高中数学必修2《平面向量》练习

已知I01=2,5|=i,a与石的夹角为;,若向量2G+序与G+B垂直，求k.

一一7T1

解：a-b=\a\\b\cos—=2xix—=1.

32

:2方+历与方+B垂直，

・・・(2互+扬)•(商+B)=0,

232+2a-b+kab+1S2=0nk=-5.

【平面向量练习】

一、选择题:

1、下列各式中正确的是（C）

(1)(入•a)•b二人,(ab)=a•(入b),(2)\a•b|=|a1-Ib|,

(3)(。•b)•c=a•(b•c),(4)(a+b)•c=a•c+b•c

A.(1)(3)B.(2)(4)C.(1)(4)D.以上都不对.

2、在AABC中，若（d+而）•（B—3）=0,则AABC为（C)

A.正三角形B.直角三角形c.等腰三角形D.无法确定

3、若|a|二|b|二|a一b|,则b与a+b的夹角为(A)

A.30°B.60°C.150°D.120°

4、已知|a|二l,|b|二JI，且（a—b）和a垂直，则a与b的夹角为（D)

A.60°B.30°C.135°D.45°

**----»----*----►2

5、若AB,BC+AB=0,则4须（：为（A）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形

6、设|a|=4,|b|=3,夹角为60°,则|a+b|等于(C)

4.37B.13C.历D.V13

7、己知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+b,d=入a—b,若c_Ld,则实数入的值为(C

8、设a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线，则（D）

①(ab)c—(ca)b=0②|a|-|b|<|a-b|

@(bc)a—(ca)b不与c垂直④(3a+2b)(3a—2b)=9|a|2-4|b|2

其中真命题是)

A.①②B.②③C.③④D.②④

二、填空题：

9、已知e是单位向量,求满足a〃e且a•e=-18的向量a-.—18e

10、设a=(m+l)，-3j,b=i+(m—l)j,(a+b)±(a—b),贝！］m=.—2

11、|a|=5,|b|=3,|a—b|=7,则a、b的夹角为.120°

12、。与(14—土丝2关系为.a±b

lai2

三、解答题：

13、已知|a|二4,|b|=5,|a+b|=V^T，求：①a,b；②(2a—b)•(a+3b)

解：①|a+b，=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2a•b+|b|2,

F\a+bf-\a^-\b^_21-16-25

:.ab=-------------------------------------------=—iU•

22

②(2a-b)•(a+3b)=2a2+5a•b-3b2=2|a|2+5a•b—31bl2

=2X42+5X(-10)-3X52=-93.

14>四边形4BCD中，=a,BC=b,CD=c,DA=d,^a•b=b,c=c•d=d•a,判

断四边形ZBCD是什么图形？

分析：在四边形八BCD中，a+b+c+d=0,这是一个隐含条件，

对a+b=一(c+d),两边平方后，用a•b二b•c=d•c代入，

从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状.

解：Va+b+c+d=0,cr+b=—(c+d),

(a+b)2=(c+d)2,即|a|2+2a•b+|b|2=©2+2c•d+|d|2,

Va•b=c•d,Ia12+1b12=Ic12+1d12........①

同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2……②

①,②两式相减得:|b|2=|d|2,|a|2=|c|2,即|b|二|d|,|a|二|c|.

・・・ZBCD为平行四边形.

又,：a•b=b•c,即b•(a—c)=0,而a=­c,

Vb•(2a)=0

.*.a±b,

，四边形ABCD为矩形.

15、已知：|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60。，问当且仅当k为何值时，向量ka-b与

a+2b

垂直？

解:,/(ka-Z?)_L(a+2b)

(ka-b)\a+2b)=0,

^ka2+(2k-l)ab-2b2=0,/.A;x52+(2A:-l)x5x4xcos60-2x42=0

【平面向量的综合应用练习】

一、选择题

1.设A、B、C、。四点坐标依次是(一1,0),(0,2),(4,3),(3,1),则四边形ABC。

为()

A.正方形B.矩形

C.菱形D.平行四边形

—­—>15

2.已知△ABC中，47=从0斥0,5.8o=一,|4|=3,网=5,则。与6的夹角是()

4

A.30°B.-1500C.1500D.30°或150°

二、填空题

3.将二次函数y=N的图象按向量。平移后得到的图象与一次函数y=2x—5的图象只有一

个公共点(3,1),则向量。=.

4.等腰△ABC和等腰RtZ\AB。有公共的底边AB,它们所在的平面成60。角，若AB=16

cm,AC=17cm,则CD=.

三、解答题

5.如图，在△ABC中，设诟=a,AC=b,AP=c,

AD=2a,(0〈衣1),AE=〃方(0<〃<1),试用向量a,b表示c.

