高三一轮复习学案物理第四章曲线运动万有引力与宇宙航行第1讲曲线运动运动的合成与分解

第1讲曲线运动运动的合成与分解学习目标1.理解物体做曲线运动的条件及运动性质。2.理解合运动与分运动的概念，会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。1.曲线运动2.运动的合成与分解1.思考判断(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(×)(2)做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。(×)(3)做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。(√)(4)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)(5)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)(6)曲线运动一定不是匀变速运动。(×)(7)运动的合成与分解的实质是对描述运动的物理量(位移、速度、加速度)的合成与分解。(√)2.(2023·全国乙卷，15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加，如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是()答案D解析做曲线运动的小车所受合力指向轨迹的凹侧，A、B错误；C项中，F与v夹角为钝角，做减速运动，动能减小，C错误；D项中，F与v夹角为锐角，做加速运动，动能增大，D正确。考点一曲线运动的条件与轨迹分析1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系(1)速度方向与运动轨迹相切。(2)合力方向指向曲线的“凹”侧。(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。2.速率变化的判断例1在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图1所示，虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是()图1A.第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动B.第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上答案D解析第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项C错误，D正确。方法总结合外力与轨迹、速度间的关系分析思路1.如图2是一种的“空气伞”，它的原理是从伞柄下方吸入空气将空气加速，并从顶部喷出，形成辐射状气流，从而改变周围雨水的运动轨迹，形成一个无雨区，起到遮挡雨水的作用。在无风的雨天，若“空气伞”喷出的气流水平，则雨滴从气流上方某处下落并穿过气流区的运动轨迹，可能是下列哪一幅图()图2答案C解析气流对雨滴有作用力，当雨滴接近空气伞时，受到水平方向的作用力，将产生水平方向的加速度，此时雨滴所受的合力与运动的方向不在一条直线上，所以其运动轨迹将逐渐发生弯曲，速度的方向不能发生突变，故A、B错误；雨滴原来的运动方向沿竖直方向向下，当受到水平方向的作用力后，水平方向做加速直线运动，竖直方向做加速直线运动，从受力点开始，合外力和速度方向成锐角，雨滴所做的运动的轨迹一定是向合外力方向发生弯曲；穿过气流区后，由于雨滴的速度方向斜向下，与重力不在同一直线上，雨滴仍做曲线运动，故C正确，D错误。考点二运动的合成与分解1.合运动的性质判断加速度(或合外力)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(变化：非匀变速运动,不变：匀变速运动))eq\a\vs4\al(加速度（或合外力）,方向与速度方向)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))加速度(或合外力)为0：匀速直线运动2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断依据：看合初速度方向与合加速度(或合外力)方向是否共线。两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线，为匀变速直线运动如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动例2(2023·江苏卷，10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是()答案D解析2.如图3所示，某跳伞运动员从一定高度跳伞，在降落过程中受到水平恒向风力影响，最后降落到同一水平面上，下列说法正确的是()图3A.该运动员一定做曲线运动B.其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越短C.其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越长D.其他条件不变，风力越大，该运动员着地时的速率越大答案D解析若运动员跳伞时的速度方向与运动员所受的合力方向相同，则运动员做直线运动，A错误；竖直方向，根据h＝eq\f(1,2)gt2，可得t＝eq\r(\f(2h,g))，可知该运动员在空中运动时间与风力无关，B、C错误；水平方向风力越大，水平方向的加速度越大，落地时的水平速度就越大，可知其他条件不变，该运动员着地时的速率越大，D正确。

