专题15 三角形-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

PAGE1专题15三角形课标要求考点考向1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。3.证明三角形的任意两边之和大于第三边。4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。5.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。6.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。7.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。8.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。9.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。10.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。11.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。12.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。13.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。14.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。15.了解三角形重心的概念。三角形考向一与三角形有关的线段考向二勾股定理考向三三角形全等的判定考向四三角形全等的判定与性质考向五三角形的综合应用考点三角形►考向一与三角形有关的线段1.（2024•德州）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解．【详解】解：∵，，∴∵是中线，∴故选：B►考向二勾股定理易错易混注意必须在直角三角形中才能用勾股定理;2、注意在直角三角形中，明确已知的两边是直角边还是斜边，比如已知两边为3,4，则第三边不一定是5.1.（2024•青岛）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则．【答案】【难度】0.65【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．【详解】解：∵四边形为菱形，∴，，∵，∴，∴．∵，∴，∴（负值已舍去），∴，∴，∴，∴，CO＝3（舍去）．∵AE⊥BC，，∴．故答案为：．2.（2024•泰安）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点处，折痕为，点D落在点处，交AD于点E．若，，，则．【答案】3【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可．【详解】解：在中，，由折叠可得，，又∵是矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，，∴，，设，则，在中，，即，解得：，故答案为．►考向三三角形全等的判定1.（2024•德州）如图，C是的中点，，请添加一个条件，使．【答案】或【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键．要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．【详解】解：∵C是的中点，∴，∵，∴添加或，可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）．故答案为：或．2.（2024•东营）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（

）

A．为矩形两条对角线的交点 B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．由矩形的性质得出，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，，A、∵O为矩形两条对角线的交点，∴，在和中，，∴，故此选项不符合题意；B、在和中，，∴，故此选项不符合题意；C、∵，∴，即，在和中，，∴，故此选项不符合题意；D、∵，∴，两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定，故此选项符合题意；故选：D．3.（2024•潍坊）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接．求证：(1)；【答案】(1)证明见解析；【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明；【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，由折叠可得，，，，，∴，，∴，在和中，，∴；►考向四三角形全等的判定与性质1.（2024•济南）如图，已知，则的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答．【详解】解：∵在中，，∴，∵，∴．故选C．2.（2024•济南）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．求证：．【答案】证明见解析．【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，由菱形的性质得出，用证明，由全等三角形的性质可得出，由线段的和差关系即可得出．【详解】证明：四边形是菱形3.（2024•济宁）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．(1)若，求的长；【答案】(1)【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案；【详解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴；4.（2024•泰安）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．(1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：．【答案】(1)见解析(2)①；②见解析【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明；（2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论；②根据得到即可得到结论．【详解】（1）证明：在和中，，，，，，．是斜边的中点，，，，．，，．；（2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，，，，，，，，，．，．在和中，，，，，．是中点，是中点，是中位线，．，，．，．故答案为：；②证明：∵，，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．5.（2024•泰安）感悟如图1，在中，点，在边上，，．求证：．应用【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：证明，即可求得；【详解】感悟：∵，∴．在和中∴．∴．6.（2024•泰安）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒．(1)求证：；【答案】(1)证明见解析；【分析】（）设与相交于点，证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证；【详解】（1）证明：设与相交于点，∵四边形为菱形，∴，，，∵∴，在和中，，∴，∴，，∵，又∵，∴，∴，∴；7.（2024•淄博）如图，已知，点，在线段上，且．请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．添加条件后，请证明．【答案】①（或②）【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可．【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），证明：当选取①时，在与中，，，，，，，在与中，，，，；证明：当选取②时，在与中，，，，，，，在与中，，，，；故答案为：①（或②）►考向五三角形的综合应用1.（2024•济南）如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则．【答案】/【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答．【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H，∵矩形中，为边的中点，，∴，，∵将沿翻折，点的对应点为，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴为直角三角形，设，则，∴，∴，∴为等腰三角形，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．一、单选题1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，，，，，点在线段上，若，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直角三角形的两个锐角互余和平角的定义可得，进而可证得，于是可得，根据勾股定理可求得，然后利用三角形的面积公式即可得出答案．【详解】解：，，又，，在和中，，，，，，的面积，故选：．【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键．2．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边上的高是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设、为方程的两个根，利用根与系数的关系得，，再利用勾股定理得到斜边长为，利用完全平方公式变形得到斜边，然后利用整体代入的方法计算求得斜边，最后根据三角形面积公式即可解答．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，勾股定理，完全平方公式，熟练运用一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为、，斜边上的高为，∵一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，∴，，∴直角三角形斜边长为，∴，，∴，解得：，这个直角三角形的斜边上的高是，故选：．3．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在中，，如果过某一顶点的直线可以将分割成两个等腰三角形，求的大小．某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①，②，③，④，你认为其中正确的结果有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】①当时，则，作的平分线交于点，从而得，，据此可判定和均为等腰三角形，进而可对①进行判断；②当时，则，作的平分线交于点，从而得，据此可判定和均为等腰三角形，进而可对②进行判断；③当时，则，作的垂直平分线角于点，连接，则为等腰三角形，，进而得，，由此可判定为等腰三角形，进而可对③进行判断；④当时，则，作的垂直平分线交于点，连接，则为等腰三角形，从而得，，，由此可判定为等腰三角形，进而可对④进行判断，综上所述可得出答案．【详解】解：在中，，，，①当时，则，作的平分线交于点，如图1所示：