6.正三棱柱ABC—AiBiG的底面边长为a,侧棱长为&a.

(1)建立适当的坐标系，并写出A、B、Ai、G的坐标;

⑵求AC!与侧面ABBiAi所成的角.

7.已知两点M(—1,0),N(l,0),且点P使加•加，丽•丽，丽晨丽成公差小于零

的等差数列.

(1)点P的轨迹是什么曲线？

(2)若点P坐标为(孙儿),。为丽与前的夹角,求tan”

8.已知£、F、G、X分别是空间四边形ABCD的边A3、BC、CD、ZM的中点.

(1)用向量法证明E、F、G、，四点共面；

(2)用向量法证明：3D〃平面所G8；

(3)设M是EG和P8的交点，求证:对空间任一点。,有而」(方+无+无+而).

4

参考答案

一、1.解析：AB=(1,2),DC=(1,2),：.AB=DC,：.AB//DC,又线段AB与

线段DC无公共点，且|AB|=|£>q,...ABC。是平行四边形，又|荏|=6，AC=(5,

3),|AC|=V34,：.\AB\^\AC},：.ABC。不是菱形，更不是正方形；又说=(4,1),

...卜4+2-1=6¥0,...而不垂直于沅，，ABCZ)也不是矩形，故选D.

答案：D

2.解析：—-3-5sinot得sina=2,则a=30°或a=150°.

422

又；aZr<0,，a=150。.

答案：C

二、3.(2,0)4.13cm

三、5.解：；丽与前共线，；.BP=mBE=m(AE—AB)=m@b—a),

AP=AB+BP=a+m(/ib——Q)=(1——m)a+mjLib①

又CP与CD共线，CP=nCD=n(AD—AC)=n(Aa—b),

AP=AC+CP=b+n(Aa—b)=nAa+(l—n)b②

由①②,得(1一根)a+jLtmb=Xna+(l—n)b.

,,4小11-m=Aa|2n+m-l=0人

•・•〃与〃不共线，・,・<即an<③

[jLim=l-n[n+jum-1=0

i_;1-//1

解方程组③得：m=--------,n=------代入①式得c=(l一利)〃+肛而=------

—X)b~\.

6.解：(1)以点A为坐标原点0,以AB所在直线为Oy轴，以A4i所在直线为Oz轴，以

经过原点且与平面A5814垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.

由已知，得A(0,0,0),8(0,a,0)41(0,0,V2a),Ci(-—V2a).

22

(2)取的中点M,于是有M(0,-,V2a),连AM,MCi，有所=(—Ja,0,0),

22

且而=(0,a,0)，初=(0,0后a)

由于E-M=。，近•丽=0，所以MC1_L面ABB1A1，，AC1与AM所成的角就是

ACi与侧面ABBiAi所成的角.

VAQ=(-^ya,|,V2a),AM=(0,pV2a),

------------*a2c9

/.ACAM=0+——+2。2=—a

144

而|记上+#+2/=73a,|AM|=柠+2a=|a

/.cos<AC.,AM>=

所以AC】与AM所成的角，即AG与侧面ABB14所成的角为30°.

7.解：(1)设P(x,y),由Af(—1,0),N(l,0)得，PM=一而=(一1一匹一＞),丽=一瓶

=(l-x,~y),MN=-NM=(2,0),：.MP-MN=2(l+x),PM-PN=x2+y2~\,NMNP=2(1

—x).于是，加・莉，丽•丽，丽・丽是公差小于零的等差数列，等价于

x2+y2-l=1[2(l+x)+2(l-x)]2

即…=3

x>0

2(l-x)-2(l+x)<0

所以，点尸的轨迹是以原点为圆心，石为半径的右半圆.

⑵点P的坐标为(xo,yo)

丽.丽=X02+%2_I=2,|前丽|=J(l+x)2+y02.』1_而)2+%2

=J(4+2%0)(4—2%)—2d4-

八PMPN1

/.COS〃=,___=/

\PM\-PN也-才

1

,.<0<xo<V3,<COS0<1,0<6<y,

22

sind=71-cos-------'tand==^3-x0=|_y0|

---►---►----*---*I---*---*---*---*----►---*----*

8.证明：(1)连结3G,则EG=EB+BG=EB+-(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH

1—>——>

由共面向量定理的推论知：E、F、G、"四点共面，(其中一瓦)=£W)

2

_—*—*—*।—*।—>।—*—»1—*

(2)因为硝=AH—AEngAD_543=5(40—43)=53。.

所以EH〃BD,又EHu面EFGH,BDU面EFGH

所以BO〃平面EFGH.

(3)连OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG

由(2)知函=L瓦5,同理用=,丽，所以丽=记，所以EG、FH交

22

于一点M且被M平分，所以

----*1---»----»1---•-1---->11---»---»11-