圆锥曲线解答题百题

圆锥曲线解答题精选百题

1.已知椭圆C:/+《=l(Q>b>0)的离心率为白，短轴一个端点

到右焦点的距离为旧.

(1)求椭圆C的方程：

(2)设直线，与椭圆C交于4B两点,坐标原点。到直线/的距

离为日，求△408面积的最大值.

22一

2.双曲线c与椭圆2+一二1有相同的焦点，直线y二百%为c的

84

一条渐近线.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P(0,4)的直线】交双曲线。于48两点，交》轴于Q点

(Q点与C的顶点不重合)，当同=入19=白而，且％+

月二一g时，求Q点的坐标.

3,已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线I不过原点0且不平行于

坐标轴，I与C有两个交点4B,线段的中点为M.

(1)证明：直线0M的斜率与，的斜率的乘积为定值；

(2)若I过点(pm),延长线段OM与C交于点P,四边形

04PB能否为平行四边形?若能，求此时/的斜率：若不能，说

明理由.

4.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(0,c)(c>0)到直线上父-

y-2=0的距离为竽，设P为直线，上的点，过点P作抛物线C

的两条切线P4PB,其中4B为切点.

(1)求抛物线C的方程：

(2)当点PG。,%)为直线/上的定点时，求直线AB的方程；

(3)当点P在直线I上移动时，求I4尸|・|BF|的最小值.

5.如图，椭圆、+，=l(Q>b>0)的左、右焦点分别为F2,

过F2的直线交椭圆于P,Q两点，且PQIPFi.

(1)若|PFil=2+a,|PF2|=2-V2,求椭圆的标准方程:

(2)若|PFil=|PQ|,求椭圆的离心率e.

6,已知椭圆.+'=l(a>b>0)经过点(0,遮),离心率为，，左、

右焦点分别为Fi(—*0)、F2(G。)，

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线=-1+m与椭圆交于A,B两点,与以F#2为

直径的圆交于C,。两点，且满足瞿=乎，求直线，的方程.

\CD\4

7.已知4B,。是椭圆加:1+必=1上的三个点，0是坐标原点.

4

(1)当点B是"的右顶点，且四边形0ABe为菱形时，求此菱形

的面积；

(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形。4BC是否可能为菱形,

并说明理由.

2

8.已知抛物线C:x=4y,过点P(0fm)(m>0)的动直线I与C相交

于4B两点，抛物线C在点A和点8处的切线相交于点Q,直线

AQ,BQ与％轴分别相交于点E,F.

(1)写出抛物线。的焦点坐标和准线方程；

(2)求证：点Q在直线y=上：

(3)判断是否存在点P,使得四边形PEQF为矩形?若存在，求出

点P的坐标；若不存在，说明理由.

9.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点尸(1,0)的距离减去它

到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程；

(2)是否存在正数对于过点M(ni,0)且与曲线C有两个交点

4B的任一直线，都有目•而<0?若存在，求出m的取值

范围；若不存在，请说明理由.

10.如图，已知抛物线C:y2=2px(p〉0)的焦点为尸，若过点F且

斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点，且|MN=8|.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线，为抛物线。的切线，且/〃MN,P为L上一点,求

丽•丽的最小值.

11.如图，点P(0,—1)是椭圆Ci：5+《=l(Q>b>0)的一个顶点,

Ci的长轴是圆。2：/+必=4的直径.小。是过点P且互相垂

直的两条直线，其中k交圆Q于4B两点，％交椭圆C1于另

一点D.

（1）求椭圆Cl的方程；

（2）求AABD面积取最大值时直线k的方程.

12.已知椭圆E：9+《=l（Q>b>0）过点（0,&）,且离心率e=9.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线/：%=my—I（THCR）交椭圆E于4B两点，判断点

G（-三0）与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

13.圆％2+y2=4的切线与X轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形,

22

当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线。1:彳一£二

a2b2

1过点P且离心率为百.

y

(1)求Cl的方程；

(2)椭圆C2过点P且与Ci有相同的焦点，直线，过的右焦点

且与C?交于48两点，若以线段48为直径的圆过点P,求/

的方程.

