线中的规律问题】................................................................19

【考点14平行线中的转角问题】................................................................21

【题型15生活中的平移现象】..................................................................22

【题型16图形的平移】.........................................................................23

【题型17利用平移的性质求解】................................................................24

【题型18利用平移解决实际问题】..............................................................25

脑露〒一更三

【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】

【例1】（2022•河南新乡•七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（）

A.（31和团2是同旁内角B.01和（33是对顶角

C.133和04是同位角D.国1和04是内错角

【变式1-1］（2022•青海•中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大

拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（）

A.同旁内角、同位角、内错角

B.同位角、内错角、对顶角

C.对顶角、同位角、同旁内角

D.同位角、内错角、同旁内角

【变式1-2］（2022•河北保定•七年级期末）如图所示，下列说法错误的是（）

B.团2与03是内错角

C.（3A与I2B是同旁内角

D.团A与幽是同位角

【变式1-3］（2022・河南•商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁

内角有c对，则a+b-c的值是

【考点2三线八角中的截线问题】

【例2】（2022•四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知（31和吸是内错角，则下列表述正确的是（）

D

E

A.01和团2是由直线A。、AC被CE所截形成的

B.（31和（32是由直线AD、AC被BZ）所载形成的

C.团1和（32是由直线D4、被CE所截形成的

D.m1和团2是由直线D4、08被AC所载形成的

【变式2-1］（2022•山东济宁•七年级期末）如图，4ABD与乙8。。是（）形成的内错角

A.直线4D、BC被直线所截B.直线48、。。被直线B。所截

C.直线力8、G）被直线4c所截D.直线力0、BC被直线4c所截

【变式2-2］（2022•甘肃•陇西县巩昌中学七年级期末）如图，02与同3是直线,被第三条直线

所载形成的.

【变式2-3］（2022•全国•七年级）如图所示，从标有数字的角中找出:

⑴直线C。和被直线AC所截构成的内错角.

（2）直线CO和AC被直线AO所截构成的同位角.

（3）立线AC和被直线BC所截构成的同旁内角.

【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】

【例3】（2022•浙江台州•七年级期末）如图，已知：Z1=Z2,求证：乙B=笈.

证明：回乙1=42（已知），

0II（）.

0Z/1=乙BED（）.

I3Z/1=Z-D（已知），

0ZFED=ZD（等量代换）.

0II（）.

团4B=LC（）.

【变式3-1］（2022•黑龙江•逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，ABWCD,更线£“分别交A。，CD

于点G,H,"N是团O”G的平分线.

⑴如果GM是团8GE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和"N的位置关系;

证明:^ABWCD,

国38GE=（两直线平行，同位角相等.）

团G做是（3BGE的平分线，

0==；NBGE

-------------------------------2

077/V是回O"G的平分线

团==-Z-DHG

-----------------------------2

豳MGE=I2M7G（等量代换）

团G0和”N的位置关系是,（）.

⑵如果GM是0AG”的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）

（3）如果G/W是133G〃的平分线，（如图③〉＜1）中的结论还成立吗？如果不成立，与"N又有怎样的

位置关系？请直接写出你的猜想不必证明.

【变式3-2]（2022•辽宁葫芦岛•七年级期末）如图已知：ABWCD,CD\\EF,AE平分团BAC,AC^CE,有以

卜结论：①②2团1-附=90°：③2团3-团2=180°；④阻*4=135°,其中，正确的结论有.（填序

号）

【变式3-3]（2022•广东•广州市第四中学匕年级期末）如图1,在四边形/WCO中，AD||BC,0A=0C.

⑴求证：0B=0D；

（2）如图2,点E在线段4。上，点G在线段4。的延长线上，连接3G,BAEB=2X,求证：BG是（3E8C的

平分线；

（3）如图3,在⑵的条件下，点石在线段A。的延长线上，团EQC的平分线。”交BG于点H,若（MBE=66。,

求的度数.

