28、双角平分线模型（答案）

1．（2021秋•青山区期末）已知，，，，分别平分和，绕着点顺时针旋转．（1）若．①如图1，当旋转到与重合时，求的度数；②如图2，当从图1的位置开始绕着点顺时针旋转，其中，求的度数；（2）若，从图3的位置与重合）开始绕着点顺时针旋转一周，则的度数为或．【解答】解：（1）①，，，与重合，，，，分别平分和，，，；②从图1的位置开始绕着点顺时针旋转，其中，，，，，分别平分和，，，，；（2）设从图3的位置与重合）开始绕着点顺时针旋转，旋转角度数是，①当时，如图：，，，分别平分和，，，，，②当而时，如图：，，，分别平分和，，，，，③当而时，如图：，，，分别平分和，，，，，综上所述，为或．故答案为：或．2．（2020春•叶集区期末）如图，直线，，，在上，且满足，平分．（1）求的度数；（2）若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动的过程中，是否存在某种情况使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【解答】解：（1），，平分，，，；（2）的值不变．，，，，，，是定值；（3）在和中，，，，、、是的四等分线，，，故存在某种情况，使，此时．3．（2017春•仙游县期中）如图1，直线，，、在上，且满足，并且平分．（1）求的度数；（2）如图2，若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出的度数；若不存在，说明理由．【解答】解：（1），，，平分，，，；（2）的值不会发生变化，为，，，，，，；（3）存在．设，，，，，，，，，，．4．（2022秋•黄石港区期末）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且小于等于的角）．（1）如图，当、重合时，求的度数；（2）当从如图所示位置绕点沿顺时针方向旋转，且时，直接写出的取值范围．（3）当从如图所示位置绕点沿顺时针方向旋转时，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，与重合，平分，即平分，，平分，即平分，，；（2）当时，如图2，，，，平分，，平分，，，此时，为定值；当时，如图3．，，，平分，，平分，，，此时，为定值；当时，如图4．，，，平分，，平分，，；，，解得：（不符合题意，舍去）；综上所述，的取值范围．（3）的值不是定值，理由是：当时，如图5．的值是定值，理由是：，，平分，平分，、，为定值；当时，如图6．，，，平分，，平分，，则，不是定值，故的值不是定值．5．（2022秋•滕州市校级期末）已知：如图1，，．（1）求的度数；（2）如图2，若射线从开始绕点以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动，设旋转的时间为秒，当时，试求的值；（3）如图3，若射线从开始绕点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果）【解答】解：（1），，，，；（2）由（1）知，，，①逆时针运动时，即时，由，的运动可知，，，，相遇前，如图2（1），，即，解得，，相遇后，如图2（2），，即，解得；②顺时针旋转时，，，，相遇前，如图（3），，即，解得，，相遇后，如图（4），，即，解得，综上，当的值为5，10，12.5或13.75时，．（3）由（1）知，根据射线的运动，需要分四种情况，①当射线与重合前，如图3（1），平分，平分，，，；②当射线与重合后，前，如图3（2），平分，平分，，，；③前，如图3（3），平分，平分，，，；④与重合前，如图3（4），平分，平分，，，；综上，的度数为或．6．（2022秋•成都期中）如图，点，，三点在一直线上，在同侧作、，若，分别平分，，过点作的平分线交于点．（1）已知，求的度数；（2）若，，求线段的长；（3）在（2）的条件下，若，求线段的长．【解答】解：（1），分别平分，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，；（3）延长交于，作于，，，，，，，，，，，，，平分，，，，，，．7．（2021秋•雁塔区校级期末）如图所示，，，是以直线上一点为端点的三条射线，且，，．射线从处开始出发，绕点逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度；射线从处开始出发，绕点顺时针匀速旋转．两条射线同时开始旋转（当射线旋转至与射线重合时，、同时停止运动），旋转时间为秒．（旋转速度旋转角度旋转时间）（1）当10秒，射线平分时；（2）若射线的旋转速度为每秒4度时，请求出当时，射线旋转的时间；（3）若射线的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）作的角平分线此时的运动时间（秒（2），，由题意可得，，①如图所示：②如图所示：此时停止运动时间，以上两种情况均符合当时，的旋转时间为或秒（3）存在．或8．如图，在长方形中，是边上一点（不与点，重合），将长方形沿折叠后点落在点处，的平分线交直线于点，交的延长线于点，的平分线交直线于点，交于点．（1）若，则的度数为；（2）的度数为；（3）是否存在是等腰三角形？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由折叠可知，，，，，平分，，，．故答案为：．（2）由折叠的性质，，，平分，平分，，，，，，，，．故答案为：．（3）存在，理由如下：当时，，，．当时，，不合题意；当时，，不合题意．综上，当时，是等腰三角形．9．已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．（1）直线，有何关系？并写出证明过程；（2）在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，求的度数．（3）如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，请猜想与满足的数量关系，并证明它．【解答】解：（1）结论：；理由：如图1中，，，平分，平分，，，，在中，，，．（2）如图2中，由题意，，平分，平分，，，（3）结论：．理由：如图3中，由题意，，，平分，平分，，，．10．（2020秋•黄陂区期末）如图，长方形纸片，点为边上一点，连接、．将沿对折，点落在点处；将沿对折，点落在点处．若．下列结论：①若，，则；②；③若，则；④若平分，则．其中一定正确的有②③（填序号即可）．【解答】解：①若，，则；故①错误；②由折叠可知，，，，；故②正确；③若，则，，，解得，；故③正确；④若平分，则，，，，，则，故④错误；故答案为：②③．11．（2021秋•沙坪坝区校级期末）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是或．【解答】解：当在外部时，射线平分，射找平分，，，，射线平分，，设，则，，，解得或，或；当在内部时，射线平分，射找平分，，，，射线平分，，设，则，，，方程无解，此种情况不存在．综上，或．故答案为：或．12．（2021秋•冷水滩区期末）已知，（1）如图1，、分别平分和，若，则是38；（2）如图2，、分别平分和，若，求的度数（写推理过程）．（3）若、分别平分和，，则的度数是（在稿纸上画图分析，直接填空）．【解答】解：（1），平分，，，，又平分，．（2），，，又、分别平分和，，，，（3）分两种情况：当时，，当时，．