，，，，和均为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故①正确；②当时，则，作的平分线交于点，如图2所示：

，，，和均为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故②正确；③当时，则，作的垂直平分线角于点，连接，如图3所示：

则，即为等腰三角形，，，，为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故③正确；④当时，则，作的垂直平分线交于点，连接，如图4所示：

则，即为等腰三角形，，，，，为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故④正确；综上所述：正确的结果是①②③④，共4个，故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线定义和垂直平分线性质等知识．理解题意，正确的构图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理进行角度计算是解决问题的关键．4．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，，分别是的高和角平分线，F是上一点，过点F垂直于的直线分别交，，及的延长线于点G，H，M，N．甲､乙､丙､丁四个同学根据以上信息分别写出了一个结论．甲同学的结论：；乙同学的结论：；丙同学的结论：；丁同学的结论：．其中结论正确的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，由题意可得，，，再结合即可判断甲；由，不是的角平分线即可判断乙；由三角形外角的定义及性质即可判断丙、丁，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵，分别是的高和角平分线，∴，，∵过点F垂直于的直线分别交，，及的延长线于点G，H，M，N．∴，∴，∵，∴，故甲错误；∵，不是的角平分线，∴，故乙错误；∵，，∴，∵，∴，故丙错误；∵，∴，故丁正确；故选：D．5．（21-22八年级上·山东德州·期末）如图，点A是x轴上一个定点，点B从原点O出发沿y轴的正方向移动，以线段为边在y轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点B的移动，下列说法错误的是（

