《备考指南一轮 数学 》课件-第11章 第1讲

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章课标考点考情简析计数原理常与古典概型综合考查；对二项式定理的考查主要是利用通项公式求特定项；对正态分布的考查，可能在选择、填空题中单独考查也可能在解答题中出现；以实际问题为背景，考查分布列、期望等是高考的热点题型2020年新课标Ⅱ文3(分类加法计数原理)2020年新课标Ⅲ理3(离散型随机变量的分布列与用样本估计总体的综合)2020年山东12(离散型随机变量的分布列及其应用)2020年新课标Ⅰ理19(互斥事件与相互独立事件的概率)2020年新课标Ⅲ文理18(用频率估计概率)第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点要求考情概览1.理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原理)(重点)．2．能正确区分“类”和“步”，并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题(难点)考向预测：从近三年高考情况来看，对两个计数原理很少独立命题．预测本年度高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识．试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型．学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．m＋n

2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．m×n

【特别提醒】1．分类加法计数原理的每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事．各类方法之间是互斥的、并列的、独立的．2．分步乘法计数原理的每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事．各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏．【常用结论】1．完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．1．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 (

)A．24种

B．30种

C．36种

D．48种【答案】D2．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有 (

)A．7种

B．8种

C．6种

D．9种【答案】A3．将3张不同的奥运会门票分给3人，每人1张，则不同分法的种数是 (

)A．4 B．5C．6 D．7【答案】C4．如图，一环形花坛分为A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种一种花，且相邻的两块地种不同的花，一共有________种不同的种法．【答案】84【解析】先种A地有4种，再种B地有3种，若C地跟A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；若C地跟A地种不同的花，则C地有2种，D地有2种．即不同种法种数N＝4×3×1×3＋4×3×2×2＝84.5．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是________．【答案】6【解析】从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法．故由分类加法计算原理得共有3＋3＝6(种)．6．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从第1,2,3层分别各取1本书，不同的取法数为________．【答案】120【解析】由分步乘法计数原理，从1,2,3分别各取1本书，不同的取法有4×5×6＝120(种)．用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．有时可能应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求解．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．

(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．

(

)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．

(

)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．

(

)(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)√

(5)√重难突破能力提升2

(1)甲、乙、丙三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有

(

)A．4种

B．6种

C．10种

D．16种(2)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．分类加法计数原理的应用【答案】(1)B

(2)13【解析】(1)分两类，甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法：甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲、甲→乙→丙→乙→甲．同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．(2)当a＝0时，b的值可以是－1,0,1,2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1,0,1,2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1,0,1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1,0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.【解题技巧】分类加法计数原理应用的注意点(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例第(2)题中易漏a＝0这一类．【变式精练】1．一个科技小组有3名男同学、5名女同学，从中任选一名同学参加学科比赛，共有不同的选派方法______种．【答案】8【解析】由分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．分步乘法计数原理的应用【答案】(1)A

(2)120【解析】(1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6种不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有6×2×1＝12种不同的排列方法．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种．【解题技巧】利用分步乘法计数原理的原则(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要明确准确．【变式精练】2．(1)某校2019年元旦晚会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为 (

)A．120 B．210C．336 D．504(2)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________(用数字作答)．【答案】(1)D

(2)10【解析】(1)分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法，故共有7×8×9＝504种不同的插法．(2)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法．由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10(个)．示通法利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．两个原理的综合应用【答案】260【解析】区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260(种)涂色方法．【答案】D【解析】第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个．【解析】当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．【解题技巧】1．在综合应用两个原理解决问题的注意点(1)一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成．【变式精练】3．(2020年衡水调研)用0,1，…，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 (

)A．243 B．252C．261 D．279【答案】B【解析】0,1，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900—648＝252(个).素养微专直击高考3易错警示类——两个计数原理的应用典例精析

(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 (

)A．24种

B．4种

C．43种

D．34种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4班，轮船有3班，则此人的走法可有________种．【答案】(1)C

(2)7【考查角度】计数原理的应用．【核心素养】逻辑推理、数学运算．【易错分析】解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理