以数的运算为例谈整体把握小学数学课程

以数的运算为例谈整体把握小学数学课程

数与运算在小学数学课程中占有重要的地位，培养学生基本的运

算技能一直是广大教师关注的问题。而且“双基”教学历来是我国数

学教育的一个传统优势，令世界上其他国家望尘莫及，这次新课改又

在双基基础上提出了“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、

基本活动经验）。那么如何把握运算在小学数学中的地位和作用呢？

一、计算教学在小学数学教学中所处的地位

1.从课程结构上看，计算教学是其它教学的基础。小学数学是从

识数和数的四则计算开始的。四则计算贯穿整个小学数学教学全过

程。常言道，基础不牢，地动山摇。如果四则计算不过关，一定不能

学好其它的数学知识，更谈不上创新能力的培养。

2.从历史沿革上看，以前小学数学叫算术。用算术来代表小学现

行数学教材，显然已经不全面。但传统的算术仍是贯穿小学数学的主

线。

3.从初中数学教学角度看，小学生计算能力是学习初中数学最重

要的基础。2009年全国小学数学教学研讨会的主题就是研究小学数

学教学如何与初中数学教学衔接的问题。与会的专家和学者都强调小

学生的计算能力的培养非常重要。如果我们和初中的数学教师交流，

他们也会异口同声地说，小学生的计算能力对学习初中的数学最重

要。

二、要重视计算方法的探索及算理的理解

我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容，重视培

养学生的运算能力，并且取得很多优秀的成绩和宝贵的经验。但长期

以来，一些人对运算能力的理解并不全面，将其仅仅等同于运算技能

（即算得又对又快），并且由于考试等原因对运算难度和速度的要求

越来越高。在信息技术如此发达的今天，是否还需要学生计算那样难

的题目，并且算得那样快？当然，基本的运算技能是必需的，但“基

本”的标准是什么？学生是否应将精力放在其他有价值的内容上？还

有哪些有价值的内容？

实际上，数的运算和运用运算解决问题是具有天然联系的，因此

《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）将其整

合在一起。于是，数的运算就包括如下几条主线：第一，数的运算的

意义及四则运算之间的关系；第二，获得运算的结果（包括估算、精

确计算）；第三，运算律及运算性质；第四，运用运算解决实际问题。

今天我们将集中讨论“获得运算的结果”中有关精确计算的内容。进一

步，精确计算的学习又可以细分为四条线索：第一，计算方法的探索

及算理的理解；第二，计算法则的形成与内化；第三，计算法则的熟

练；第四，使用计算器进行计算。

曾经有一些教师有这样的想法，对于计算教学，只要让学生把法

则背诵下来，反复练习就可以达到又对又快，似乎没有必要花时间去

讨论这些法则背后的道理（即算理）。那么，算理是否重要？什么是

算理？学生想法中所呈现的算理又是什么呢？我们在教材和教学中

如何帮助学生理解算理呢？学生的教学能力先天性地存在差异这是

不争的事实。但不能否认每个学生都有学习数学的能力。不同的人，

接受同一数学才既念，接受的方式可能不同。教师的责任就是找到不同

的学生接受数学概念的不同的方式。我们数学教师的任务就是要激发

每一个学生的数学潜能。下要保底，上不封顶。专家在制定课程标准

时，就考虑到了绝大多数学生能达到最基本的要求。我们要真正做到

用教材教，而不是教教材。要透彻理解课程标准，不要迷信教材和教

参。做到结合自己的教学经验创造性地使用教材，针对不同的人，提

出不同的要求，采用不同的方法。

L重视算理的教学

这里首先需要明确的是算理、法则的内涵以及二者的关系。算理

是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构

成的；运算法则是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行

的，而法则又要满足一定的道理。所以，算理为法则提供了理论依据,

法则又使算理可操作化。

由此不难看出，教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法

