2025版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何解密高考5圆锥曲线问题巧在“设”难在“算”教案理

PAGE1-解密高考⑤圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算”————[思维导图]————————[技法指津]————圆锥曲线的设点、设元策略圆锥曲线问题在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应恰当地设点、设线，以简化运算，突出“设”的重要性．(1)巧设“点”，可采纳设而不求的方式解决弦长问题、中点弦问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等．(2)巧设“线”，如涉及直线的斜率问题可依据题设条件敏捷设直线方程为y＝kx＋b、x＝my＋n；对于分点问题可依据题设条件设直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα,y＝y0＋tsinα))(t为参数)．,母题示例：2024年全国卷Ⅰ，本小题满分12分已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求|AB|.本题考查：抛物线的定义、直线方程的求法、弦长公式、方程根与系数的关系等学问，学生的函数方程思想、转化化归等实力，数学运算、逻辑推理等核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到抛物线的焦半径，想到抛物线的定义，缺xA＋xB，补设直线l的方程，联立抛物线求解即可；(2)看到求|AB|想到弦长公式，缺yA＋yB的值，借助eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))补找该关系．[构建模板·五步解法]圆锥曲线类问题的求解策略第一步设点直线其次步联立消元第三步根与系数第四步公式求解第五步归纳反思设出直线的方程及相交两点的坐标.联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(留意二次项系数是否为零).应用根与系数的关系及判别式.结合中点坐标公式、弦长公式、斜率公式等求解题设涉及的位置关系和数量关系.反思条件转化过程的等价性与严密性.母题突破：2024年丹东二模，本小题满分12分经过坐标原点O的两条直线与椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)分别相交于点A、C和点B、D，其中直线AB经过E的左焦点(－1,0)，直线CD经过E的右焦点(1,0)．当直线AB不垂直于坐标轴时，AB与AD的斜率乘积为－eq\f(3,4).(1)求椭圆E的方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值．[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由对称性D(－x2，－y2)，直线AB与直线AD的斜率乘积为eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1)). 2分由eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，相减得eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝－eq\f(b2,a2). 3分所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)， 4分因为a2－b2＝1，所以a2＝4，b2＝3， 5分椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1. 6分(2)由题知CD不平行于x轴，设CD：x＝my＋1，与eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1联立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. 7分Δ＝144(m2＋1)＞0，y1，y2＝eq\f(－3m±6\r(m2＋1),3m2＋4). 8分由对称性知四边形ABCD是平行四边形，其面积S等于△OCD面积的4倍，于是S＝4S△OCD＝2|y1－y2|＝eq\f(24\r(m2＋1),3m2＋4)＝eq\f(24,3\r(m2＋1)＋\f