函数单调性教案

函数单调性教案一、教学目标1.知识与技能目标理解函数单调性的概念，能根据函数图象判断函数的单调性。会用定义证明一些简单函数在给定区间上的单调性。能利用函数单调性求函数的最值、比较函数值大小等。2.过程与方法目标通过观察函数图象，抽象出函数单调性的概念，培养学生的抽象概括能力。在利用定义证明函数单调性的过程中，让学生体会逻辑推理的严密性，提高学生的推理论证能力。通过对函数单调性的研究，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的认知规律，培养学生的数学思维能力。3.情感态度与价值观目标通过主动探究、合作交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨。培养学生勇于探索、善于发现的创新意识，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学好数学的信心。

二、教学重难点1.教学重点函数单调性的概念和判断函数单调性的方法。用定义证明函数单调性的步骤。2.教学难点对函数单调性概念的理解，特别是"任意"二字的理解。用定义证明函数单调性时，如何对差式进行合理变形。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合，通过引导学生观察、分析、归纳、推理，让学生自主构建函数单调性的知识体系。

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课1.展示一些实际生活中的变化现象，如气温随时间的变化、股票价格随时间的变化等，引导学生观察这些变化过程中变量之间的关系。2.提出问题：在这些变化过程中，变量是如何变化的？有没有什么规律？3.引出函数单调性的概念，指出研究函数单调性对于了解函数的变化规律和解决实际问题具有重要意义。

（二）观察图象，形成概念1.给出几个具体函数的图象，如\(y=2x+1\)，\(y=x^2+2x\)，\(y=\frac{1}{x}\)等，让学生观察图象的上升或下降趋势。2.引导学生描述图象在哪些区间上是上升的，哪些区间上是下降的，并尝试用自己的语言概括出函数单调性的特征。3.教师总结并给出函数单调性的严格定义：一般地，设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)：如果对于定义域\(I\)内某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数；如果对于定义域\(I\)内某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)>f(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是减函数。强调定义中的关键词"任意"，让学生理解其重要性。

（三）深入理解，辨析概念1.引导学生思考：函数的单调性是与区间紧密相关的，一个函数在不同的区间上可能有不同的单调性，那么如何描述函数的单调区间呢？函数单调性的定义中，\(x_1\)，\(x_2\)是区间\(D\)上的任意两个自变量的值，那么如果只取特定的两个值比较大小，能否判断函数的单调性呢？2.通过具体例子进行辨析：例1：已知函数\(f(x)=x^2\)，判断\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上的单调性。解：设\(x_1\)，\(x_2\)是\((0,+\infty)\)上的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)。则\(f(x_1)f(x_2)=x_1^2x_2^2=(x_1x_2)(x_1+x_2)\)。因为\(0<x_1<x_2\)，所以\(x_1x_2<0\)，\(x_1+x_2>0\)，那么\(f(x_1)f(x_2)=(x_1x_2)(x_1+x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。所以函数\(f(x)=x^2\)在\((0,+\infty)\)上是增函数。例2：已知函数\(f(x)=x^2\)，判断\(f(x)\)在\((\infty,0)\)上的单调性。解：设\(x_1\)，\(x_2\)是\((\infty,0)\)上的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)。则\(f(x_1)f(x_2)=x_1^2x_2^2=(x_1x_2)(x_1+x_2)\)。因为\(x_1<x_2<0\)，所以\(x_1x_2<0\)，\(x_1+x_2<0\)，那么\(f(x_1)f(x_2)=(x_1x_2)(x_1+x_2)>0\)，即\(f(x_1)>f(x_2)\)。所以函数\(f(x)=x^2\)在\((\infty,0)\)上是减函数。例3：已知函数\(f(x)=x^2\)，\(f(2)=4\)，\(f(1)=1\)，因为\(f(2)>f(1)\)，能否说\(f(x)\)在\(R\)上是减函数？通过这个例子让学生明白不能仅根据两个特殊值来判断函数的单调性，必须依据定义中"任意"两个自变量的值来判断。