14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线I

与C相交于A、B两点，点4关于无轴的对称点为D.

(1)证明：点F在直线BD上；

(2)设质•丽=3,求△BDK的内切圆M的方程.

22

15.设椭圆a+6=1(。＞匕〉0)的左、右焦点分别为月,F2,右顶

点为4,上顶点为B,已知I4BI=flF/zl.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经

过点F］，经过原点0的直线L与该圆相切.求直线，的斜率.

16.已知椭圆C：《+'=1(。＞匕〉°)的离心率为争点「(°，1)和

点A(m,n)(m*0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.

(1)求椭圆。的方程，并求点M的坐标(用m,八表示).

(2)设0为原点，点8与点4关于叉轴对称，直线P8交无轴于

点N.问；y轴上是否存在点明使得/OQM=4ONQ?若存在,

求点Q的坐标：若不存在，说明理由.

22

17.已知过原点的动直线I与圆C1:x+y-6x+5=0相交于不同

的两点4B.

(1)求圆Ci的圆心坐标；

(2)求线段4B的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数k,使得直线匕y=k(x-4)与曲线C只有一

个交点?若存在，求出k的取值范围：若不存在，说明理由.

18,平面直角坐标系中，动圆C与圆Q—l)2+y2=：外切，且与直

线％二一，相切，记圆心C的轨迹为曲线兀

(1)求曲线T的方程：

(2)设过定点Q(犯0)(m为非零常数)的动直线，与曲线T交于

4,B两点，问：在曲线T上是否存在点P(与4,B两点相

异)，当直线P4PB的斜率存在时，直线P4PB的斜率之

和为定值，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

19.如图，曲线q是以原点。为中心，6，尸2为焦点的椭圆的一部

分.曲线C2是以原点。为顶点，尸2为焦点的抛物线的一部分，4

B是曲线6和C2的交点且乙4尸2月为钝角，若|^|=|,

\AF2\=1，

(1)求曲线Ci和C2的方程；

(2)设点C,D是曲线金所在抛物线上的两点(如图).设直线

0C的斜率为右，直线。。的斜率为且自+心=遮，证

明：直线CD过定点，并求该定点的坐标.

20.如图，设椭圆3+必=I(Q>1).

(1)求直线y=/a+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示)；

(2)若任意以点｛(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求

椭圆离心率的取值范围.

22

21.给定椭圆+3=1(a>/?>0),称圆C1：%2+y2=@2+匕2

a2bzx

为椭圆C的“伴随圆已知椭圆C的离心率为亨，且经过点(0」).

(1)求实数a,b的值；

(2)若过点P(0jM)(m>0)的直线/与椭圆C有且只有一个公共

点，且I被椭圆c的伴随圆q所截得的弦长为2VL求实数讥

的值.

丫2

22.已知椭圆G：?+y2=I,椭圆c2以G的长轴为短轴，且与C1

有相同的离心率.

(1)求椭圆c2的方程；

(2)设。为坐标原点，点A.B分别在椭圆品和C2±,OB=

2OA.求直线4S的方程.

22

23.如图：A,B,C是椭圆彳+巳=l(a>b>0)的顶点，点F(c,O)

Q4b"

为椭圆的右焦点，原点。到直线C尸的距离为^c，且椭圆过点

(2V3,1).

(1)求椭圆的方程;

(2)若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交汇轴于点E,

直线BC与AP相交于点D,连接DE.设直线AP的斜率为k,

直线DE的斜率为口，问是否存在实数九使得/Lki=k+：成

立，若存在求出4的值，若不存在，请说明理由.

24.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在无轴上，离心率为:，椭圆

。上的点到焦点距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点P(O,rn)的直线1与椭圆。交于不同的两点4、B,且

AP=3PB,求实数m的取值范围.

25.设椭圆?+，=l(a>b>0)的左焦点为F,离心率为过点

产且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为竽.