）A． B．C．直线与x轴所夹的锐角恒为 D．随点B的移动，线段的值逐渐增大【答案】D【分析】根据等边三角形的性质，结合图形证明手拉手模型一旋转型全等，即可判断A，根据△BOA≌△BDC，可得∠BDC=∠BOA=90°，从而可得∠ODC=∠BDO+∠BDC=150°，即可判断B，延长CD交x轴于点E，根据∠ODC=150°利用平角定义可求出∠ODE=30°，然后再利用三角形的外角求出∠DEA=60°，即可判断C，根据△BOA≌△BDC，可得CD=OA，根据OA的值是定值，即可判断D【详解】A．∵△OBD和△ABC都是等边三角形∴∠ABC=∠OBD=∠ODB=∠BOD=60°，BO=BD，BC=AB∴∠ABC-∠DBA=∠OBD-∠DBA，∴∠CBD=∠ABO∴△BOA≌△BDC(SAS)，故A不符合题意；B．∵△BOA≌△BDC∴∠BDC=∠BOA=90°，∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+90°=150°故B不符合题意；C．延长CD交轴于点E，∵∠ODC=150°∴∠ODE=180°-∠ODC=30°，∵∠BOA=90°，∠BOD=60°，∴∠DOA=∠BOA-∠BOD=30°，∴∠DEA=∠DOA+∠ODE=60°；∴直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°，故C不符合题意；D．∵△BOA≌△BDC；∴CD=OA∵点A是轴上一个定点，∴OA的值是一个定值，∴随点B的移动，线段CD的值不变，故D符合题意；故选∶D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定，熟练掌握手拉手模型一旋转型全等是解题的关键二、填空题6．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，是正方形的边上一点，正方形的边长为8，连接，将沿着折叠，使得点落在正方形的内部点处，连接，则的最小值是．【答案】/【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，三角形三边的关系，勾股定理，先由正方形的性质得到，再由勾股定理得到，由折叠的性质可得，再根据，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是边长为8的正方形，∴，∴，由折叠的性质可得，∵，∴当K在线段上时，有最小值，最小值为，故答案为：．7．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点在上，，边上的中线与相交于点，延长至点，使得，连接，则的值是．【答案】【分析】本题考查三角形全等的判定与性质及三角形相似的判定与性质，先证明，得到，，从而得到，从而得到，即可得到答案；【详解】解：∵边上的中线与相交于点，∴，在与中∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：．8．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，，点在上，与相交于点D，且D既是的中点，又是的中点，与相交于点E．．下列结论：①点E是的中点；②是等边三角形；③；④点C与之间的距离是3．其中正确的结论是．（只填序号）【答案】①②③④【分析】设与相交于点O，连接，先证明是等边三角形，再根据等边三角形性质可证得点E是的中点，再由直角三角形判定证明，最后由30度的直角三角形的性质证明即可．【详解】解：如图，设与相交于点O，连接，，．，D既是的中点，又是的中点，，，，，，是等边三角形，故②正确，，，点E是的中点，故①正确，是等边三角形，，，，，，故③正确，，，，，故④正确，故答案为：①②③④【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质及三角形内角和定理，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）把和拼成如图所示的图案，其中点B，C，D在同一直线上，F是的中点．已知，则的长为．【答案】【分析】由勾股定理得，，再证明，得，进而证明，然后由勾股定理求出，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．【详解】解：，，，，，，，，，，，，，是的中点，，故答案为：．三、解答题10．（23-24七年级下·山东青岛·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，中，为边上的中线，请证明；(2)知识应用：如图2，D，E，F分别为，，的中点，若，则______；(3)如图3，点E是三等分点，D，F分别为，的中点，若，则的面积为_______；(4)拓展延伸：如图4，中，点P在的平分线上，，若的面积为m，则的面积为______．（用含m的式子表示出来）【答案】(1)证明见解析(2)1(3)4或2(4)【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的定义，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.（1）由中线的定义可得可得，则可得结论；（2）由中点的定义可得可得（3）由中点定义可得由三等份的定义可得或由面积的和差关系可求或，即可求解；（4）由“”可证可得即可求解.【详解】（1）∵为边上的中线,，∴；（2）点是的中点，，，∵点是AD的中点,，，∵点是的中点,，，故答案为：；（3）如图,连接,∵点是的中点,，∵点是AD三等分点，或，，或或,∵点是的中点,，或，故答案为：或；（4）如图，延长交于,∵点在的平分线上，，，，又∵，，，，，，故答案为：11．（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，．(1)求证：；(2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见详解(2)，理由见详解【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先根据邻补角的性质，得出，证明，结合，即可作答．（2）由角平分线的定义得出，再进行角的等量代换，得出，且，得出，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵是的平分线，∴，∵，∴，∵，且，∴，∴，∴∵∴∵，∴，∴在中，，∴．