一次函数的应用教学设计

一次函数的应用教学设计一、教学目标1.知识与技能目标能够通过实际问题情境建立一次函数模型，并运用一次函数的性质解决实际问题。学会分析实际问题中的数量关系，确定自变量和因变量，以及它们之间的函数表达式。能根据一次函数的图象和性质，对实际问题进行分析、预测和决策。2.过程与方法目标通过对实际问题的探究，经历建立函数模型的过程，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力。体会函数思想在解决实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。让学生在合作交流中，学会与他人合作，培养团队精神。3.情感态度与价值观目标感受数学与生活的紧密联系，体会数学在实际生活中的广泛应用价值，激发学生学习数学的兴趣。通过解决实际问题，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点建立一次函数模型解决实际问题。分析实际问题中的数量关系，确定函数表达式，并根据函数性质进行决策。2.教学难点如何引导学生从实际问题中抽象出数学模型，理解实际问题中变量之间的函数关系。对实际问题进行全面、深入的分析，根据不同的条件和要求，合理运用一次函数的性质进行决策。

三、教学方法1.讲授法：讲解一次函数应用的基本概念、方法和步骤，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生对实际问题进行讨论，鼓励学生积极思考，发表自己的见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.探究法：引导学生通过自主探究、小组合作等方式，探索解决实际问题的方法，培养学生的探究精神和创新能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）通过播放一段关于出租车计费的视频，引出本节课的主题一次函数的应用。视频内容如下：

一位乘客乘坐出租车出行，他发现出租车的计费方式分为两种：一种是起步价为8元（3公里以内），超过3公里后，每公里加收1.8元；另一种是每公里收费2.2元，但没有起步价。

问题：如果你是这位乘客，在什么情况下选择第一种计费方式更划算？在什么情况下选择第二种计费方式更划算？

让学生思考并尝试回答，从而激发学生的学习兴趣，导入新课。

（二）知识讲解（15分钟）1.一次函数的应用步骤分析实际问题：仔细审题，明确问题中的已知条件和未知量，找出问题中的数量关系。确定函数模型：设出自变量和因变量，根据数量关系建立一次函数表达式。求解函数模型：根据已知条件，求出函数表达式中的系数，确定函数模型。应用函数模型：利用一次函数的性质，对实际问题进行分析、预测和决策。检验结果：将求解结果代入实际问题中进行检验，看是否符合实际情况。2.例题讲解例1：某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师。甲、乙两种客车的载客量和租金如下表所示：

|客车类型|载客量（人/辆）|租金（元/辆）||||||甲种客车|45|400||乙种客车|30|280|

（1）共需租多少辆客车？（2）给出最节省费用的租车方案。

分析：对于问题（1），因为师生总数为240人，且每辆客车上至少要有1名教师，所以客车总数不能少于7辆。设租用甲种客车\(x\)辆，则租用乙种客车\((7x)\)辆，可根据载客量列出不等式求解。对于问题（2），设租车费用为\(y\)元，根据甲、乙两种客车的租金和租用数量，可列出函数表达式\(y=400x+280(7x)\)，化简后得到\(y=120x+1960\)。然后根据一次函数的性质，结合\(x\)的取值范围，求出\(y\)的最小值，从而得到最节省费用的租车方案。

解：（1）设租用甲种客车\(x\)辆，则租用乙种客车\((7x)\)辆。根据题意，得\(45x+30(7x)\geq240\)，\(45x+21030x\geq240\)，\(15x\geq30\)，\(x\geq2\)。因为\(x\)为正整数，所以\(x\)的最小值为2。所以共需租\(7\)辆客车。

（2）设租车费用为\(y\)元，则\(y=400x+280(7x)\)，\(y=400x+1960280x\)，\(y=120x+1960\)。因为\(120>0\)，所以\(y\)随\(x\)的增大而增大。又因为\(2\leqx\leq7\)，且\(x\)为正整数，所以当\(x=2\)时，\(y\)有最小值。此时\(7x=72=5\)。即租用甲种客车2辆，乙种客车5辆时，租车费用最节省，最节省费用为\(y=120×2+1960=240+1960=2200\)元。

通过例1的讲解，让学生初步掌握一次函数在实际问题中的应用方法，明确解题步骤和思路。

（三）课堂练习（15分钟）1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元。设商场投入资金\(x\)元，请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多？2.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的。该市自来水收费价格见价目表。

|每月用水量|单价|||||不超过6m³的部分|2元/m³||超过6m³不超过10m³的部分|4元/m³||超过10m³的部分|8元/m³|

若某户居民3月份用水\(8m³\)，则应收水费\(2×6+4×(86)=20\)元。（1）若该户居民4月份用水\(12.5m³\)，则应收水费多少元？（2）若该户居民5月份用水\(xm³\)（\(x>10\)），请用含\(x\)的代数式表示应收水费。（3）若该户居民6月份交水费48元，则该户居民6月份用水多少立方米？

学生在练习本上独立完成，教师巡视指导，及时纠正学生出现的问题。完成后，挑选部分学生上台展示解题过程，教师进行点评和总结，强化学生对一次函数应用的理解和掌握。

（四）小组讨论（10分钟）将学生分成小组，讨论以下问题：

在我们的生活中，还有哪些实际问题可以用一次函数来解决？请举例说明，并尝试分析其中的数量关系，建立函数模型。

每个小组推选一名代表发言，分享小组讨论的结果。通过小组讨论，拓宽学生的思维，让学生感受到一次函数在生活中的广泛应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

（五）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾本节课所学内容，包括一次函数的应用步骤、解题方法和思路等。2.教师对本节课的重点知识进行梳理和总结，强调在解决实际问题时，要注意分析数量关系，准确建立函数模型，并合理运用函数的性质进行决策。同时，鼓励学生在课后继续关注生活中的数学问题，用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考问题，用数学的语言表达观点。

（六）布置作业（5分钟）1.必做题：课本第[X]页练习第[X]题，习题第[X]题。2.选做题：某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆。已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。（1）设从乙仓库调往A县农用车\(x\)辆，求总运费\(y\)关于\(x\)的函数表达式。（2）若要求总运费不超过900元，问共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？

通过作业布置，让学生进一步巩固所学知识，加深对一次函数应用的理解和掌握，同时满足不同层次学生的学习需求。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对一次函数的应用有了较为深入的理解和掌握，能够运用一次函数的知识解决一些实际问题。在教学过程中，采用了多种教学方法，如讲授法、讨论法、探究法等，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的合作交流能力和探究精神。

在导入新课时，通过播放出租车计费的视频，创设了生动的问题情境，引起了学生的兴趣，自然地导入了新课。在知识讲解环节，通过例题的详细讲解，让学生明确了一次函数应用的步骤和方法，为学生解决实际问题提供了思路。课堂练习的设计具有针对性和层次性，能够及时巩固学生所学知识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。小组讨论的环节，让学生积极参与，拓宽了学生的思维，培养了学生的团队合作精神。

然而，在教学过程中也发现了一些不足之处。例如，