平面向量的内积教案

平面向量的内积教案一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量内积的概念，掌握内积的定义、几何意义及坐标表示。能够运用平面向量内积公式进行向量数量积的运算，包括已知向量坐标求内积，已知内积和部分向量坐标求另一向量坐标等。理解向量垂直的充要条件，并能运用该条件解决相关问题。2.过程与方法目标通过对物理中"功"等实例的分析，引导学生从实际问题中抽象出平面向量内积的概念，培养学生的抽象概括能力。在推导平面向量内积的坐标表示过程中，让学生体会向量运算的代数化方法，培养学生的逻辑推理能力和运算求解能力。通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力，培养学生的数学应用意识。3.情感态度与价值观目标通过向量内积概念的引入，让学生感受数学与物理等学科的紧密联系，体会数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。在教学过程中，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神，让学生在解决问题的过程中获得成功的体验，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点平面向量内积的概念、几何意义及坐标表示。平面向量内积的运算及向量垂直的充要条件。2.教学难点对平面向量内积概念的理解，尤其是内积的几何意义。运用向量垂直的充要条件解决相关问题，以及向量内积运算在综合问题中的应用。

三、教学方法1.讲授法：通过讲解，向学生传授平面向量内积的基本概念、定义、性质及运算方法等知识，使学生对新知识有初步的认识。2.讨论法：组织学生对一些问题进行讨论，如向量内积的几何意义、向量垂直的充要条件等，鼓励学生积极思考、发表自己的观点，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：安排适量的课堂练习和课后作业，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力，及时反馈学生对知识的掌握情况。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾提问学生向量的加法、减法和数乘运算的定义及几何意义，让学生回忆相关知识，为学习向量的内积做好铺垫。例如：已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，如何求\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)，\(k\overrightarrow{a}\)（\(k\)为实数）？2.引入新课展示一个物体在力\(\overrightarrow{F}\)的作用下发生位移\(\overrightarrow{s}\)的物理情境（如水平地面上一个物体在水平拉力作用下移动一段距离）。提问：力对物体所做的功\(W\)与哪些因素有关？如何计算？引导学生回答：功\(W\)等于力\(\overrightarrow{F}\)与位移\(\overrightarrow{s}\)的大小以及它们夹角\(\theta\)的余弦值的乘积，即\(W=|\overrightarrow{F}||\overrightarrow{s}|\cos\theta\)。指出在数学中，我们把这种向量与向量的运算抽象为平面向量的内积，从而引出本节课的课题平面向量的内积。

（二）讲解新课（25分钟）1.平面向量内积的概念已知两个非零向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)，它们的夹角为\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\pi\)），我们把数量\(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)叫做\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的数量积（或内积），记作\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)，即\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)。强调：两个向量的内积是一个数量，而不是向量。规定：零向量与任一向量的数量积为\(0\)，即\(\overrightarrow{0}\cdot\overrightarrow{a}=0\)。2.平面向量内积的几何意义引导学生思考\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)中各项的几何意义。分析：\(|\overrightarrow{a}|\cos\theta\)叫做向量\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影，\(|\overrightarrow{b}|\cos\theta\)叫做向量\(\overrightarrow{b}\)在\(\overrightarrow{a}\)方向上的投影。所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)的几何意义是：数量积\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)等于\(\overrightarrow{a}\)的长度\(|\overrightarrow{a}|\)与\(\overrightarrow{b}\)在\(\overrightarrow{a}\)方向上的投影\(|\overrightarrow{b}|\cos\theta\)的乘积，或等于\(\overrightarrow{b}\)的长度\(|\overrightarrow{b}|\)与\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影\(|\overrightarrow{a}|\cos\theta\)的乘积。通过图形（如在黑板上画出两个向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)及其夹角\(\theta\)，并作出向量在对方方向上的投影）进一步直观地展示内积的几何意义。3.平面向量内积的性质设\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)为两个非零向量，\(\theta\)为它们的夹角。（1）\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)。证明：若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，则\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，\(\cos\theta=0\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta=0\)；反之，若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，因为\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)为非零向量，所以\(\cos\theta=0\)，则\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，即\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)。（2）当\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)同向时，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)；当\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)反向时，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)。特别地，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\)，即\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}\)。证明：当\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)同向时，\(\theta=0\)，\(\cos\theta=1\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)；当\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)反向时，\(\theta=\pi\)，\(\cos\theta=1\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)。（3）\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|\leq|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)。证明：因为\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta|\)，而\(|\cos\theta|\leq1\)，所以\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|\leq|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)。4.平面向量内积的运算律（1）\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)（交换律）。证明：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|\cos\theta\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)。（2）\((\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow{b})\)（结合律）。证明：\((\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=|\lambda\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta=|\lambda||\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，\(\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=\lambda|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，\(\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}||\lambda\overrightarrow{b}|\cos\theta=|\lambda||\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，所以\((\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow{b})\)。（3）\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)（分配律）。证明：设\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，\(\overrightarrow{c}=(x_3,y_3)\)。先计算\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}\)：\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)，则\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=(x_1+x_2)x_3+(y_1+y_2)y_3=x_1x_3+x_2x_3+y_1y_3+y_2y_3\)。再计算\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=x_1x_3+y_1y_3\)，\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=x_2x_3+y_2y_3\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=x_1x_3+y_1y_3+x_2x_3+y_2y_3\)。因此\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)。5.平面向量内积的坐标表示已知\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。推导过程：设\(\overrightarrow{i}\)，\(\overrightarrow{j}\)是与\(x\)轴、\(y\)轴同向的两个单位向量，则\(\overrightarrow{a}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}\)，\(\overrightarrow{b}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}\)。所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j})\cdot(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j})=x_1x_2\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{i}+x_1y_2\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}+x_2y_1\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{i}+y_1y_2\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{j}\)。因为\(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{i}=1\)，\(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{j}=1\)，\(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}=0\)，\(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{i}=0\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。强调：利用向量内积的坐标表示，可以方便地计算向量的内积，也可以根据内积求向量的坐标等。

（三）例题讲解（20分钟）1.已知向量坐标求内积例1：已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(4,2)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)。解：根据向量内积的坐标表示\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)，可得\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times(4)+(3)\times2=86=14\)。总结：直接代入向量坐标，利用公式计算内积。2.已知内积和部分向量坐标求另一向量坐标例2：已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=10\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=5\)，求向量\(\overrightarrow{b}\)的坐标。解：设\(\overrightarrow{b}=(x,y)\)。由\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=10\)可得\(x+2y=10\)①。又\(\vert\overrightarrow{b}\vert=5\)，根据\(\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{x^2+y^2}=5\)，即\(x^2+y^2=25\)②。由①得\(x=102y\)，代入②得\((102y)^2+y^2=25\)。展开得\(10040y+4y^2+y^2=25\)，即\(5y^240y+75=0\)。化简为\(y^28y+15=0\)，因式分解得\((y3)(y5)=0\)，解得