【考点4直线旋转中的平行线的判定】

【例4】（2022•河南洛阳•七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板48绕中点。上下转动，立柱OC与

地面垂直，当横板回的A端着地时，测得乙。水？=28。，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可

以转动的角度为（）

B

A.28°B.56°C.62°D.84°

【变式4-1]（2022•山东临沂•七年级期末）如图将木条“，〃与c钉在一起，41=75。，要使木条。与b平

行，木条。顺时针旋转了35。，团2是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【变式4-2]（2022•云南昆明•七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边8C,DF

在同一条直线上，现将三角板。石尸绕点。顺时针旋转，当第一次与AB平行时，4CDF的度数是（

A.15°B.30°C.45°D.75°

【变式4-3]（2022・湖南永州•七年级期末）如图，直线LII%，现将一个含30。角的直角三角板的锐角顶点B放

在直线％上，将三角板绕点B旋转，使直角顶点C落在。与o之间的区域，边AC与直角，1相交于点0,若N1=

35。，则图中的乙2的值为（）

A.65°B.75°C.85°D.80°

【考点5与垂线有关的角度计算或证明】

【例5】（2022・湖南•测试•编辑教研五七年级期末）如图，已知阻幡C,02=03,FGH4C「G,你能说明8。

与AC互相垂直吗？

【变式5-1]（2022•安徽合肥•七年级期木）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据.

如图，已知OG〃B4EF1BC,乙1二42.试证明：AD1BC.

解：因为。G〃B4（已知），

所以N2=NB4D（）.

因为△1=Z2（已知）,

所以（等量代换），

所以EF〃（）.

所以NEFB=（两直线平行，同位角相等）

因为1BC（已知），

所以NEFB=90。（）.

所以44/5F=90。（等量代换），

所以（垂直的定义）.

【变式5-2]（2022•江苏盐城•七年级期末）如图，ABLAC,垂足为力，41=30。，ZF=60°.

（1）AD与BC平行吗？为什么？

（2）根据题中的条件，能判断力8与。。平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们

平行（不必说明理由）.

【变式5-3]（2022•全国•七年级）己知：直线MN、PQ被A3所截，且MN3PQ,点C是线段从8上一定点,

点D是射线4N上一动点，连接CD.

⑴在图1中过点C作CE3CD,与射线BQ交于七点.

①依题意补全图形：

②求证：（L4DC+0BEC=9O°；

⑵如图2所示，点F是射线BQ上一动点,连接CF,^DCF=a,分别作回NDC与回C/Q的角平分线交于点G,

请用含有a的代数式来表示回。GF,并说明理由.

【考点6利用平行线的判定与性质计算角度】

【例6】（2022•福建福州•七年级期末）如图，在A/IBC中，点Z）,E分别在AB,AC上，点凡G在BC上,

EF与DG交于点O,Z1+Z2=180°,Z-B=Z3.

⑴判断QE与BC的位置关系，并证明；

（2）若4IE。+AEFC=118°,求乙4的度数.

【变式6-1]（2022•河南溪河•七年级期末）已知:如图,0A=a4DE,0C=0E.

（1）若OEDC=3E1C,求阿。的度数;

⑵判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想.

【变式6-2］（2022•广东湛江•七年级期末）如图所示，已知射线C训04乙C=Z.OAB=110%E、F在CB上,

且满足，尸。3=/力。8,OE平分乙COF,根据上述条件，解答下列问题：

（1）证明：OCHAB；

⑵求NE08的度数；

⑶若平行移动A8,那么ZOBCOFC的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由.

【变式6-3］（2022•北京密云•七年级期末）已知：点C是助08的04边上一点（点C不与点。重合），

点D是MO8内部一点，射线C。不与。8相交.

⑴如图1,MO8=90。，回。CO=120。，过点0作射线0E,使得。6/CD.（其中点后在财08内部）.

①依据题意，补全图1;

②直接写出（38。月的度数.

（2）如图2,点尸是射线08上一点，且点尸不与点O重合，当乙1。8二履0。＜。4180。）时，过点尸作射线

尸凡使得尸"〃CO（其中点〃在0/10/的外部），用含a的代数式表示00（7。与团"”的数量关系，井证明.