12．（24-25八年级上·山东济宁·期中）综合与实践【问题重现】人教版义务教育教科书数学八年级上册第17页第9题原文如下：“如图，．求x的值．”受这道题启发，某校八年级数学课外实践探究进行了一下探究，请你和他们一起完成吧．【问题变式】（1）如图1，D是的边延长线上一点，．求x的值；【继续探究】（2）如图2，E是四边形的边延长线上一点，．求x的值；【深度探究】（3）已知：E是四边形的边延长线上一点，与的平分线所在直线相交于点．设．请直接写出之间的数量关系．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，角平分线的定义；（1）根据题意得出，即可得出，根据三角形的外角的性质可得；（2）延长交于点，根据三角形内角和定理得出，同（1）可得；（3）同（2）方法，即可求解，注意分类讨论，射线交于点，射线的反向延长线交于点．【详解】（1）∵，∴∵D是的边延长线上一点，∴∴，即∵∴（2）解：如图，延长交于点，∵∴，∴，同（1）可得（3）当射线交于点，如图所示，延长交于点，依题意，∴，∴，同（1）可得当射线的反向延长线交于点，如图所示，延长交于点，∵∴同（1）可得13．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，的面积为2，为边上的中线，点是的等分点；点是的等分点；点是的等分点．其中、、为正整数，．(1)的面积为______；(2)求四边形的面积，并说明理由；(3)四边形的面积为______；(4)的面积为______．【答案】(1)2(2)7，理由见解析(3)36(4)【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质及等底同高可得结论；（2）证明，求出，即可得到四边形的面积为7；（3）利用相似的性质分别求出，，即可得到答案；（4）连接,证明，得到，同理，，根据，，，得到，，，由此求出答案即可．【详解】（1）解：连接，∵的面积为，为边上的中线，∴，∵点是的等分点，∴，∵点，，是线段的四等分点，∴，在和中，，∴，∴，∴的面积为，∴的面积为2，故答案为：2；（2）解：四边形的面积为7，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形的面积；（3）解：连接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，连接，∵，∴∵，∴∴四边形的面积为，故答案为36；（4）解：连接,∵点是的等分点；点是的等分点；点是的等分点．，∴,∵，∴，∴，∴，同理，，，∵，，，∴，，，∴，∴，故答案为：【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．14．（24-25八年级上·山东临沂·期中）已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：．方法1：（）已知，，那么________．（）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，．（）补全图形，并尝试写出证明过程．方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程．【答案】方法：（）；（）见解析；方法：见解析【分析】[方法]（）由，，求得，于是得到问题的答案；（）作，，垂足分别为，，则，由角平分线的性质得，再证明，即可根据“”证明得；[方法]在上截取，连接，再证明，而，，即可根据“”证明，得，，则，所以，即可证明；此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键.【详解】解：方法：（）∵，，∴，故答案为：；（）如图，（）证明：∵平分，，．∴，．∵，∴．又∵，∴在和中∴∴方法：在上截取，连接，∵平分，∴，在和中，∴，∴，，由（）得，∵，∴，∴，∴，∴．15．（24-25九年级上·山东济宁·期中）综合与实践【问题重现】义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下面是一道关于三角形的中线有关问题：如图1，是的中线，，，求的取值范围．问题解决思路：延长到，使得，连接，可证（相当于将绕点顺时针旋转得到，把，，变换到中，利用三角形的三边关系可得，所以．根据上面信息，解决下面问题．【问题变式】如图2，点，，分别在的边，，上，是边上的中点，，连接．（1）求证：；（2）当时，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；【问题拓展】（3）如图3，四边形中，，，，点，分别在四边形的边，上，且，连接．探索线段，，之间的数量关系并证明．

【答案】（1）详见解析（2），证明见解析（3），证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定即性质，勾股定理，三角形的三边关系，合理作出辅助线是解题的关键．（1）延长至，使，证出得到，再证出，得到，再根据三角形的三边关系求解即可；（2）根据全等的性质进行角的等量代换求出，再利用勾股定理求解即可；（3）延长至，使，证出得到，，通过角的等量代换得到，推出后即可求解．【详解】解：（1）证明：延长至，使，连接，，如图所示：∵是边上的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）猜想：，证明：由（1）可知，，又∵，∴，∴，即，在中，由勾股定理得，∵，，∴；（3）答：，证明：延长至，使，如图所示：∵，，∴，∵，∴在和中：∴，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，∴在和中，，∴．∴，∵，∴．16．（20-21七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．（1）如图1，在四边形中，，，连接．①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②，证明见解析；（2），证明见解析【分析】（1）①参考小明的想法，延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分；②沿用①中辅助线，延长到点，使得，连接，证得直角三角形，再利用勾股定理可求得，，之间的数量关系；（2）类比（1）中证明的思路，延长至，使得，连，证明、，再利用全等三角形的对应角