最短路径问题教学设计

最短路径问题教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能理解并掌握最短路径问题的原理，包括两点之间线段最短、垂线段最短等基本事实。学会利用轴对称变换等方法将复杂的最短路径问题转化为基本的几何模型来求解。能够准确地作出最短路径问题中的图形，并清晰地表达解题思路和过程。2.过程与方法目标通过观察、分析、操作、实践等活动，培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和动手实践能力。经历最短路径问题的探究过程，体会转化的数学思想方法，提高学生解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标激发学生对数学的学习兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。通过合作交流，让学生体验成功的喜悦，增强学生的团队合作意识。

二、教学重难点1.教学重点掌握最短路径问题的基本原理和常见模型。学会运用轴对称等方法将问题进行转化，构建出可求解的几何图形。2.教学难点如何引导学生发现并理解最短路径问题的本质，从而准确地进行问题转化。灵活运用所学知识解决各种复杂多变的最短路径实际问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解最短路径问题的基本概念、原理和方法，使学生系统地掌握知识。2.直观演示法：通过图形、动画等直观手段展示最短路径问题的求解过程，帮助学生理解抽象的几何概念和复杂的解题思路。3.探究法：设置问题情境，引导学生自主探究最短路径问题的解决方法，培养学生的探究能力和创新思维。4.小组合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示生活中最短路径问题的实例图片，如：小狗从A点跑到B点，怎样跑路径最短？从河边取水到村庄，怎样选择取水点使路径最短？2.提问学生：在这些问题中，我们如何找到最短路径呢？引发学生思考，从而引出本节课的主题最短路径问题。

（二）知识讲解（15分钟）1.回顾两点之间线段最短的基本事实让学生在纸上画出两点A、B，然后思考连接A、B的所有线中，哪种线最短？学生回答后，教师明确两点之间线段最短这一基本事实。2.介绍垂线段最短的性质展示直线l和直线外一点P，过点P作直线l的垂线，垂足为Q。引导学生观察比较点P到直线l上其他各点的连线，得出垂线段PQ最短的性质。3.讲解轴对称变换的概念和性质通过动画演示，展示一个图形关于某条直线对称的过程，让学生直观理解轴对称变换。强调轴对称变换的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。

（三）探究最短路径问题（20分钟）1.将军饮马问题提出问题：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？引导学生分析问题，将实际问题转化为数学模型：已知直线l和直线l同侧的两点A、B，在直线l上找一点C，使AC+BC最短。让学生自主尝试在纸上画出图形，思考解决办法。教师巡视，观察学生的思考过程，并适时给予指导。组织学生小组讨论，交流各自的想法。教师参与部分小组的讨论，倾听学生的思路，鼓励学生大胆发表见解。请小组代表发言，分享小组讨论的结果。可能有学生提出通过测量不同位置点C对应的AC+BC的长度来找到最短路径，但这种方法不够精确。此时，教师引导学生利用轴对称变换来解决问题。教师在黑板上进行详细的讲解和演示：作点B关于直线l的对称点B′。连接AB′，与直线l相交于点C。证明AC+BC=AC+B′C=AB′最短。证明如下：在直线l上任取一点C′（与C不重合），连接AC′、BC′、B′C′。因为点B和点B′关于直线l对称，所以BC=B′C，BC′=B′C′。那么AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′。在△AB′C′中，根据三角形两边之和大于第三边，可得AC′+B′C′＞AB′，即AC′+BC′＞AC+BC。所以点C就是所求的使路径最短的点。2.拓展延伸改变问题的条件，如：已知∠MON内有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使△ABC的周长最短。引导学生思考如何利用轴对称变换将问题转化为类似将军饮马问题的模型。让学生尝试自己画图并解决问题，然后小组内交流讨论，互相检查和补充。请学生上台展示自己的解题过程，并讲解思路。教师进行点评和总结，强调解决此类问题的关键是通过轴对称变换将折线转化为直线段，利用两点之间线段最短的原理求解。

（四）课堂练习（15分钟）1.基础练习在一条笔直的公路l同侧有两个村庄A、B，现要在公路上建一个供水站P，使PA+PB最短。请在图中画出供水站P的位置，并说明理由。学生独立完成后，教师进行巡视，检查学生的解题情况，对有困难的学生进行个别指导。请一名学生上台展示解题过程，教师进行点评，规范解题格式。2.提高练习如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=10，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值。先让学生独立思考，尝试运用所学知识解决问题。如果学生遇到困难，教师可提示学生利用轴对称变换将问题转化为将军饮马问题。小组内交流讨论解题思路，共同完成解题过程。教师巡视各小组，了解学生的讨论情况，及时给予指导和帮助。请小组代表发言，分享小组的解题成果。教师对学生的表现进行评价，肯定优点，指出存在的问题和不足。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称变换的概念和性质，以及最短路径问题的常见模型和解决方法。2.请学生谈谈自己在本节课中的收获和体会，以及遇到的困难和解决方法。教师对学生的发言进行总结和补充，强调最短路径问题中转化思想的重要性，鼓励学生在今后的学习中善于运用所学知识解决实际问题。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业必做题：课本习题中与最短路径问题相关的题目，要求学生认真书写解题过程，规范格式。选做题：已知A、B两点在直线l的同侧，试在直线l上找两点C、D（CD为定长），使得AC+CD+DB最短。请画出图形，并说明理由。2.实践作业测量学校操场两端A、B两点之间的最短距离，并说明测量方法和依据。让学生通过实际操作，进一步巩固所学的最短路径知识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对最短路径问题有了较为系统的认识和理解，掌握了利用轴对称变换解决最短路径问题的方法和技巧。在教学过程中，通过实例导入、问题探究、小组合作等多种教学方法，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的探究能力和团队合作精神。同时，注重引导学生运用转化的数学思想方法解决问题，提高了学生的数学思维能力。然而，