【考点7平行线的性质在生活中的应用】

【例7】（2022•湖北武汉•七年级期末）如图线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB团直线CD,光线EF经

过镜子AB反射到镜子CD,最后反射到光线GH.光线反射时，01=1212,团3=团4,卜列结论：①直线EF平行于

直线GH；②团FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；③团BFE的角平分线所在的直线垂直于回4的角平

分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋转90时，直线EF与直线GH不一定平行，其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③

【变式7-1］（2022•江苏宿迁•七年级期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和

被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜MN,NP,一束光线4B射在其中一

若平行，请给予证明

【变式7-2］（2022•浙江杭州•七年级期末）（1）若组成21和42的两条边互相平行，且N1是N2的2倍小15。,

求/I的度数.

（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,汴与上拉杆CF形成的NF=145。，主柱力。

垂直广地面，通过调整CF和后拉杆8C的位置来调整篮筐的高度,当乙。。8=25。时，点，，Q,B在同一直

线上，求4”的度数.

【变式7-3］（2022・湖南•师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（4B0CD）如

图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自力逆时针旋转至P8便立即回转，灯。射线自QD

逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视.设灯P转动的速度是10度/秒,

灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心.

（1）若把灯P自力转至P8,或者灯Q自Q。转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的

时间；

（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚,求团PMQ；

（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？

（备用图）

【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】

【例8】（2022•河北唐山•七年级期末）己知三角形A3C,£州力。交直线48于点区DFII4B交直线AC于点。.

图1备用图

（1）如图1,若点、F在边BC上,直接写出乙与NEFO的数量关系；

⑵若点尸在边BC的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明；若不成立，又有怎样的

数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由.

【变式8-1］（2022•湖北襄阳•七年级期末）如图，已知4MII8N,，是射线AM上一动点（不与点4重合），

BC,8。分别平分M8。与团尸BN,分别交射线AM于点C,D.

（1）若41=50°,求乙C3D的度数；

⑵在点。的运动过程中，回8%与国3D4的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请

求出团8四与班OA的数量关系；

⑶当点P运动到使时，探究团48c与团£WN的数最关系，并证明你的结论.

【变式8-2］（2022•安徽合肥•七年级期末）已知：直线A8IIC0,经过直线4?上的定点P的直线EF交CO于点

。，点M,N为直线。。上的两点，且点M在点。右侧，点N的左侧时，连接PM,PN,满足4MPN=4MNP.

⑵如图2,射线PQ为乙MPE的角平分线，用等式表示乙NPQ与ZP0M之间的数量关系，并证明.

【变式8-3］（2022•湖北孝感•七年级期末）在三角形ABC中，点。在线段AC上，DEIIBC交A8于点E,

点F在线段4B上（点尸不与点4E,B重合），连接。F,过点。作?G1FD交射线CB于点G.

图1

⑴如图1,点尸在线段8E上，

①用等式表示因后。尸与回BGf的数量关系，并说明理由；

②如图，求证：Z-ABC+/-BFG-/-EDF=90°；

⑵当点尸在线段AE上时，依题意，在图2中补全图形，请直接用等式表示团印）尸与团8G户的数量关系，不

需证明.

【考点9平行线的运用（单一辅助线）】

【例9】（2022•四川德阳•七年级期末）己知：AB||CD,点P、0分别在AB、CO上，在两直线间取一点£

⑴如图1,求证：LE=LAPELCQEX

⑵将线段EQ沿。C平移至/G,ZCGF的平分线和NAPE的平分线交于直线A8、CO内部一点依

①如图2,若乙<=9。。，求N”的度数；

②如图3,若点/在直线48、CZ）内部，且77平分NBPE,连接若4/一=m。，zF=n°,请直接

写出，〃与〃的数量关系，不必证明.

【变式9-1］（2022•广东梅州•八年级期末）已知：财。8=a（0°<a<90o）,一块三角板CDE中，^CED

=90。，0CD£=3O%将三角板CO£如图所示放置，使顶点。落在04边上，经过点O作直线交

04边于点用，且点M在点D的左侧.

图2

（1）如图1,若CE^OA,EF^MN,®NDE=45°,求a的度数；

⑵若团A/OC的平分线。尸交08边于点立如图2,当。“304,且。=60。时，证明：CEI30A.