则背后的道理。不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明

白为什么要这样计算，使学生不仅知其然，而且还知其所以然，在理

解算理的基础上掌握运算法则。

为了进一步说明重视算理教学的重要性，这里不妨举一个例子。

这是对三年级学生的一次测试中设计了如下两道题目：

题目1：计算42x25o（目的是考查三年级学

生是否掌握了两位数乘两位数的法则）。

34

题目2：如图1,在34xl2的竖式中，xi2

68

箭头所指的这一步表示的是（）。瞽F

A.10个34的和B.12个34的和图i

C.1个34的和D.2个34的和

（本题考查的是三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中每

一步的含义）

设计题目2是源于调查者与学生的一次谈话。在与一名三年级学

生讨论如何计算两位数乘两位数的题目时，他很快利用竖式给出正确

结果。调查者进一步追问竖式的“第二层”（即题目中箭头所指的这

一步）是怎么得到的，他快速地回答道：“是老师告诉的，用1乘34,

乘完向左移一位，我也不知道为什么。”这次简短的谈话引起了我们

的深思：到底有多少学生真正理解了法则，而不仅仅是机械套用？

在2009年所作的全国常模抽样测试中随机抽取了1664份样本，

学生在题目1和题目2上的得分率分别是70.10%和43.09%,二者

有显著性差异。与题目1相比，题目2的得分率低可能是由于学生对

这类题目不熟悉，但不得不说确实有不少学生并不真正理解法则的意

义，特别是本题错误地选择选项C的人数最多更加说明了这一点。因

为在实际教学中，或者不少教师不重视学生探索如何计算的过程，或

者当学生刚刚探索出方法后，老师立即就引导学生学习竖式，在对竖

式还未真正内化的情况下，教师又开始引导学生学习“简化”的竖式

（即箭头所指的那一步，要把340末尾的。写成虚的，意思是可以省

略不写，最后再把。省略掉）。这样仓促地同时完成几个内容的教学,

就可能造成学生因为没有真正理解竖式每一步的道理而只好记住法

则了。再加上，教师又没有在后面的练习中注意促进学生在记忆基础

上再次理解，学生产生“老师让我们这么做就这么做”的想法就不足为

奇了。所以，在教学中教师应在学生探索算法的基础上，切实引导学

生将法则进行内化，重视运算道理的教学。同时也建议在教材和教学

中无须强调“虚0”，更不必去掉竖式“第二层”末尾的0。

2.了解学生想法中所蕴涵的道理

在教学中我们要鼓励学生自己探索如何进行运算，并且尝试说明

自己这样算的道理，在这些学生的想法中往往蕴涵着算理。为此，我

们不妨来看一个课堂教学片段［1］：

【案例】关于“0.3x0.2”的讨论◊

课上通过一个问题情境“长0.3米、宽0.2米的长方形花坛的面积

是多少”，引出了“0.3x0.2二？"o

首先，学生进行了猜想。一部分学生认为是0.6,另一部分学生

认为是0.06,产生了分歧。

教师给学生充分思考探索运算结果的空间，交流时学生发言踊

跃。

生1：（用画图表示0.3x0.2=0.06,

如图2）我是这样想的，宽是0.2米，

不到1米，所以结果不会是0.3（平方

米）。我用百格图，这里的米表示

0.3四2

花坛的长，0.2米表示花坛的宽，表示面

积的这些方格是6个，是6个0.01,占百格图的百分之六，所以0.3

乘0.2的结果是0.06。

生2:我还有一种方法。把0.2看成2,把0.3看成3,2乘3

得6。因为我刚才扩大了100倍，所以现在要缩小为它的百分之一，

得0.06o

生3：我没有那么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把0.2扩大10

倍，2乘0.3得0.6,再把0.6缩小到原来的十分之一，就是0.06o

生4：我用竖式。02与3相乘得06,任何数和0相03

x（）2

乘都得0,所以02和0相乘得00,加起来就是0.06。―oT

00

（生4边说边写出了右面的竖式）

生4的方法得到同学们热烈的掌声。随即有同学问：“为什么不

把小数点加在0和6之间呢？”