（四）应用举例，巩固概念1.根据图象判断单调性例4：根据函数\(y=f(x)\)的图象（如图所示），写出函数的单调区间，并指出在每个单调区间上函数是增函数还是减函数。解：函数\(y=f(x)\)的单调区间有\([3,1)\)，\([1,1)\)，\([1,3]\)。在区间\([3,1)\)上，函数是减函数；在区间\([1,1)\)上，函数是增函数；在区间\([1,3]\)上，函数是减函数。2.用定义证明单调性例5：证明函数\(f(x)=3x+2\)在\(R\)上是增函数。解：设\(x_1\)，\(x_2\)是\(R\)上的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)。则\(f(x_1)f(x_2)=(3x_1+2)(3x_2+2)=3(x_1x_2)\)。因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_1x_2<0\)，那么\(3(x_1x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。所以函数\(f(x)=3x+2\)在\(R\)上是增函数。例6：证明函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是减函数。解：设\(x_1\)，\(x_2\)是\((0,+\infty)\)上的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)。则\(f(x_1)f(x_2)=\frac{1}{x_1}\frac{1}{x_2}=\frac{x_2x_1}{x_1x_2}\)。因为\(0<x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，\(x_1x_2>0\)，那么\(\frac{x_2x_1}{x_1x_2}>0\)，即\(f(x_1)>f(x_2)\)。所以函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是减函数。在证明过程中，引导学生总结用定义证明函数单调性的步骤：取值：设\(x_1\)，\(x_2\)是给定区间上的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)。作差：计算\(f(x_1)f(x_2)\)。变形：对\(f(x_1)f(x_2)\)进行合理变形，通常是因式分解、配方等，以便判断其正负。定号：根据\(x_1\)，\(x_2\)的取值范围，确定\(f(x_1)f(x_2)\)的正负。下结论：根据定义得出函数在给定区间上的单调性。3.利用单调性求最值、比较大小例7：已知函数\(f(x)\)在\([2,6]\)上是增函数，且\(f(2)=1\)，\(f(6)=5\)，求函数\(f(x)\)在\([2,6]\)上的最大值和最小值。解：因为函数\(f(x)\)在\([2,6]\)上是增函数，所以当\(x=2\)时，\(f(x)\)取得最小值\(f(2)=1\)；当\(x=6\)时，\(f(x)\)取得最大值\(f(6)=5\)。例8：已知函数\(f(x)\)在\((\infty,+\infty)\)上是增函数，\(a\)，\(b\inR\)，且\(a+b>0\)，比较\(f(a)+f(b)\)与\(f(a)+f(b)\)的大小。解：因为\(a+b>0\)，所以\(a>b\)，\(b>a\)。又因为函数\(f(x)\)在\((\infty,+\infty)\)上是增函数，所以\(f(a)>f(b)\)，\(f(b)>f(a)\)。两式相加得\(f(a)+f(b)>f(a)+f(b)\)。

（五）课堂小结1.引导学生回顾函数单调性的定义、判断方法、证明步骤以及应用。2.强调定义中"任意"二字的重要性，以及用定义证明函数单调性时的关键步骤作差变形。3.总结函数单调性在数学和实际生活中的应用，鼓励学生在今后的学习和生活中继续关注函数单调性的相关问题。

（六）布置作业1.书面作业教材课后练习题第1、2、3题。已知函数\(f(x)=x^22x+3\)，判断函数\(f(x)\)在\((\infty,1)\)上的单调性，并证明你的结论。2.拓展作业查阅资料，了解函数单调性在其他学科或实际生活中的应用，并撰写一篇简短的报告。思考：若函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数，\(g(x)\)在区间\(D\)上也是增函数，那么函数\(F(x)=f(x)+g(x)\)在区间\(D\)上的单调性如何？并尝试证明你的结论。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对函数单调性的概念有了较为深入的理解，掌握了判断函数单调性的方法和用定义证明函数单调性的步