中职数学 y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质讲练结合

中职数学y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质[知识整合]基础知识1．正弦型函数y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ)))＋k的图像用五点法作图，即令ωx＋φ分别取0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)、2π，求出对应的x、y值，用描点法作出函数图像．2．y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0)))的主要性质：(1)定义域：R；(2)值域：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－A，A)))；(3)周期：T＝eq\f(2π,ω).在物理学中，往复振动一次所需要的时间T＝eq\f(2π,ω)叫作一个振动的周期．单位时间内往返振动的次数f＝eq\f(1,T)叫作振动的频率．ωx＋φ叫作相位．当x＝0时的相位φ叫作初相位．3．函数图像变换y＝f(x)的图像y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋a)))的图像．y＝f(x)的图像y＝f(x)＋k的图像．y＝f(x)的图像y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx)))的图像．y＝f(x)的图像y＝Af(x)的图像．4．函数y＝asinα＋bcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0)))转化为y＝eq\r(a2＋b2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α＋θ)))(其中tanθ＝eq\f(b,a)).．基础训练1．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))))的最小正周期是()A.eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π2．函数y＝sin(x＋eq\f(π,3))的图像的对称性为()A．关于y轴对称B．关于原点对称C．关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0)))对称D．关于直线x＝eq\f(π,6)对称3．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))的图像可由函数y＝2sinx的图像向________平移________个单位而得到．4．利用五点法作函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))))在一个周期内的简图．[重难点突破]考点1正弦型函数的图像例1已知函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4))))，作函数一个周期内的简图．【解】(1)列表eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,2)eq\f(3π,2)eq\f(5π,2)eq\f(7π,2)eq\f(9π,2)y010－10(2)描点，连线，如图所示．【变式训练】已知函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))))，作函数一个周期内的简图．例2函数y＝sin(2x－eq\f(π,4))的图像是由函数y＝sin2x经过______得来的()A．向右平移eq\f(π,4)个单位B．向左平移eq\f(π,4)个单位C．向右平移eq\f(π,8)个单位D．向左平移eq\f(π,8)个单位【解析】函数y＝sin2x向右平移eq\f(π,8)个单位得到函数y＝sin(2x－eq\f(π,4))的图像，故选C.【变式训练】函数y＝2sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3))的图像可由函数y＝2sineq\f(1,2)x的图像()A．向右平移eq\f(π,3)个单位B．向左平移eq\f(π,3)个单位C．向右平移eq\f(2π,3)个单位D．向左平移eq\f(2π,3)个单位例3已知函数f(x)的图像如图，则f(x)的解析式是()A．y＝eq\f(1,2)sin(3x＋eq\f(π,2))B．y＝sin(3x＋eq\f(π,2))C．y＝eq\f(1,2)sin(3x＋eq\f(π,6))D．y＝eq\f(1,2)sin(3x－eq\f(π,2))【解析】由图像可知函数f(x)的周期为T＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(2π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝3，又函数图像过点(－eq\f(π,6)，0)，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))上单调递增，只有A选项符合，故选A.【变式训练】函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))))B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))))考点2正弦型函数的性质应用例4函数y＝3sin(2x－eq\f(π,3))的最小正周期是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C．πD．4π【解析】周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π，故选C.【变式训练】函数y＝5sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6))的最小正周期是____________．例5已知函数f(x)＝1＋sinxcosx.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若tanx＝1，求f(x)的值．【解】(1)f(x)＝1＋sinxcos＝1＋eq\f(1,2)sin2x，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-eq\f(π,4),kπ＋eq\f(π,4)](k∈Z)．(3)tanx＝1，sinx＝cosx，又因为sin2x＋cos2x＝1，所以sinx＝cosx＝±eq\f(\r(2),2)，所以f(x)＝1＋sinxcos＝1＋(±eq\f(\r(2),2))2＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).【变式训练】已知函数f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f(α)＝eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3))))，求sinα的值．[课堂训练]1．简谐运动y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(5x－\f(π,3))))的最小正周期是()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(2π,5)D.eq\f(3π,5)2．