考点三小船渡河模型1.船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。2.三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。3.两类问题、三种情景渡河时间最短当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq\f(d,v船)渡河位移最短如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于eq\f(dv水,v船)例3(2024·河南名校联盟期末)在某次抗洪救援演练中，一条可视为质点的救灾冲锋舟要渡过一条两岸平行的河流。已知冲锋舟在静水中的速度大小为v1＝5m/s，河水的流速大小为v2＝4m/s，冲锋舟渡河的最短时间为t＝40s。若冲锋舟在静水中的速度大小为v2，河水的流速大小为v1，河宽不变，则冲锋舟渡河的最短距离为()图4A.225m B.238m C.242m D.250m答案D解析当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，由题意可知，冲锋舟渡河的最短时间为t＝40s，由运动学公式有河宽d＝v1t＝200m。若冲锋舟在静水中的速度大小为v2，河水的流速大小为v1，则冲锋舟在静水中的速度小于水速，设合速度方向与河岸夹角为θ，由几何关系可知，当船头方向垂直于合速度时，此时小船渡河位移最短，sinθ＝eq\f(v2,v1)，则渡河的最短距离s＝eq\f(d,sinθ)＝eq\f(v1d,v2)＝250m，D正确。方法总结小船渡河问题的分析思路3.(2024·福建福州模拟)洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图5所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟行驶，若冲锋舟沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，采取以最小速度和最短时间两种方案行驶，则两种方案中冲锋舟的最小速度v1和以最短时间行驶冲锋舟的速度v2之比为()图5A.1∶2 B.1∶eq\r(3)C.2∶eq\r(3) D.eq\r(3)∶2答案D解析冲锋舟以最小速度v1和最短时间分别从A到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线，有v1＝vsin30°，最短时间行驶时冲锋舟速度v2垂直于平直河岸，有v2＝vtan30°，可知eq\f(v1,v2)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，故选项D正确。考点四绳(杆)端速度分解模型1.模型特点与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。2.常见模型模型绳端速度分解模型例4(多选)如图6所示，物体P套在光滑的细杆上，P和Q通过轻质细绳连接并跨过定滑轮，一水平力F拉着水平面上的物体Q向左运动。在某一小段时间内，P沿细杆匀速向上运动通过AB段的过程中，下列说法正确的是()图6A.Q做加速直线运动B.Q做减速直线运动C.细绳对P的拉力在增大D.杆对P的弹力在减小答案BC解析设绳与竖直方向夹角为θ，则vPcosθ＝vQ，当P匀速运动，θ增大时，Q做减速运动，故A错误，B正确；对P有mg＝Tcosθ，θ角增大时绳子拉力T在增大，杆对P的弹力FN＝Tsinθ在增大，故C正确，D错误。4.如图7，一条不可伸长的轻绳跨过一个光滑轻小滑轮，将A、B两物体连在一起，B在外力作用下以速度v0向右匀速运动。当轻绳与水平方向成θ角时(0<θ<90°)，下列说法正确的是()图7A.A物体的速度为v0cosθ，轻绳拉力大于A物体重力B.A物体的速度为v0cosθ，轻绳拉力小于A物体重力C.A物体的速度为v0sinθ，轻绳拉力大于A物体重力D.A物体的速度为v0sinθ，轻绳拉力小于A物体重力答案A解析将B的速度沿绳和垂直于绳进行分解，可知A的速度为vA＝v0cosθ，当B向右匀速运动时，夹角θ不断增大，A的速度不断减小，因此A做减速运动，加速度向上，即轻绳的拉力大于A物体的重力，A正确，B、C、D错误。模型杆端速度分解模型例5(2023·湖北武汉高三期末)活塞带动飞轮转动可简化为如图8所示的模型：图中A、B、O三处都是转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆AB运动，进而带动OB杆以O点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为v，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β，此时B点做圆周运动的线速度大小为()图8A.eq\f(vsinα,sinβ) B.eq\f(vcosα,sinβ) C.eq\f(vcosα,cosβ) D.eq\f(vsinα,cosβ)答案B解析设B点做圆周运动的线速度大小为v′，此速度为B点的实际速度，根据运动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如图，沿杆方向的分速度为vB＝v′coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,2)))＝v′sinβ，A点实际速度为水平方向的v，根据运动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如图，沿杆方向的分速度为vA＝vcosα，又二者沿杆方向的分速度相等，即v′sinβ＝vcosα，则v′＝eq\f(vcosα,sinβ)，故B正确。