(1)求椭圆的方程；

(2)设4B分别为椭圆的左右顶点，过点/且斜率为k的直线

与椭圆交于C,D两点.若羽•丽+而•丽=8,求k的值.

22

26.如图，椭圆E：/十左=l（a>b>0）经过点4（0,-1）,且离心

（1）求椭圆E的方程：

（2）经过点（1,1）,且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,

Q（均异于点力），证明：直线4P与4Q的斜率之和为2.

27.已知AABC的两个顶点48的坐标分别是（0,-皆）,（0,百），且

AC,BC所在直线的斜率之积等于根（加工0）.

（1）求顶点。的轨迹入的方程，并判断轨迹a为何种曲线；

（2）当巾二一三时，设点P（04），过点P作直线।与曲线a交于

4

E,F两点，且而二g而，求直线/的方程.

28.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆5+毯=

l（Q>b>0）过点4（2,1）,离心率为

（1）求椭圆的方程;

(2)若直线八y=/a+m(kH0)与椭圆相交于8,。两点(异

于点4),线段BC被y轴平分，且AB1AC,求直线[的方程.

29.已知椭圆C《+2=l(a>b>0)的离心率为*点在

椭圆。上，0为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设动直线I与椭圆C有且仅有一个公共点，且，与圆/+

y2=5相交于不在坐标轴上的两点P1，P2,记直线OP1，OP2

的斜率分别为自，心，求证：心,心为定值.

22

30.如图，已知两条抛物线E^.y=2p1x(p1>0)和E2:y=

2p2x(p2>0),过原点。的两条直线2i和，2,与瓦，的分别交

于4两点，k与E1，分别交于当，B2两点.

(1)证明：A1B1//A2B2；

(2)过原点。作直线I(异于lv12)与E],&分别交于6，C2

两点.记MiBiG与△4zBzCz的面积分别为Si与52，求引

S2

的值.

丫2

31.在直角坐标系xOy中，曲线C:y=—与直线l\y=kx+a(a>0)

交于两点.

(1)当k=0时，分别求。在点M和N处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有40PM二

乙0PN?说明理由.

32.如图所示，椭圆C:\+，=l(a>b>0)与直线=g尤+1

相切于点4

(1)求Q,匕满足的关系式，并用Q,匕表示点4的坐标;

(2)设厂是椭圆的右焦点，若△4F8是以F为直角顶点的等腰直

角三角形，求椭圆。的标准方程.

33.已知椭圆C；《=l(a>b>0)的右焦点为F(L0),设左顶

Q/b'

点为4上顶点为B,且而•丽二丽•丽.

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知M,N为椭圆C上两动点，且MN的中点，在圆/+

y2=1±,求原点0到直线MN距离的最小值.

34.在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆，:a+左=1(Q>b>0)与

直线上x=m(mWR).四点(3,1),(3,-1),(-272,0),(V3,V3)

中有三个点在椭圆。上，剩余一个点在直线，上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若动点P在直线，上，过点P作直线交椭圆。于M,N两点,

使得PM=PN,再过P作直线0_LMN.求证；直线「恒过定

点，并求出该定点的坐标.

35.在圆％2+y2=4上任取一点P,过点P作％轴的垂线段，。为垂

足，点M在线段PD上，且|DP|二&|DM|,点P在圆上运动.

(1)求点M的轨迹方程；

(2)过定点C(-l,0)的直线与点M的轨迹交于4B两点，在工

轴上是否存在点N,使福•福为常数，若存在，求出点N的

坐标；若不存在，请说明理由.

22

36.如图，。为坐标原点，椭圆6：彳+9=1(a>b>0)的左、右

aLb£

焦点分别为Fi、F2,离心率为马；双曲线-的左、

右焦点分别为小F4,离心率为牝.己知之牝=*且电川二

V3—1.

(1)求C1，C2的方程；

(2)过Fl作G的不垂直于y轴的弦AB,M为弦AB的中点.当

直线0M与交于P,Q两点时，求四边形/PBQ面积的最小

值.

