工程数学第四次作业

工程数学第四次作业一、作业题目

1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，求矩阵\(A\)的秩，并判断其是否满秩。2.求解线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2x_3=2\\2x_1+4x_2+x_3=4\\3x_1+6x_22x_3=2\end{cases}\)。3.设向量组\(\alpha_1=(1,1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_3=(1,3,t)^T\)，当\(t\)为何值时，向量组线性相关？并求出此时的线性组合系数。4.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2x_2x_3\)，写出其矩阵形式，并判断其正定性。

二、题目解答

（一）求矩阵\(A\)的秩并判断是否满秩

1.对矩阵\(A\)进行初等行变换：\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)第二行减去第一行的\(2\)倍，第三行减去第一行的\(3\)倍，得到：\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)2.由此可知，矩阵\(A\)的非零行有\(1\)行，所以矩阵\(A\)的秩\(r(A)=1\)。3.因为矩阵\(A\)是\(3\times3\)矩阵，而\(r(A)=1\neq3\)，所以矩阵\(A\)不满秩。

（二）求解线性方程组

1.对方程组的增广矩阵\(\overline{A}\)进行初等行变换：\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&2&1&2\\2&4&1&4\\3&6&2&2\end{pmatrix}\)第二行减去第一行的\(2\)倍，第三行减去第一行的\(3\)倍，得到：\(\begin{pmatrix}1&2&1&2\\0&0&3&0\\0&0&1&4\end{pmatrix}\)第三行减去第二行的\(\frac{1}{3}\)倍，得到：\(\begin{pmatrix}1&2&1&2\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}\)2.此时，方程组的系数矩阵的秩\(r(A)=2\)，增广矩阵的秩\(r(\overline{A})=3\)，因为\(r(A)\neqr(\overline{A})\)，所以该线性方程组无解。

（三）判断向量组线性相关并求线性组合系数

1.设存在一组数\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)，即：\(\begin{cases}k_1+k_2+k_3=0\\k_1+2k_2+3k_3=0\\k_1+3k_2+tk_3=0\end{cases}\)2.对该方程组的系数矩阵\(B\)进行初等行变换：\(B=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\)第二行减去第一行，第三行减去第一行，得到：\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t1\end{pmatrix}\)第三行减去第二行的\(2\)倍，得到：\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t5\end{pmatrix}\)3.当\(t5=0\)，即\(t=5\)时，方程组有非零解，此时向量组线性相关。4.继续求解方程组：由\(\begin{cases}k_1+k_2+k_3=0\\k_2+2k_3=0\\0=0\end{cases}\)由\(k_2+2k_3=0\)可得\(k_2=2k_3\)，代入\(k_1+k_2+k_3=0\)，得\(k_1=k_3\)。令\(k_3=c\)（\(c\)为任意非零常数），则\(k_1=c\)，\(k_2=2c\)，所以线性组合系数为\(k_1=c\)，\(k_2=2c\)，\(k_3=c\)（\(c\neq0\)）。

（四）判断二次型的正定性

1.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2x_2x_3\)的矩阵形式为：\(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)2.计算矩阵\(A\)的各阶顺序主子式：一阶顺序主子式\(a_{11}=2\gt0\)。二阶顺序主子式\(\begin{vmatrix}2&0\\0&3\end{vmatrix}=6\gt0\)。三阶顺序主子式\(\begin{vmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&1&3\end{vmatrix}=2\times\begin{vmatrix}3&1\\1&3\end{vmatrix}=2\times(91)=16\gt0\)。3.因为矩阵\(A\)的各阶顺序主子式都大于\(0\)，所以二次型\(f(x_1,x_2,x_3)\)是正定的。

三、作业总结

本次工程数学第四次作业主要涉及矩阵的秩、线性方程组的求解、向量组的线性相关性以及二次型的正定性等知识点。

通过对矩阵\(A\)进行初等行变换求秩，我们清晰地看到矩阵秩的计算方法以及与矩阵满秩的关系。对于线性方程组，通过增广矩阵的初等行变换，判断方程组是否有解，这一过程加深了对线性方程组解的结构的理解。

在向量组线性相关性的判断中，通过构建方程组并求解，明确了向量组线性相关的条件以及如何求线性组合系数。

最后，对于二次型正定性的判断，通过计算矩阵的顺序主子式，掌握了判断二次型正定的有效方法。

这些知识点相互关