5.(2024·辽宁大连高三质检)如图9所示，质量相同的小球A、B通过质量不计的细杆相连接，紧靠竖直墙壁放置。由于轻微扰动，小球A、B分别沿水平地面和竖直墙面滑动，滑动过程中小球和杆始终在同一竖直平面内，当细杆与水平方向成37°角时，小球B的速度大小为v，重力加速度为g，忽略一切摩擦和阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则下列说法正确的是()图9A.小球A速度为v B.小球A速度为eq\f(4,3)vC.小球A速度为eq\f(3,4)v D.小球A速度为eq\f(4,5)v答案C解析小球B的速度大小为v，设小球A的速度大小为v′，则由连接体的速度关联关系有vsin37°＝v′cos37°，解得v′＝eq\f(3,4)v，故C正确，A、B、D错误。6.如图10所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M。C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)，此过程下列判断正确的是()图10A.重物M做匀速直线运动B.重物M做匀变速直线运动C.重物M的最大速度是ωLD.重物M的速度一直增大答案C解析设C点的线速度方向与绳子延长线之间的夹角为θ(锐角)，则由图可知，在长杆的匀速转动过程中，θ由90°开始逐渐减小，当长杆与绳子垂直时减小到0，随着长杆继续转动至水平，θ又由0开始增大。由线速度与角速度的关系式可知，C点的线速度大小为vC＝ωL，将其分解为沿着绳子延长线方向的速度v1和垂直延长线方向的速度v2，可得v1＝vCcosθ＝ωLcosθ，则重物M的速度vM＝v1＝ωLcosθ，由于θ由90°减小到零又逐渐增大，则vM先增大，再减小，最大速度为ωL。A、B、D错误，C正确。方法总结三步法求解绳(杆或接触面)连接体的速度问题A级基础对点练对点练1曲线运动的条件与轨迹分析1.(2024·四川眉山模拟)关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是()A.所受合外力可以为零B.所受合外力一定为恒力C.所受合外力一定为变力D.所受合外力的方向与物体的速度方向一定不在一条直线上答案D解析做曲线运动的物体，速度方向时刻在发生变化，所以一定是变速运动，合外力一定不为零，合外力可以是恒力，例如平抛运动，合外力也可以是变力，例如匀速圆周运动，故A、B、C错误；做曲线运动的条件是所受合外力的方向与物体的速度方向不在一条直线上，故D正确。2.(2023·辽宁卷，1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图1中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是()图1答案A解析篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误；当篮球的速度斜向右上方时，A选项符合条件，故A正确。对点练2运动的合成与分解3.如图2所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是()图2A.乒乓球将保持原有的速度继续前进B.乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒C.乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒D.只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒答案B解析当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，则一定不会进入纸筒，要提前吹才会进入纸筒，故B正确。4.(2024·广东东莞市模拟)如图3所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像。以下判断正确的是()图3A.在0～1s内，物体做匀速直线运动B.在0～1s内，物体做匀变速直线运动C.在1～2s内，物体做匀变速直线运动D.在1～2s内，物体做匀变速曲线运动答案C解析在0～1s内，物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为匀加速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故A、B错误；在1～2s内，物体水平方向初速度为v0x＝4m/s，加速度为ax＝4m/s2，竖直方向初速度为v0y＝3m/s，加速度为ay＝3m/s2，根据平行四边形定则合成可以得到合初速度为v＝5m/s，合加速度为a＝5m/s2，而且二者方向在同一直线上，可知合运动为匀变速直线运动，故C正确，D错误。对点练3小船渡河模型5.(2024·广东河源校考)如图4所示，水流速度大小恒为v，A处下游的C处有个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，A、B两点的距离为eq\r(3)r。