将函数y＝sin2x的图像向右平移eq\f(π,2)个单位，所得图像对应的函数是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数3．为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝eq\r(2)sin3x的图像()A．向右平移eq\f(π,4)个单位B．向左平移eq\f(π,4)个单位C．向右平移eq\f(π,12)个单位D．向左平移eq\f(π,12)个单位第4题图4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2))))的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－eq\f(π,3)B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6)D．4，－eq\f(π,3)5．将函数y＝sinx的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,4)倍(纵坐标不变)得____________的图像．第6题图6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图像如图所示，则ω＝____________．7．函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3))))(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝eq\f(π,12)时，函数f(x)取得最大值2，当x＝eq\f(7π,12)时，函数f(x)取得最小值－2，则函数解析式为____________．8．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)，φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))一个周期的图像，求函数的解析式．第8题图9．已知函数y＝eq\r(3)sinx＋cosx，x∈R.(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合；(2)该函数的图像可由y＝sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到中职数学y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质答案知识整合基础训练1．B【解析】∵f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))，∴T＝eq\f(2π,2)＝π，故选B.2．D【解析】因为y＝sinx关于直线x＝eq\f(π,2)对称，将y＝sinx向左平移eq\f(π,3)个单位，得到的新函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))))关于直线x＝eq\f(π,6)对称．3．左eq\f(π,6)【解析】y＝2sinxy＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))).4．【解】列表：2x－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πxeq\f(π,6)eq\f(5π,12)eq\f(2,3)πeq\f(11,12)πeq\f(7,6)πy030－30所以函数y＝3sin(2x－eq\f(π,3))在一个周期内的简图如下所示：第4题图重难点突破【例1】【变式训练】【解】列表：2x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πx－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7,12)πeq\f(5,6)πy010－10描点连线，所以函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))一个周期的简图如下所示：【例2】【变式训练】D【例3】【变式训练】A【解析】根据图像上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．由图像知eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))))＝eq\f(π,2)，故T＝π，因此ω＝eq\f(2π,π)＝2.又图像的一个最高点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2)))，所以A＝2，且2×eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，故φ＝2kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，结合选项可知y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))).【例4】【变式训练】4π【例5】【变式训练】【解】(1)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx＝cosx＋eq\r(3)tanx·cosx＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2·(eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx)＝2sin(x＋eq\f(π,6))．函数f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,6))的最小正周期为T＝eq\f(2π,1)＝2π；(2)∵α∈(－eq\f(π,6)，eq\f(π,3))，∴α＋eq\f(π,6)∈(0，eq\f(π,2))．∵f(α)＝eq\f(1,4)，即2sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,4)，∴cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\r(1－sin2（α＋\f(π,6)）)＝eq\f(\r(15),4).∴sinα＝sin(α＋eq\f(π,6)－eq\f(π,6))＝sin(α＋eq\f(π,6))coseq\f(π,6)－cos(α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),8)－eq\f(\r(15),8)＝eq\f(\r(3)－\r(15),8).课堂训练1．C【解析】最小正周期为T＝eq\f(2π,5).2．A【解析】y＝sin2xeq\o(→,\s\up11(向右平移),\s\do4(\f(π,2)个单位))y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))))＝－sin2x，所得函数为y＝－sin2x，是奇函数．3．D【解析】函数y＝sin3x＋cos3x可化为y＝eq\r(2)sin(3x＋eq\f(π,4))，即y＝eq\r(2)sin[3(x+eq\f(π,12))]，所以将函数y＝eq\r(2)sin3x的图像向左平移eq\f(π,12)个单位可得到y＝eq\r(2)sin[3(x+eq\f(π,12))]，故选D.4．A【解析】由图像可得T＝π，∴ω＝2，将x＝eq\f(11,12)π，y＝－2代入函数，解得φ＝－eq\f(π,3)，故选A.5．y＝sin4x6.eq\f(3,2)【解