生5：我们学过两位数乘两位数了，我看成03乘02,得数应当

是006。小数点点在哪儿呢？我认为不会是00.6,如果小数点前有两

个0,前边的0就没有意义了，小数点前只能是一个0,所以是0.06。

生6:0.3乘0.2就是把0.3平均分成10份，取其中的两份。0.3

的十分之一是0.03,也就是一份是0.03,两份就是0.06。

生7：0.2不到1,如果是1乘0.3,得0.3,而0.2比1小,

所以应当是比0.3还小。

仔细分析学生这么多的方法，不难发现其中的不少方法蕴涵着朴

素的道理。比如生2和生3的方法都是运用积的变化规律将小数乘小

数转化为以前学过的内容（整数乘整数或整数乘小数）；生6的方法

则运用了小数的意义和分数的意义，也得到了结果；生1的方法看起

来有点“麻烦”耽误不少时间，但这个方法借助“百格图”，直观地

呈现了乘法的意义，即先得到6个小格（实际上就是算3x2）,再分

析每个小格是0.01（实际上就是算0.1x0.1）,6个小格就是0.06。

这就启发我们思考算法多样化的一个重要价值。实际上算法多样化不

仅可以鼓励学生个性化、主动地学习，同时，学生在自主探索运算方

法的过程中，将运用已有的概念、定律、法则等尝试解决新问题，这

就是一个寻找“合乎道理”的运算方法的过程。这些多样化的运算方

法往往蕴涵着学生心目中的“算理”，并且呈现形式是多样的（如数的、

图的），解释的途径也不尽相同（如生2和生6的方法），对这些

方法的比较和交流无疑为学生理解算理奠定了基础。在此基础上教师

再加以总结归纳，学生对于算理的理解就会加深了。

以上，虽然针对的是小数乘法的一个案例，但为教师教学提供了

共通的策略。第一，重视学生自主探索计算方法的过程，因为这种探

索往往体现了学生对于算理的初步理解。在此基础上，教师组织学生

对各种方法进行比较，凸显其中蕴涵的算理。第二，作为教师，要梳

理小学阶段各种运算的算理，特别是梳理学生常见的方法背后是否蕴

涵着算理，这样就能从容地面对学生的多种方法。第三，要鼓励学生

运用自己的语言有条理地表达自己的思考，即数的运算也是讲道理

的，不是按照程序机械运行。实际上，上面几位学生在阐述自己的方

法时，都在进行着推理，都在有条理地进行表达。但算法多样化绝不

是让所有的学生掌握所有的方法！

3.通过多种方式帮助学生理解算理

为了帮助学生更好地理解算理，教师要善于选择多种方式。常用

的理解算理的方式有实物原型、直观模型、已有知识等。其中实物原

型指的是具有一定结构的实物材料，如元、角、分等人民币，千米、

米、分米等测量单位；而直观模型指的是具有一定结构的操作材料和

直观材料，如小棒、计数器、长方形或圆形图、数直线。234-99

4.整体把握算理理解的阶段性和长期性

学生对算理的理解往往不是一蹴而就的。需要认识到它的阶段性

和长期性。理解算理的教学有很多种层次：

•举例说明算式的合理性，让学生愿意接受。这种初步的理解是

接受性学习的必要步骤。

・尝试性的探索。教师把问题提出来。让学生试试看能否“有办

法解决”，但只是尝试而已，不求正确。这是教师进行“启发式”讲

解的前奏。

•学生探究，教师归纳，迅速把学生的思维集中到正确轨道上来。

教师的主导作用十分明显。

•学生探究，学生归纳。全程进行开放式的发现法教学。

三、计算法则的内化与形成

学生的数学能力先天性地存在差异这是不争的事实。但不能否认

每个学生都有学习数学的能力。不同的人，接受同一数学概念，接受

的方式可能不同。教师的责任就是找到不同的学生接受数学概念的不

同的方式。我们数学教师的任务就是要激发每一个学生的数学潜能。

下要保底，上不封顶。专家在制定课程标准时，就考虑到了绝大多数

学生能达到最基本的要求。我们要真正做到用教材教，而不是教教材。

要透彻理解课程标准，不要迷信教材和教参。做到结合自己的教学经

验创造性地使用教材，针对不同的人，提出不同的要求，采用不同的

方法。

有的教师重视让学生去探索如何计算，并在此基础上帮助学生理

解算理，但是往往忽视了另一个重要的过程——计算法则（或个体使

用方法）的内化与形成。即当学生经历了算法多样化，并且对于运算

的道理有所理解后，还需要学生对众多算法中自己选择使用的方法或

者常规的计算法则进行再熟悉，以达到内化，然后才是进一步的巩固

练习。

四、计算法则的熟练

使用“熟练”一词，并不是说要求学生对于所有的计算法则的使用

都必须达到一定的速度，而是指形成必要的计算技能，从而在以后遇

到此类计算时，学生能“自动地”使用法则。理想的教学是当学生面对

精确计算的题目时，能够回忆起法则进行“自动”的运算，而当询问

法则背后的道理时，学生又能运用自己的方式正确地加以表达。

五、如何培养学生的数感

《课标》提出了“数感”的概念，在新课程实施中，不少教师产

生了疑惑，如新课程还要不要学生掌握必要的运算技能？新课程下学

生的运算技能大大下降了怎么力、？如何科学地培养小学生的运算技

能？如何合理地评价他们的运算技能？除了运算技能，“数与代数”