37.已知椭圆C-.x2+3y2=3,过点0(1,0)且不过点E(2,l)的直线与

椭圆。交于4B两点,直线AE与直线％=3交于点M.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若直线4B垂直于无轴，求直线BM的斜率；

(3)试判断直线8M与直线DE的位置关系，并说明理由.

22

38.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：3+£=1(Q＞力＞0)的离

心率为日，左、右焦点分别是F2.以此为圆心、以3为半径

的圆与以尸2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.

(1)求椭圆。的方程；

22

(2)设椭圆E:£+为=LP为椭圆C上任意一点，过点P的

4Q24bz

直线y=依+m交椭圆E于48两点，射线P0交椭圆E于

点Q・

①求耨的值；

②求△ABQ面积的最大值.

39,已知椭圆?+\=l(a>b>0)的离心率为且经过点

过它的两个焦点用，F2分别作直线。与％，乙交椭圆于

4B两点,%交椭圆于C，D两点，且!il，2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)四边形ACBD的面积S的取值范闱.

40.设椭圆各\=1(。>匕>0)的左、右顶点分别为4B,点P

在椭圆上且异于A,B两点,0为坐标原点.

(1)若直线AP与BP的斜率之积为-右求椭圆的离心率；

(2)若\AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|/c|>V3.

22

41.已知中心在原点的椭圆C：1的一个焦点为6(0,3),

M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点,△MOFi的面积为去

(1)求椭圆。的方程；

(2)是否存在平行于0M的直线/,使得直线/与椭圆C相交于4

B两点，且以线段4B为直径的圆恰好经过原点?若存在，求出

直线I的方程；若不存在，说明理由.

42.如图,椭圆C5+.=l(a＞匕＞0)经过点离心率e=

直线！的方程为t=4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与

直线［相交于点M，记P4PB/M的斜率分别为初心水3.问:

是否存在常数九使得k1+心=北3?若存在，求2的值；若不

存在，请说明理由.

43.在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(l,0)的距离比它到y轴

的距离多1.记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)设斜率为k的直线I过定点P(-2,1).求直线I与轨迹C恰好

有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.

44.已知抛物线E:y2=2Px(p>0)的准线与x轴交于点K,过点K

作圆。:(n-2)2+产=1的两条切线，切点为M,N,\MN\=

4V2

3

(1)求抛物线E的方程：

(2)设48是抛物线E上分别位于工轴两侧的两个动点，且

OA-OB=-(其中0为坐标原点).

4

①求证；直线4B必过定点，并求出该定点Q的坐标；

②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点，求四边形

AGBD面积的最小值.

22

45.已知椭圆氏3+2=1(。>匕>。)的半焦距为c,原点。到经

过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为，c.

(1)求椭圆£的离心率；

(2)如图，A8是圆M：(%+2)2+(y-1)2=申的一条直径，若

椭圆E经过48两点，求椭圆£的方程.

46.已知椭圆+\=1(Q>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点

是正三角形的三个顶点，点P(遮在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设不过原点。且斜率为1的直线I与椭圆E交于不同的两点

4B,线段48的中点为M,直线0M与椭圆E交于C,D,

证明,\MA\­\MB\=\MC\•\MD\.

47.已知椭圆C：《+,=1过4(2,0),B(0,l)两点.

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线P4与y轴交于

点M,直线PB与工轴交于点N.求证：四边形48NM的面积

为定值.

48.已知椭圆C；《+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为居，F2,

离心率为泉M为椭圆上任意一点，且^MFiF2的周长等于6.

(1)求椭圆。的方程；

(2)以M为圆心，IMFil为半径作圆M,当圆M与直线/：%=

4有公共点时，求AMF/2面积的最大值.

49.已知离心率为理的椭圆C：m+《=l(Q>b>0)与直线％=2

2a1bz

相交于P,Q两点(点P在％轴上方)，且|PQI=2,点4B

是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且乙4PQ=乙BPQ.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求四边形APBQ面积的取值范围.