【变式9-2］（2022•陕西西安•八年级期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30。的直角三角尺和两条

平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b,月⑷历和直角三角形ABC.4B&4=90°,LBAC=30°.

(1)在图1中，01=46°,求团2的度数;

⑵如图2,创新小组的同学把直线a向上平移,并把团2的位置改变，发现42-41=120。，说明理由;

⑶竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3,当AC平分（384M时，此时

发现（31与国2又存在新的数最关系，请写出团1与团2的数量关系尹证明.

【变式9-3］（2022•辽宁葫芦岛•七年级期末）如图1,点A在直线MN上，点8在直线ST上，点C在MN,

ST之间，且满足（WAC+MCB+@S4C=360°.

（1）证明：MNIIST；

⑵如图2,若财C8=60。，40|£从点£在线段4c上，连接A£,且团。4£=2回。47',试判断团C4E与mCAN

的数量关系，并说明理由；

⑶如图3,若勖C8=45。，点E在线段8C上，连接A£,若团M4E=4回CBT,直接写出回CA氏用C4N的值.

【考点10平行线的运用（多条辅助线）】

【例10】（2022•云南普洱•七年级期末）已知三角板ABC中，0BAC=6O°,（38=30°,0C=9O°,长方形QEFG

中，DE//GF.如图（1）,若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边G尸上，BC与。后相交于点M,AB^DE

于点N.

⑴请你直接写出：0CAF=。，^EMC=

⑵若将一角板ABC按图（2）所示方式摆放（/IB与。石不垂直），请你猜想I3EMC与团C人尸的数量关系？并

说明理由.

⑶请你总结（1）,（2）解决问题的思路，在图（2）中探究WiAG与配加。的数量关系？并说明理由.

【变式10-1】（2022•湖北武汉•七年级期末）直线48IICE,3£一成?是一条折线段，80平分乙I8E.

图1

(1)如图1,若BPIICE,求证：Z.BEC+Z-DCE=180°；

（2）CQ平分NOCE,直线BP,CQ交于点F.

①如图2,写出48EC和NBFC的数最关系，并证明；

②当点£在直线4从CO之间时，若乙3£C=40。，直接写出乙BFC的大小.

【变式10-2】（2022・广东•新丰县教育局教研室七年级期末）细观察，找规律.

（1）下列各图中的与N4平行.

①图①中的+乙5度.

②图②中的匕4+4+乙小=度・

③图③中的乙4+乙42+乙43+=度.

④图④中的4Th+4力2+，力3+乙44+乙生=度.

⑤第⑩个图中的+上力2+乙的+…+441=度.

⑥）第71个图中的乙41+乙4?+乙%+…+乙*+1=度.

（2）下列各图4s8〃C0.

①图甲中乙8、乙C、NBEC的数量关系是

②图乙中乙E,乙G,乙F,4c的数量关系是.

③图丙中乙8,乙E,匕F,4乙H,乙M,乙。的数量关系是.

【变式10-3】（2022•北京师范大学附属实验中学分校七年级期天）已知，如图1,射线PE分别与直线A3,

相交于E、F两点,胡F。的平分线与直线A8相交于点M,射线PM交CO于点M设回PFM=a。，0EMF

=E°,且，80-2。+|4-40|=0

AGE.A£

（l）a=___，B=____:直线48与。。的位置关系是___；

（2）如图2,若点G、”分别在射线M4和线段M尸上，且图WGH=[3PNF,试找出回产MN与回G”产之间存在的

数量关系，并证明你的结论；

⑶若将图中的射线PM绕着端点尸逆时针方向旋转（如图3）,分别与AB、CD相交于点M/和点N/寸，作

助M18的角平分线Ml。与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中等的值是否改变？若不变，请求出其

值；若变化，请说明理由.

【考点11平行线在折叠问题的运用】

【例11】（2022•山东潍坊•七年级期末）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD〃8C,则翻折角乙1

与/2一定满足的关系是（）

A.Z1=242B.41+乙2=90。C.Z1-Z2=30°D.241一342=30°

【变式11-1】（2022•山东・滕州市龙泉街道滕东中学七年级期末）如图，四边形A8CD中，点M、N分别在

AB.BC上,将团8WN沿MN翻折，得团FMN,若FNWC,则（38=（）

D

\iiir，

A.60°B.70°C.80°D.90°

【变式11-2]（2022・全国•七年级单元测试）如图，在三角形ABC中,0ACB=9O°,将三角形ABC向下翻折,

使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE0BC.