领域中的重要内容还有什么？“数与代数”的核心目标有哪些等更加

深刻的问题？等等。这些疑惑都需要教师进行思考，对此有比较清醒

的认识并加以有效解决无疑是非常重要的。小学数学课程的运算主线

是数感，所谓数感就是对数的含义、计算技能、数的顺序大小、数的

多种表达方法、模式、数运算及结果的准确感知和理解等。数感主要

表现形式为：理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境

中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题

而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果合理性作出解释。

它表示着一个人在数、数字系统和运算具有意义观念，是一种心灵的

感受，是一种意识活动，它存在于人的头脑之中，是一种高级的智力

活动。那么如何有效地培养数感呢？

1.体验生活，建立数感

布鲁纳强调：数学知识不是一个简单的结果，而是一个过程。小

学生的年龄特点也决定了他们在认识活动中的思维正经历着从具体

形象思维到抽象逻辑思维的发展。因此教师在教学中应根据小学生这

种思维特点进行教学，以生活实际和学生的经历、体验帮助理解抽象

的概念，建立数感。

我们要把培养学生的数感，从室内扩展到室外，校内延伸到社会,

让学生用数学的眼光去观察、认识周围事物，用数学的概念与语言去

反映和描述社会生产和生活实践的问题，结合生活中的具体实例去教

学数学知识，让学生感觉数学就在身边，生活中充满了数学，从而能

以积极的心态投入学习、体验数感。例如教学时间、长度、面积、体

积、重量等知识时，可以让学生经历、体验，然后再学习相关的进制

和应用。在教学数的认识时，可让学生说出与日常生活密切相关的一

些数字及其作用。如，你今年几岁？班级号是多少？你的鞋号是多

少？火警电话号码是少？急救中心电话号码是少？……这些数据、单

位都来自于生活实际，学生很容易理解、接受，这种“亲数学”行为，

能够使学生在生活中体会数的含义，建立良好的数感。

2.实践操作，强化数感

学生体验到数学的价值和意义，继而确立应用数学的信心，是形

成良好数感的重要条件。鉴于此，教学就打破从概念到概念，从课堂

到课堂的数学应用僵局，引导学生用数学的思想、力法，去分析、理

解、解决生活问题，通过实践活动增强学生对数感的体验。

如教学“统计”时，可以这样组织：学校操场正在上体育课，将

本班学生带到操场上去，教师让学生调查喜欢各项运动的人数。学生

通过小组合作收集数据、整理数据、分析数据。通过这样的活动，把

数感的培养落实到具体的活动中，与学生的现实生活相联系，在一个

个完整的统计过程中学习知识，一次又一次地经历或了解数据处理的

全过程，使学生深刻体会了统计思想，领悟了统计方法，也在实践操

作中强化了学生的数感。使学生理解数学是源于生活，并应用于生活。

3.学会估算，发展数感

数学新课程标准在发展学生的数感方面明确提出：能估计运算的

结果，并对结果的合理性作出解释。数学课堂教学中应“以学生为本”,

激发学会估算的兴趣与技能，让不同的学生在数感方面得到不同程度

的发展。

估算在日常生活中有着广泛应用，教学时教师可以抓住这一有利

因素，创设情境，激发学生学好估算的兴趣。例如：在进行大数目估

算的教学时，我请学生们试着估算一下一页报纸上有多少个字？一摞

纸有多少张？一把瓜子有多少颗？全校有多少名学生？体育馆有多

少个座位？全校学生人数与体育馆座位数有什么关系？学生在估算