丫2

50.已知A,B为椭圆C:]+y2=i上两个不同的点，0为坐标原

点.设直线04OB,AB的斜率分别为包，幻，匕

（1）当/q=2时，求104；

（2）当忆水2—1=刈+&时，求人的取值范围.

51.已知椭圆C：\+2=l（a＞匕＞0）过点（0,加），且满足a+

b=3,\/2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）斜率为：的直线交椭圆C于两个不同点4B,点M的坐标

为（2,1）,设直线AM与MB的斜率分别为自，k2.

①若直线过椭圆C的左顶点，求此时自，的的值；

②试探究七+七是否为定值，并说明理由.

52.设圆产+,2+2、-15=0的圆心为4,直线I过点8Q0）且与

x轴不重合，，交圆力于C,D两点，过8作AC的平行线交AD

于点E,

（1）证明1及4|+|£8|为定值，并写出点£的轨迹方程：

（2）设点E的轨迹为曲线Ci，直线1交q于M,N两点，过B

且与/垂直的直线与圆4交于P,Q两点，求四边形MPNQ面

积的取值范围.

22

53.在平面直角坐标系％Oy中，设椭圆今+看=l（Q〉b〉0）的离心

率是e,定义直线、=±2为椭圆的“类准线L已知椭圆。的“类

e

准线”方程为,=±24乐长轴长为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作

圆O：x2+y2=3的切线I,过点。且垂直于0P的直线与I交

于点4问：点4是否在椭圆C上?证明你的结论.

22

54.在平面直角坐标系％Oy中，椭圆E：3+/=l（Q>b>。）的右准

线为直线/,动直线y=k%+m（k<0,m>0）交椭圆于4,B两

点，线段AB的中点为M,射线0M分别交椭圆及直线，于P,Q

两点，如图.若儿B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，

点Q的纵坐标为：（其中。为椭圆的离心率），且OQ=\^OM.

（1）求椭圆E的标准方程;

(2)如果OP是OM,OQ的等比中项，那么?是否为常数?若是，

求出该常数；若不是，请说明理由.

22

55.如图，在平面直角坐标系中，M,N分别是椭圆9+5=1

的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,4两点，其中点P在第

一象限，过P作t轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆

于点儿设直线P｛的斜率为k.

(1)当直线P4平分线段MN时，求k的值；

(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

(3)对任意k〉0,求证；PALPB.

22

56.如图，在平面直角坐标系％0y中，椭圆C：3+力=l(Q>b>。)

的离心率为?，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与

直线％—y+2=0相切.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点P(O,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称

的不同两点，直线PM与QN相交于点7.求证：点T在椭圆C

上.

57.已知抛物线E\y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点K,过点K

作圆C:Q—5)2+y2=9的两条切线，切点为M,N,IMN|=

3V3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)设4,B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且

OA-OB=-(其中。为坐标原点).

4

①求证：直线AB必过定点Q,并求出该定点Q的坐标；

②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点，求四边形

AGBD面积的最小值.

58.在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点(，0)且与直线%=-：

相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线£

(1)求曲线E的方程；

(2)设P是曲线E上的动点，点B,C在y轴上，APBC的内切

圆的方程为(％—l)2+y2=i,求APBC面积的最小值.

59.已知椭圆C:，+、=l(a〉b>0)的离心率为彳，以原点。为圆

心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2%-y/2y+6=0相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点4B为动直线y=k(x—2)(k卢0)与椭圆C的两个

交点，问：在x轴上是否存在定点E,使得市？+瓦小荏为定

值?若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

22

60.已知椭圆M：a+孑=l(a>0)的一个焦点为F(—1,0),左右顶

点分别为人工经过点F的直线L与椭圆M交于C,。两点.

(1)求椭圆方程；

(2)当直线2的倾斜角为45。时,求线段CD的长；

(3)记△4BD与AABC的面积分别为Si和52，求IS1-S2I的最

大值.

22

61,已知双曲线邑靠—左=l(a>0,b>0)的两条渐近线方程分别为

l^,y=2%,l2\y=-2%.