【变式11-3】（2022•江苏•常州市笫二十四中学七年级期末）在0ABC中，13B4C=9O。，点。是BC上一点,

将的和沿A。翻折后得到（MED,边AE交BC于点、F.

⑴如图①，当AHaBC时\写出图中所有与（3B相等的角：；所有与（3C相等的角：.

（2）若团。一姐=50°,0fiAD=x0（O<^45）.

①求mB的度数；

②是否存在这样的x的值，使得回DE/中有两个角相等.若存在，并求4的值；若不存在，请说明理由.

【考点12平行线在三角尺中的运用】

【例12】（2022•浙江宁波•七年级期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，4C边重合，^BAC=45°,

^DAC=30。.接着如图2保持三角板88c不动，将三角板4co绕着点C按顺时针以每秒15。的速度旋转90。后

停止.在此旋转过程中，当旋转时间t=秒时，三角板AC。'有一条边与三角板48c的一条边

恰好平行.

【变式12-1]（2022•河北♦青县教育局教研室七年级期末）把一副直角三角尺按如图方式摆放，点。与点E重

合，8C边与EF边都在直线2上，若直线且MN经过点D,则NCDN=

【变式12-2]（2022•四川达州•八年级期末）一副三角板IDE和ABC按如图1所示放置，点8在斜边AD

上，其中团E=I3BAC=90。，0D=45°,0C=3O°.现将三角板AQE固定不动，三角板ABC绕点A顺时针旋转

a（0。<a<180。），使两块三角板至少有一组边互相平行，如图2,当团BAZ）=15。时，BCIIDE,则1384。其

他所有可能符合条件的度数为.

图1图2

【变式12-3】（2022•江苏苏州•七年级期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，石在AC

上，ZC=^DAE=90°,ZF=60°,40=45。.小明将△4。石从图中位置开始，绕点4按每秒6。的速度顺

时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，边48与边OE平行.

【考点13平行线中的规律问题】

【例13】（2022•山东泰安•期末）如图，ABIICD,点E为两直线之间的一点

图1图2图3图4

（1）如图1,若乙BAE=35°,乙DCE=20°,则乙4EC=；

（2）如图2,试说明，LBAE+^AEC+^ECD=360°；

⑶①如图3,若的平分线与NDCE的平分线相交于点R判断/NEC与乙4FC的数量关系，并说明理由；

②如图4,若设/E=m,/-BAF=^FAE,^DCF=^FCE,请直接用含机、〃的代数式表示NF的度数.

【变式13-1］（2022・山东烟台•七年级期末）问题情境：

如图1,A的CO,团办8=130。，0PCD=12O°.求（MPC的度数.小明的思路是：过夕作。国4B,通过平行

线性质，可得lMPC=a4PE+团CP£=50°+60°=110°.

问题解决：

（1）如图2,A83CQ,直线/分别与A8、CO交于点M、N,点。在直线/上运动，当点尸在线段MN上运

动时（不与点M、N重合），^PAB=a,回产CO=B，判断财产C、a、B之间的数量关系并说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时.请直接写出财PC、a、B之间的数

量关系；

（3）如图3,AB^CD,点P是48、CO之间的一点（点夕在点A、C右侧），连接玄、PC,（28AP和团。CP

的平分线交于点Q.若0Ape=116。，请结合（2）中的规律，求ELAQC的度数.

图1图3

【变式13-2]（2022・四川•树德中学七年级期末）（1）如图①,已知ABIICD,图中乙1,△2,r3之间有什

么关系？

（2）如图②，已知A8IICD,图中乙1,乙2,乙3,Z4之间有什么关系？

（3）如图③，已知ABIICD,请直接写出图中41,42,匕3,Z4,45之间的关系

（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律?