时很少有人会凭空估计，大多数学生都能自觉地把要估算的数平均分

成若干份，数出其中的一份是多少，再看大数相当于一份的多少倍，

用这种方法估算这些大数。当学生把一份的数量与大数进行比较时，

观察并感受到大数相当于小数的几倍，体会了大数的多少，也了解了

大数在现实生活中的应用。学生在这样的估算训练中，估算能力逐渐

提高，能够见到生活中的事物，很快和数建立起联系，体会了数的大

小、多少的实际意义，学生对数的感知能力也会逐步提高。

让学生在自主探索的教学活动中不但学到了知识，而且亲身感受

到学习的过程可以由他们去掌握，按自己的想法去完成，有着一个可

以展示自己的空间。在充分表达交流各自的想法过程中，既发展发散

性思维，也激发了学生学好估算的求知欲望。

4.解决问题，强化数感

前苏联教育家赞科夫说过：从学生生活经验中举出的例子，将有

助于他们把所学习的概念跟日常生活中十分熟悉的事物之间建立起

联系来。只有当学生把所学知识与生活经验联系起来，才能更好地掌

握知识，内化知识。例如，在一节实践活动课中，教师创设情境，

如：春天来了，同学们最想做的是什么事情呢？“春游”。在组织春

游的过程中，我们会遇到哪些问题呢？或者你能用数学知识解决什么

问题？同学们纷纷想出了很多问题，有租车问题；有购票问题；有计

算耗油量的；有根据路程与速度估算时间的；有设计路线的。学生从

多角度考虑，设计了许多解决问题的方案，并对自己设计方案的合理

性做出了解释。

如此教学，把数学与学生生活实际联系起来，不仅能使学生在不

知不觉中感悟数学的真谛，学会用数学的思想方法去观察和认识世

界。而且使学生在开放的信息中不断丰富自己对数的认识，获得积极

的数学学习情感。

数感说到底是一种心智技能，如果说动作技能主要靠肌肉运动，

表现于外部行动，那么心智技能主要是意识活动，它存在于人的头脑

之中，有良好数感的人在需要数感发挥作用的时候，它便会自然出现,

仿佛不需要人有意识的探索一般，要达到这样的境界，需要一个长期

的培养过程，因此，在教学中，教师应该充分利用学生已有的生活经

验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，让现实问题数

学化，使学生在运用数学解决问题的策略中建立数感。随着数感的建

立、发展和强化，学生的整体数学素养也会有所提高。

六、培养学生的运算技能的建议

如何在新课程背景和要求下，科学地培养学生的运算技能呢？提

出如下几条建议。

L有效利用学生的困难和错误

谈到科学地培养学生计算技能的问题，不能回避的问题是如何面

对学生的困难和错误。实际上，越来越多的老师对学生的困难和错误

采取了更为理解的态度，并力图去发现其中的原因和积极成分，把困

难和错误当成资源来利用。这里，想再次强调教师要深入了解学生的

想法，准确诊断学生困难和错误的原因。教师不能将学生的困难和错

误简单地归为“粗心”，而要通过访谈等手段了解学生的真实想法。

这里举一个案例（详见本刊2007年第9期《让知识成为学生

真正的营养》一文）。清华大学附属小学的张红老师在教学小数除

以小数之前，对学生进行了学前调研，发现学生在计算“8.54+0.7”时,

27%的学生不能自觉想到将其转化为小数除以整数，67.6%的学生在

转化时出现了困难。特别有意思的是，在随后教师对学生的访谈中，

发现了学生在处理商的小数点位置时出现了较大的困难。一部分学生

认为商的小数点应该与被除数的小数点对齐，得到1.22；另一部分

学生把被除数和除数同时扩大10倍，将算式转化为85.4+7并得到答

案12.2后，又画蛇添足地将答案的小数点往左移动了一位