(1)求双曲线E的离心率；

(2)如图，。为坐标原点，动直线1分别交直线小。于4B两

点(4,8分别在第一、四象限)，且△048的面积恒为8,

试探究：是否存在总与直线，有一个公共点的双曲线E?若存在,

求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.

62.如图，椭圆、+3=l（Q>b>0）的焦点为6,F2,过F2作垂

直于％轴的直线交椭圆于P点（点P在％轴上方），连接PF1并

延长交椭圆于另一点Q.设两二/1及

（1）若PF1=［遥，P/2=：遥，求椭圆的方程；

（2）求椭圆的离心率的范围；

（3）当离心率最大时，过点P作直线I交椭圆于点R,设直线PQ

的斜率为刈，直线RF］的斜率为22,若刈=|攵2,求直线1的

斜率匕

63.在平面直角坐标系％0y中，已知椭圆C：m+S=l（Q>b>0）的

Q/公

离心率e=彳，且椭圆c上的点到点Q（0,2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点使得直线L/n%+ny=l

与圆0：%2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△048的面

积最大?若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若

不存在，请说明理由.

22

64.已知椭圆。:a+£=1（。>8>0）的一个焦点为（花,0）,离心率

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（xo,yo）为椭圆c外一点，且点P到椭圆c的两条切

线相互垂直，求点P的轨迹方程.

22

65.已知双曲线E：3-g=l（Q>0,b>0）的两条渐近线分别为

a2b2x'

lr:y=2%,l2:y=-2%.

（1）求双曲线E的离心率；

（2）如图，0为坐标原点，动直线I分别交直线5％于48两

点（4B分别在第一，四象限），且△OHB的面积恒为8,

试探究：是否存在总与直线I有且只有一个公共点的双曲线E?

若存在，求出双曲线E的方程：若不存在，说明理由.

66.如图，在正方形04BC中，。为坐标原点，点｛的坐标为（10,0）,

点C的坐标为（0,10）,分别将线段0A和4B十等分，分点分别记

为4,出,・・・，/和%B?,…,/,连接。Bj,过％作工轴

的垂线与0Bt交于点PgGN*,l<i<9）.

（1）求证：点打«€2,142<9）都在同一条抛物线上，并求该

抛物线E的方程；

（2）过点C作直线I与抛物线E交于不同的两点M,N,若△

OCM与aOCN的面积之比为4:1,求直线［的方程.

22

67.已知椭圆会+a=1（。>8>0）的左右焦点尸1，玛，其离心率为

。二a点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值

为了

（1）求a,b的值，

（2）若4B,C,D是椭圆上不重合的四个点，且满足瓦了〃及乙

质〃及了，羽，丽=0,求I前1+1而I的取值范围.

68.已知椭圆C：［+1=1（。>匕>0）的离心率为遮，过点M（l,0）

Q，DL2

的直线/交椭圆C于,4,B两点,|MA|二4|MB|,且当直线/垂

直于％轴时，I4B|=y/2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若4€&2卜求弦长I4B|的取值范围，

69.如图，设椭圆C：m+^=l（Q>b〉O）,动直线1与椭圆C只有

一个公共点P，且点P在第一象限.

(1)已知直线/的斜率为限用Q,匕，k表示点P的坐标；

(2)若过原点0的直线I］与I垂直，证明：点P到直线h的距离

的最大值为a—b.

Y2

70.已知椭圆G\—+y2=1.过点(m,0)作圆/+必=1的切线/交

椭圆G于4B两点.

(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；

(2)将\AB\表示为m的函数，并求\AB\的最大值.

71.圆/+必=4的切线与无轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形,

当该三角形面积最小时，切点为P(如图),

(1)求点P的坐标；

(2)焦点在工轴上的椭圆C过点P,且与直线Z:y=x+V3交于

A,B两点，若△PAB的面积为2,求C的标准方程.