【变式I3-3J（2022•北京市第一零一中学温泉校区七年级期末）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸

条的游戏.如图1,纸条的一组对边PN团QM（纸条的长度视为可延伸），在PN,QM上分别找一点A,B,

使得回ABM=a.如图2,将纸条作第一次折叠，使与BA在同一条直线上，折痕记为

解决下面的问题:

（1）聪明的小白想计算当a=90。时，的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全

问题并求解：如图3,PN13QM,A,B分别在PN,QM上，且13ABM=90°,由折叠：8%平分,,

求叫/?1"的度数.

（2）聪颖的小桐提出了•个问题：按图2折叠后，不展开纸条.再沿ARi折叠纸条（如图4）,是否有可

能他1M〃团BRi?如果能，请直接写出此时a的度数；如果不能，请说明理由.

（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0。＜0490。时，将图2；己为第一次折叠：将纸条展开，作第二次折

叠，使与BRi在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使与BR?

在同一条直线上，折痕记为BR3；...以此类推.

①第二次折叠时，防&"=（用a的式子表示）；

②第n次折叠时，鲂（用a和n的式子表示）.

【考点14平行线中的转角问题】

【例14】（2022•黑龙江•绥棱县绥中乡学校七年级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60。）如图1

叠放在一起，现将因CQE绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0。＜。＜360。，请探究下列问题：

⑴如图2,当旋转角满足（TVaW60。时，请写出回3C。与国4CE的关系，并说明理由；

⑵如图3,当旋转角满足60。VaW120。时，请写出国8CE与国4C。的关系，并说明理由；

⑶当。后〃8c时请直接写出旋转角的度数.

【变式14-1】（2022•福建泉州•七年级期末）现有一块含30。角的直角三角板4。8,其直角顶点。在直线，上,

将三角板力。8绕着点。按逆时针方向旋转42的度数（0。＜乙2〈360。）.

请你解决下列问题：

⑴当42的度数为多少时，力用〃（不必说理）；

（2）如右图，作力于点C,BD工I于点、D,试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角：不包含该图

中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明.

【变式14-2】（2022•河南・漂河市邸城区邸城初级中学七年级期末）如图1,已知PQIIMN,点4,8分别

在MN,PQ上,且NB4N=45。，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转（速度是a。/秒），射线

8P绕点8顺时针旋转至BQ便立跳逆时针回转（速度是〃。/秒）、且〃、方满足|Q—3|+3-1）2=0,

⑴Q=»b=；

（2）如图2,两条射线同时旋转,设旋转时间为/秒（t<60）,两条旋转射线交于点C,过C作CD1AC交PQ

于点D,求乙84。与“CD的数量关系；

（3）若射线BP先旋转20秒,射线AM才开始旋转,设射线AM旋转时间为/秒（tV160）,若旋转中AM||BP,

求i的值.

【变式14-3]（2022•浙江湖州•七年级期末）如图1,已知直线48IICD,Z.CMN=60°,射线ME从MD出发,

绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度返回，到达MD后继续改变方向，

继续按上述方式旋转；射线N尸从M4出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达N8后停止运动,

此时ME也同时停止运动.其中a,满足方程组｛穿｝/；，.

（1）求a,b的值；

⑵若N尸先运动30秒，然后ME一起运动，设ME运动的时间为3当运动过程中ME||N/时，求t的值；

⑶如图2,若ME与N尸同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与NF交千点P,过点P作PQ_LME于

点P,交直线48于点Q,则在运动过程中，若设2NME的度数为m,请求出NNPQ的度数（结果用含血的代

数式表示）.

【题型15生活中的平移现象】

【例151（2022春・浙江湖州•七年级统考期末）下列现象中属于平移的是（）

①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟搜的摆动；④汽车雨刷的运动

A.①②B.②③C.①②④D.②

【变式15-1】（2022春•重庆璧山,七年级校联考期中）今年4月，被称为"猪儿虫〃的璧山云巴正式运行.云

巴在轨道上运行可以看作是（）

A.对称B.旋转C.平移D.跳跃

【变式15-2】（2022春•湖北宜昌,七年级统考期末）如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时

从点A出发爬到点8,只考虑路径、时间、路程等因素，下列结论正确的为（）

A.乙比甲先到B.甲比乙先到

C.甲和乙同时到D.无法确定哪只蚂蚁先到

【变式15-3】（2022春•广东广卅七年级统考期末）如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条1m宽的

笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路,小路的上边线向卜.平移1m就是它的卜.边线，那么改造后小路

的面积（）

A.变大了B.变小了C.没变D.无法确定

【题型16图形的平移】

【例16】（2022春•内蒙古兴安盟•七年级统考期末）2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会,

如图，通过平移吉祥物“冰墩墩〃可以得到的图形是（）

___z

■

A.B.