若消防武警驾驶冲锋舟把被困群众从A处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟在静水中最小速度值为()图4A.eq\f(\r(3),2)v B.eq\f(1,\r(3))v C.eq\r(3)v D.eq\f(1,2)v答案A解析如图所示，当冲锋舟在静水中的速度v舟与其在河流中的速度v合垂直时，冲锋舟在静水中的速度最小，则v舟＝vsinθ，由几何关系知θ＝60°，解得v舟＝eq\f(\r(3),2)v，故A正确。6.如图5所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA′方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是()图5A.小船沿AB、AC过河的时间相等B.小船沿AC过河的时间更长C.v1∶v2＝1∶2D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°答案A解析因船头始终垂直于河岸，所以小船过河的时间为t＝eq\f(d,v)，即小船沿AB、AC过河的时间相等，选项A正确，B错误；由题意可知tan60°＝eq\f(v,v1)，tan30°＝eq\f(v,v2)，解得v1∶v2＝1∶3，选项C错误；当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角满足cosθ＝eq\f(v1,v)＝eq\f(\r(3),3)，则θ≠60°，选项D错误。对点练4绳(杆)端速度分解模型7.如图6所示，水平固定的光滑细长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设细线的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小，现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是()图6A.在θ向90°增大的过程中，P一直处于超重状态B.当θ＝90°时，P的速度最大C.当θ＝90°时，Q的速度最大D.当θ＝60°时，P、Q的速度大小之比是eq\r(3)∶2答案C解析P从开始运动到到达最低点的过程中，P先向下做加速运动，加速度向下，处于失重状态，然后又减速向下运动，加速度向上，处于超重状态，故A错误；当θ＝90°时，P的速度最小，为零，位置最低，即Q到达O点正下方时，Q的速度最大，故B错误，C正确；由题可知，P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，则当θ＝60°时，vQcos60°＝vP，解得vP∶vQ＝1∶2，故D错误。8.如图7所示，一根长为l的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。不计摩擦，则当物块以速度v向右运动至轻杆与水平面的夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是()图7A.小球A的线速度大小为eq\f(vl,h)B.轻杆转动的角速度为eq\f(vsinθ,h)C.小球A的线速度大小为eq\f(vlsin2θ,h)D.轻杆转动的角速度为eq\f(vlsin2θ,h)答案C解析物块的速度v在垂直于杆方向的分速度等于B点的线速度，即vB＝vsinθ，根据v′＝ωr可知eq\f(vA,vB)＝eq\f(rA,rB)＝eq\f(l,\f(h,sinθ))，联立以上两式解得vA＝eq\f(vlsin2θ,h)，故A错误，C正确；轻杆转动的角速度为ω＝eq\f(vA,l)＝eq\f(vsin2θ,h)，故B、D错误。B级综合提升练9.(多选)2023年夏天，中国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处；若冲锋舟船头保持与河岸成30°角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为5m/s，下列说法正确的是()A.冲锋舟在静水中的速度大小为10m/sB.河的宽度为400eq\r(3)mC.冲锋舟在静水中的速度大小为eq\f(10\r(3),3)m/sD.河的宽度为600eq\r(3)m答案BC解析冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度v静与水的流速v水的合速度垂直于河岸，则有v静cos30°＝v水，解得v静＝eq\f(10\r(3),3)m/s，故A错误，C正确；当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处，由于冲锋舟在垂直河岸方向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之比，即eq\f(d,s)＝eq\f(v静,v水)，式中s指沿河岸方向的位移，为600m，d指河宽，可解得d＝400eq\r(3)m，故B正确，D错误。10.如图8所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相等，且两船相遇不影响各自的航行，下列判断正确的是()图8A.甲船也能到达正对岸B.甲船渡河时间一定短C.两船相遇在NP直线上的某点(非P点)D.渡河过程中两船不会相遇答案C解析甲船航行的方向与河岸成α角，水流速度水平向右，合速度一定不会垂直河岸，则甲船不能垂直到达对岸，故A错误；在垂直河岸方向上，v甲＝vsinα，v乙＝vsinα，渡河时间为t甲＝eq\f(d,v甲)＝eq\f(d,vsinα)，t乙＝eq\f(d,v乙)＝eq\f(d,vsinα)，两船渡河时间相等，因为在垂直河岸方向上的分速度相等，又是同时出发的，所以两船相遇在NP直线上的某点(非P点)，故B、D错误，C正确。11.如图9，