72.已知椭圆C5+\=l（Q>b>0）的左、右焦点分别为%F2,

上顶点为8,Q为抛物线必=12%的焦点，且用,丽=0,

2^+M=0.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过定点P（0,2）的直线I与椭圆。交于M,N两点（M在P,

N之间），设直线I的斜率为攵（忆>0）,在无轴上是否存在点

4（m,0），使得以AM,4N为邻边的平行四边形为菱形?若存在,

求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.

73.已知椭圆W2+\=l（a>b>0）的离心率为*其左顶点4

在圆O\x2+y2=16上.

（1）求椭圆W的方程：

（2）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆0的另一

个交点为Q,是否存在点P,使得黑=3?若存在，求出点P

\Ar\

的坐标：若不存在，说明理由.

74.已知4B,C是椭圆W:=+y2=1上的三个点，0是坐标原点.

(I)当点B是W的右顶点，且四边形。力BC为菱形时，求此菱形

的面积；

(2)当点B不是"的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形,

并说明理由.

75.已知点”1,0),点4是直线=上的动点，过4作直线"，

线段4F的垂直平分线与。交于点P・

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)若点M,N是直线4上两个不同的点，且APMN的内切圆

方程为/+y2=i,直线P尸的斜率为匕求就的取值范围.

22

76.如图，曲线C由上半椭圆C1:^+^=l(a>b>0,y>0)和部分

抛物线C2：y=-/+l(yW0)连接而成，G，C2的公共点为4

B,其中Ci的离心率为

(1)求跖(的值;

(2)过点B的直线I与q,C2分别交于点P,Q(均异于点4

B),若AP1AQ,求直线，的方程.

77.已知椭圆马+[=1(@〉力>0)的离心率为:且经过点P(l[)

a4b乙2\2/

过它的两个焦点凡，殳分别作直线匕与LL交椭圆于4B两

点,。交椭圆于C,。两点，且kl/

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求四边形力8co的面积S的取值范围.

22

78.己知椭圆k=l(Q〉b〉0)的离心率为争过右焦点尸的

直线！与C相交于A、B两点，当，的斜率为1时，坐标原点0

至M的距离为f.

(1)求Q,b的值；

(2)C上是否存在点P,使得当[绕F转到某一位置时，有而二

褊+砺成立?若存在，求出所有的P的坐标与/的方程；若不

存在，说明理由.

79.如图所示，过抛物线状=2PMp>0)上一定点P(x0fy0)(y0>0),

作两条直线分别交抛物线于4(/,%),8(%2，%)・

(1)求该抛物线上纵坐标为:的点到其焦点F的距离;

（2）当P4与P8的斜率存在且倾斜角互补时，求生叁的值，并

yo

证明直线AB的斜率是非零常数.

22

80,平面直角坐标系％Oy中，已知椭圆C：*+2=l（a>b>0）的

离心率为且点（日，）在椭圆C上.

（1）求椭圆。的方程；

22

（2）设椭圆E：34az+4为bz=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的

直线y=k%+巾交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于

点Q-

①求黑的值；

②求AABQ面积的最大值.

22

81.设椭圆y=1的焦点在%轴上，

azl-az

（1）若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程；

（2）设片，尸2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象

限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且尸1PLF1Q，证明：

当Q变化时，点P在某定直线上.

82.已知椭圆GA+\=1（Q>匕>0）的离心率为*短半轴长为L

（1）求椭圆G的方程；

（2）设椭圆G的短轴端点分别为48,点P是椭圆G上异于点

A,B的一动点，直线P4PB分别与直线％=4于M,N两点,

以线段MN为直径作圆C.

①当点P在y轴左侧时，求圆。半径的最小值：

②问：是否存在一个圆心在x轴上的定圆与圆。相切?若存在，

指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明

理由.

83.设圆/+/+2%-15=0的圆心为4直线I过点BQO)且与

叉轴不重合，1交圆/于C,D两点,过8作4C的平行线交4。

于点E.

(1)证明IE4I+IEBI为定值，并写出点£的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线G，直线/交G于M,N两点，过B

且与1垂直的直线与圆4交于P,Q两点，求四边形MPNQ面

积的取值范围.