【变式16-1】（2022春•全国•七年级期末）卜列汽车标志中可以看作是由某图案平移得到的是（）

D.

【变式16-2】（2022春•八年级单元测试）观察下列五幅图案，在②③④⑤中可以通过①平移得到的图

案是（）

①②③④⑤

A.②B.③C.@D.⑤

【变式16-3】（2022春・广东深圳•八年级校考期中）下列图案可以看作某一部分平移后得到的是（）

【题型17利用平移的性质求解】

【例17】（2022春・广东江门•七年级统考期末）如图，长方形4.BCQ的长A8为8,宽AD为6,将这个长

方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFG”，则阴影部分的面积为（）

A.30B.32C.36D.40

【变式17-1】（2022春•全国•七年级专题练习）如图，直角三角形48C的周长为2021,在其内部有5个小直

角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形周长的和为

【变式17-2】（2022秋•山东临沂•八年级校考期中）如图，将A/BC沿直线向右平移到达ABDE的位置,

若/C48=55°,Z-ABC=100°,则NCBE的度数为.

【变式17-3】（2022春•广东韶关七年级统考期中）如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的

变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（）

【题型18利用平移解决实际问题】

【例18】（2022春・北京西城•七年级北京市西城外国语学校校考期中）如图，公园里长为20米宽为10米

的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是平方米.

【变式18-1】（2022春•广东东莞七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅

主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯一米.

【变式18-2】（2022春・全国•七年级专题练习）如图（单位，m）,一块长方形草坪中间有两条宽度相等的

石子路（每条石子路间距均匀），请你求出草坪（阴影部分）的面积.

【变式18-3】（2022春・全国•七年级专题练习）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10

个单位长度，宽均为5个单位长度）

在图1中，将线段A8向上平移1个单位长度到得到封闭图形（阴影部分）；

在图2中，将折线（其中点B叫做折线ABC的一个"折点"）向上平移1个单位长度到折线〃夕L,得

到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）.

图1图2

问题解决:

⑴在图3中，请你类似地画一条有两个“折点〃的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图

形，并用斜线画出阴影部分：

（2）设图1,图2中除去阴影部分后乘IJ下部分的面积分别为工、S2,则S产平方单位；并比较大小：工

52（填"或"V"）；

⑶联想与探索：如图4.在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长

方形的长为小宽为儿请你直接写出空白部分表示的草地的面积是平方单位.（用含小人的式

子表示）

专题11.1相交线与平行线十八大必考点

【人教版】

【考点I同位角、内错角、同旁内角的判断】....................................................27

【考点2三线八角中的截线问题】...............................................................29

【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】....................................................31

【考点4直线旋转中的平行线的判定】..........................................................37

【考点5与垂线有关的角度计算或证明】........................................................40

【考点6利用平行线的判定与性质计算角度】....................................................44

【考点7平行线的性质在生活中的应用】........................................................48

【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】.........................................54

【考点9平行线的运用（单一辅助线）】........................................................60

【考点10平行线的运用（多条辅助线）】........................................................67

【考点II平行线在折叠问题的运用】............................................................76

【考点12平行线在三角尺中的运用】............................................................80

【考点13平行线中的规律问题】.................................................................84

【考点14平行线中的转角问题】.................................................................92

【题型15生活中的平移现象】...................................................................99

【题型16图形的平移】........................................................................101

【题型17利用平移的性质求解】................................................................103

【题型18利用平移解决实际问题】..............................................................105

【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】

【例1】（2022•河南新乡七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（）

A.和（32是同旁内角B.（31和03是对顶角

C.四和回4是同位角D.圉1和附是内错角

【答案】A

【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可.

【详解】A.01和02是邻补角，故此选项