湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题

高一下学期期中考试数学试卷一：单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦函数二倍角公式即可求解.【详解】由题意得，故A正确.故选：A.2.设z=3+2i，则在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由得则对应点（3，2）位于第三象限．故选C．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．3.的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】诱导公式变形后由两角差的正弦公式计算．【详解】．故选：D．4.在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理计算可得.【详解】因为，即，由余弦定理，又，所以.故选：C5.已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可得，可得，即求．【详解】点在线段的延长线上，且，，即,所以．所以点P的坐标为.故选：D.6.设O在的内部，D为的中点，且，则的面积与的面积的比值为()A.3 B.4C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算结合已知可推出，即可判断是的中点，由此可推出三角形面积之间的关系，即可得答案.【详解】为的中点，，由得，是的中点，，故的面积与的面积的比值为4.故选：B7.已知，则的值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件求出，再由二倍角公式直接求解.【详解】因为，所以，则.所以.故选：D8.在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（）A.钝角三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在中，由正弦定理得，而，∴，即，又∵、为的内角，∴，又∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴为等边三角形.故选：B.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则与的夹角为【答案】BC【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D.【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误；选项B，若，则，解得，则，故B项正确；选项C，若，则，所以，故C项正确；选项D，，则，，，所以，所以与的夹角不是，故D项错误，故选：BC10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（）A. B. C.的面积为 D.的周长为【答案】ABD【解析】【分析】利用正余弦定理和已知条件，解三角形，验证各个选项.【详解】由，有，得，选项A正确．因为，由正弦定理有，，得，选项B正确．的面积为，选项C错误．因为，由余弦定理，解得，故的周长为，选项D正确.故选：ABD11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的周期为B.函数的图象关于点对称C.函数在单调递减D.该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象【答案】ABD【解析】【分析】由图像可知：，周期，从而利用周期公式可求出的值，再将点坐标代入解析式可求出的值，从而可得函数解析式，然后利用三角函数的图像和性质逐个分析判断即可详解】由图像可知：，周期，∴；由解得：故函数对于A：，故A正确；对于B：故B正确；对于C：当时，所以在上不单调．故C错误；对于D：向右平移个单位得到，再把横坐标伸长为原来的2倍，可得的图象，故D正确．故选：ABD三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.______【答案】【解析】【分析】根据向量加、减法法则及运算律计算可得.【详解】.

故答案为：13.设，是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则_______.【答案】【解析】【分析】根据向量的加法以及共线向量基本定理，求解即可.【详解】由题意可得.∵，，三点共线∴，∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查向量的加法以及共线向量基本定理.属于较易题.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，若BC边上的中线长，则的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据和正弦定理边化角可求cosA，从而求得A、B、C；在△ADC中，利用余弦定理可求CD，从而可求AC、AB，根据即可求得答案．【详解】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴，∴，．设，则DC=DB=x，在中，由余弦定理得，解得，∴，∴．故答案为：．四.解答题：（本题共5小题，共77分.）15.若复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由纯虚数的定义建立方程，求解即可；（2）由第二象限的点的特征建立不等式组，求解即可.【小问1详解】解：因为z是纯虚数，所以，解得所以m的值为3；【小问2详解】解：因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得，所以m的取值范围为．16.已知向量与的夹角，且，．（1）求；（2）与的夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果；（2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值.【小问1详解】已知向量与的夹角，且，，则，所以；小问2详解】由（1）知：，所以，所以与的夹角的余弦值为.17.（1）已知均为锐角，求的值；（2）在正方形中，为的中点，若，求的值.【答案】（1）；（2）12【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式求出，结合、的范围，求出；（2）用，表示，再由平面向量基本定理计算可得.【详解】（1）因为，所以，又、为锐角，所以，则，所以；（2）依题意，，又，又，不共线，所以，所以，即.18.已知函数，最小正周期是.（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间；（3）求在最值及相应的值.【答案】（1）（2）（3）当时，取得最大值，最大值为1；当时，取得最小值，最小值为【解析】【分析】（1）首先根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简函数,利用周期公式求出，得函数解析式；（2）解不等式,可得单调增区间；（3）由,结合函数的单调性可得在上的最大值和最小值，及对应的自变量取值.【小问1详解】由已知得，因为的最小正周期是，所以，所以；【小问2详解】令，因为的单调递增区间是，则由，解得，所以的单调递增区间是；【小问3详解】由（2）可知在单调递增，则在单调递减，又因，所以当时，取得最大值，最大值为1，当时，取得最小值，最小值为.19.已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且.（1）求角；（2）若，求的面积的最大值；（3）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，即可得解；（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得；（3）结合（2）的结