2024-2025学年山东师大附中高二（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东师大附中高二（下）段考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=exx，则f′(1)=A.0 B.1 C.e D.2e2.设曲线y=ln(x+1)+2ax在点(0,0)处的切线方程为2x−y=0，则a=(

)A.1 B.−1 C.12 D.3.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系式为s=sin2t+t，则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为(

)A.(1+2cos4)m/s B.2cos4m/s C.(2+cos4)m/s D.cos4m/s4.已知函数f(x)的部分图象如图所示，f′(x)为f(x)的导函数，则(

)A.f(1)−f(0)>f′(1)>f′(0)

B.f′(1)>f′(0)>f(1)−f(0)

C.f′(0)>f(1)−f(0)>f′(1)

D.f′(1)>f(1)−f(0)>f′(0)5.若x=1是函数f(x)=x2+2ax−a2−3a+3A.−2 B.3 C.−2或3 D.−3或26.已知函数f(x)=ex−alnx在区间(1,2)上单调递增.则a的最大值为A.e2 B.e C.e−1 7.设a=e，b=πlnπ，c=3ln3，则a，b，A.a<c<b B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b8.若函数f(x)和g(x)的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数f(x)和g(x)为“对偶函数”.已知f(x)=1−ex，g(x)=ax+xlnx是“对偶函数”，则实数a的取值范围为(

)A.(e−1,+∞) B.(e−12,+∞) C.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，以下命题正确的是(

)A.函数y=f(x)在x=−4处取得最小值

B.x=0是函数y=f(x)的极值点

C.y=f(x)在区间(−4,1)上单调递增

D.y=f(x)在x=1处切线的斜率大于零10.设函数f(x)=(x+1)2(x−2)，则A.x=−1是f(x)的极大值点

B.当0<x<1时，f(x)>f(x2)

C.当−2<x<0时，−4<f(x+1)<0

D.曲线11.已知函数f(x)=xlnx−emx，对定义域内任意x1<x2，都有f(A.1e B.13 C.1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l与曲线f(x)=ex+sinx在点(0,f(0))处的切线垂直，则直线l13.若函数f(x)=ex−e−x−2x，则使得14.已知函数f(x)=(x+1)ex,x≤0lnxx,x>0，函数g(x)=(f(x)−2)(f(x)−a)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=lnx+x2．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)求函数ℎ(x)=f(x)−3x16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x36−x+asinx(a∈R)在x=0处的切线方程为y=0．

(1)求a的值；

(2)证明：x≥017.(本小题15分)

将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒．

(1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V表示为盒底边长x的函数；

(2)x多大时，盒子的容积V最大？18.(本小题17分)

已知函数f(x)=a2x2−(a+1)x+lnx，其中a>0．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：∀a>0，19.(本小题17分)

已知f(x)=ln(x+1)．

(1)设ℎ(x)=xf(x−1)，求ℎ(x)的极值．

(2)若f(x)≤ax在[0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．

(3)若存在常数M，使得对任意x∈I，f(x)≤M恒成立，则称f(x)在I上有上界M，函数f(x)称为有上界函数.如y=ex是在R上没有上界的函数，y=lnx是在(0,+∞)上没有上界的函数；y=−ex，y=−x2都是在R上有上界的函数.若参考答案1.A

2.C

3.A

4.D

5.B

6.B

7.A

8.A

9.ACD

10.ACD

11.ACD

12.−113.{x|x<1}

14.(−115.解：(1)f(x)=lnx+x2(x>0)，则f′(x)=1x+2x，

则切线的斜率k=f′(1)=1+2=3，又f(1)=ln1+1=1，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x−y−2=0．

(2)ℎ(x)=f(x)−3x=lnx+x2−3x(x>0)，

则ℎ′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x(x>0)，

由ℎ′(x)>0，可得0<x<1216.解：(1)f′(x)=12x2−1+acosx．

则f′(0)=12×02−1+acos0=−1+a．

由于切线方程为y=0，其斜率为0，

所以−1+a=0，

解得a=1．

(2)证明：当a=1时，f(x)=x36−x+sinx．

要证明x≥0时，f(x)≤16x3，即证明x36−x+sinx≤16x3，移项可得sinx−x≤0．

设g(x)=sinx−x，x≥0，对g(x)求导得g′(x)=cosx−1．

因为cosx的值域是[−1,1]，所以对于x≥0，有cosx−1≤0，即17.解：(1)正六棱柱铁皮盒的底面边长为x(0<x<1)，

则正六棱柱铁皮盒的高为32(1−x)，

∴正六棱柱铁皮盒的容积为V(x)=6×12x⋅32x⋅32(1−x)=94(−x3+x2)(0<x<1)，

(2)由(1)知，V(x)=94(−x3+x2)(0<x<1)，

则V′(x)=−274x18.解：(1)f′(x)=ax−(a+1)+1x=ax2−(a+1)x+1x=(ax−1)(x−1)x(x>0)，

①当0<a<1时，令f′(x)>0，得0<x<1或x>1a，令f′(x)<0，得1<x<1a，

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，(1a,+∞)，单调递减区间为(1,1a)；

②当a=1时，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在(0,+∞)上单调递增；

③当a>1时，令f′(x)>0，得0<x<1a或x>1，令f′(x)<0，得1a<x<1，

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1a)，(1,+∞)，单调递减区间为(1a,1)；

(2)证明：当x→0时，f(x)→−∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，f(1)=−a2−1<0，

①当0<a<1时，f(x)在19.解：(1)ℎ(x)=xf(x−1)=xlnx，x>0，

ℎ′(x)=lnx+1，

令ℎ′(x)=0，则x=1e，

所以在(0,1e)上，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；

在(1e,+∞)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；

所以函数ℎ(x)有极小值ℎ(1e)=−1e，没有极大值．

(2)设m(x)=ln(x+1)−ax(x≥0)，m(0)=0，

m′(x)=1x+1−a，

当a≤0时，m′(x)>0，m(x)单调递增，m(x)≥0，显然不满足．

当0<a<1时，令

m′(x)

=