组合数习题课件-高二下学期数学人教A版选择性

6.2.4组合数习题阶段一：解方程∴n＝10，解：例3解：

练习证明：例43305因此x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，∴x＝－3(舍)或x＝5.6.练习

阶段二：应用题例1在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为例1在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种(2)从2件次品中抽出1件的抽法有

种，从98件合格品中抽出2件的抽法有

种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为1.“至少”“至多”的问题例1在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解.分析：本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析．注意“至少”、“至多”问题，运用间接法解会简化思维过程．例1在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种(4)抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有多少种

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即

从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为(3)

解1(直接法)：解2(间接法)：例1在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种(4)抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有多少种

从100件产品抽出的3件中至多有1件是次品，包括有0件次品和有1件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至多有1件是次品的抽法种数为(4)

解：练习1.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.(1)共有多少种不同的选法(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法解：（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选.2.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？组合问题

常见策略例1有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，还有2名英、法语皆通.现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？524例2

(1)平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？(2)空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？+11.“至少/多”问题——直/间接法(正难则反)[例1]有政治、历史、地理、物理、化学、生物共6门学业水平考试科目，现要从中选3门科目.(1)若物理和历史恰有1门被选，则有_____种不同的选法；(2)若物理和生物至少1门被选，则_____种不同的选法；自阅P25-例7[变式1]从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()“丙没有入选”的总选法数－“丙没有入选”且“甲乙均没入选”的选法数[变式2]某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家，至多有2名外科专家的抽调方法有_________种.2名外科专家：1名外科专家：无外科专家：115反面：至少3名外科专家正面：至多2名外科专家3名外科专家：4名外科专家：1.“至少/多”问题——直/间接法(正难则反)例3六本不同的书（1）平均分成三堆，问有多少种分法？分析：每堆两本，分三步完成，第一步从六本中任取两本作为第一堆，有种取法，第二步从剩下的四本中任取两本作为第二堆，有种取法，第三步剩下的两本作为第三堆，有种取法.据分步乘法原理，分堆方法数是种.问题1：这样分堆会有重复吗？2.分组及分配问题例3六本不同的书，（1）平均分成三堆，问有多少种分法？答：会造成重复分堆，例如假设这六本书编号为1，2，3，4，5，6号，先取两本，取到3，4作为第一堆，再取5，6两本作为第二堆，剩下1，2作为第三堆，这是一种分堆的方法.然后第二次分堆时，先取到1，2作为第一堆，再取到5，6作为第二堆，剩下3，4作为第三堆，显然这种分堆方法跟第一种分堆方法是一样的.而且继续下去，这种分堆方法会重复3次，即次.问题2：怎么样才能去掉重复的分堆呢？答：6次只算1次，可以除以得到，所以六本不同的书，平均分成三堆，最后的分堆方法数是种.问题1：这样分堆会有重复吗？例3六本不同的书，（2）如果按照4，1，1分成三堆，问有多少种分法？问题3：这样分堆会有重复吗？怎么样才能去掉重复的分堆呢？分析：例如，可以假设这六本书编号为1，2，3，4，5，6号，先取四本，取到1，2，3，4作为第一堆，再取到5作为第二堆，剩下6作为第三堆，这是一种分堆的方法.然后第二次分堆时，先取到1，2，3，4作为第一堆，再取到6作为第二堆，剩下5作为第三堆，这两种分堆方法是一样的，所以有重复.会重复几次呢？分析：同样分三步，先取4本，再取1本，剩1本，所以有种分法.我们观察发现会重复两次，原因是5与6那两堆.按照先5作为一堆后6作为一堆与先6一堆后5作为一堆是一样的分堆方法.1，2，3，4因为个数跟他们个数不一样，所以不会产生重复，所以按照4，1，1分堆，有种分法.例3六本不同的书，解：有种分法.（3）如果按照3，2，1分成三堆，问有多少种分法？元素个数相同的堆之间一般会有重复，比如第一问中的2,2,2均分，每堆有两个元素，堆之间会有重复问题，还有就是第二问中4，1，1的1，1两堆之间会有重复.问题4：什么样的分堆会有重复呢？平均分组与不平均分组问题例4

六本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分给甲，乙，丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本;（4）分给甲，乙，丙3人，一人1本，一人2本，一人3本;（5）全部分给甲，乙，丙3人，每人至少一本.情形1：平均分给三个同学，有：法1：边取边分，有种分法.法2：可以考虑先分组，再分配给三个同学，所以有分法.情形3：如果按照3，2，1分给三个同学，有：

先分组，后分配

先分组，后分配综上：分给三个同学，每个同学至少有一本，有：情形2：如果按照4，1，1分给三个同学，有：例4

六本不同的书，（5）全部分给甲，乙，丙3人，每人至少一本.[例4]将6个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一球，有____种不同的放法.分组方法：①1、1、4型②1、2、3型③2、2、2型(分组分配法)共3+6+1=10种分法.分配方法：甲乙丙甲乙丙相同元素分3份，需2个不相邻的隔板3.隔板法——相同元素分组元素相同（指标分配）问题隔板策略例6

有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有____种分法.一班二班三班四班五班六班七班3.隔板法——相同元素分组3.隔板法——相同元素分组[变式1]将14个相同的球放入4个不同盒子，每个盒子至少一球，有____种方法.相同元素分4份，需3个不相邻的隔板14个球间有13个间隔[例5]将20个相同的球放入编号为1,2,3,4的4个盒子，每个盒内的球数不少于它的编号数，有____种放法.先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再将剩下的14个球放入4个盒子，每个盒子至少再放一球，即在14个球形成的13个空隙中插入3块隔板12343.隔板法——相同元素分组[变1]方程x+y+z=18的正整数解有_______组.析：把18看成18个1相加，相当于在17个间隔中插入2块隔板[变2]方程x+y+z=18的非负整数解有_______组.111111111111111111析：即(x+1)+(y+1)+(z+1)=21的非负整数解，即X+Y+Z=21的正整数解相当于在20个间隔中插入2块隔板例7

有10个运动员名额，分给7个班,有多少种分配方案呢？组合问题

练习[练习1]某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个作为本年度要启动的项目，其中重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法有60种.[练习2]现有10件不同奖品，从中选6件分成3份，两份各1件，另一份4件,有3150种不同的分法.[练习3]6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，有540种不同的分法.[练习4]将8个学生的研学名额分配给高二年级5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有35种不同的分配方法.[练习5]对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品一一进行测试，直至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有576种可能.[练习6]3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有540种.[练习1]某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个作为本年度要启动的项目，其中重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法有______种.析：总