84.已知椭圆三+)/2=1上两个不同的点4,8关于直线、=常工+2

对称，

(1)求实数m的取值范围；

(2)求AAOB面积的最大值(。为坐标原点).

85.已知△4BP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上，F为抛物线C

的焦点，点M为AB的中点，PF=3FM.

y

（1）若|PF|=3,求点M的坐标;

（2）求△48P面积的最大值.

86.已知椭圆C:\+\=l（Q>b>0）的左焦点为尸（一2,0）,离心率

为*

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设0为坐标原点，7为直线％=—3上一点，过尸作7T的垂

线交椭圆于P,Q,当四边形0P7Q是平行四边形时，求四边形

OPTQ的面积.

87.如图，椭圆（a>b>0）的离心率是多过点

P（0,l）的动直线I与椭圆相交于4B两点.当直线1平行于无轴

时，直线I被椭圆E截得的线段长为2夜.

（1）求椭圆E的方程;

(2)在平面直角坐标系％Oy中，是否存在与点P不同的定点Q,

使得察二黑恒成立？若存在，求出点Q的坐标：若不存在,

\PD\

请说明理由.

22

88.已知过椭圆三+3=1(。>b>0)右焦点F且斜率为1的直线交

aLbL

椭圆C于4B两点，N为弦的中点；又函数y=a•sinx+3b•

cosx的图象的一条对称轴的方程是x=l

(1)求椭圆C的离心率e与k°N；

(2)对于任意一点M€C,试证；总存在角9(。6R)使等式；

丽=cosOOA+sin0OS成立.

22

89.椭圆(7:a+力=l(a>b>0)的左、右焦点分别是%F2,离心

率为手，过6且垂直于无轴的直线被椭圆。截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF：PF?，设

4尸小尸2的角平分线PM交C的长轴于点M(mt0),求m的取值

范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线/,使得/与椭

圆。有且只有一个公共点.设直线PF1，P与的斜率分别为

用，若kHO,试证明J+2为定值，并求出这个定值.

90.已知常数讥>0,向量五二(oj),向量3=(犯0),经过点

A(m,0),以Aa+b为方向向量的直线与经过点B(-m,0),以

43―4d为方向向量的直线交于点P,其中/IGR.

(1)求点P的轨迹E;

(2)若m=2而，F(4,0),问是否存在实数k使得以Q(k,0)为圆

心，IQFI为半径的圆与轨迹E交于M,N两点,并且IMFI

+|NF|=3V5.若存在求出k的值；若不存在，试说明理由.

22

91.如图，0为坐标原点，双曲线。脸-$=1@>0也>0)和椭

圆出1+,=1"〉历>0)均过点p件,1)，且以.的两个

顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.

(1)求a，C2的方程；

(2)是否存在直线I,使得I与G交于4B两点，与C2只有一

个公共点，且|刀+而|二|荏］?证明你的结论.

92.如图，曲线L由曲线G；?+\=1(a>b>0,y<0)和曲线

C2：《一3=1。>0)组成，其中凡，为为曲线G所在圆锥曲

线的焦点，吕，片为曲线所在圆锥曲线的焦点.

(1)若尸2(2,0),尸3(-6,0),求曲线L的方程；

(2)如图，作直线I平行于曲线C2渐近线，交曲线Ci于点4B,

求证：弦48的中点M必在曲线的另一条渐近线上；

(3)对于(1)中的曲线L,若直线。过点&交曲线G于点C,

D,求ACDFi的面积的最大值.

93.设4是单位圆％2+y2=i上的任意一点，1是过点4与X轴垂直

的直线，D是直线/与无轴的交点，点M在直线，上，且满足|

DM|=m|DAI(m〉0且m#1).当点4在圆上运动时，记点

M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程，判断曲线。为何种圆锥曲线，并求其焦点

坐标；

(2)过原点且斜率为k的直线交曲线。于P,Q两点，其中P在

第一象限，它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线。于另

一点H.是否存在rn,使得对任意的k>0,都有PQ1P4?若