2024-2025学年江苏省南京师范大学附属中学秦淮科技高中高一下学期第一次阶段性检测数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京师范大学附属中学秦淮科技高中高一下学期第一次阶段性检测数学试卷（3月份）一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.计算2sin14A.22 B.−22 2.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)A.3α−β=π2 B.3α+β=π2 C.3.设p:0<a<1;q:关于x的方程3sinx+cosx=a有实数解，则p是A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设AB=a，AD=b，则BN=A.−23a+13b B.5.已知向量a，b满足|a−b|=|a+b|，|A.0 B.12 C.226.设a=cos212A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<a<c7.已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的外接圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM⋅PN的取值范围是(

)A.[−1,0] B.[0,2] C.[1,2]8.平面内，定点A，B，C，D满足|DA|=|DB|=|DC|=2，且DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA=−2，动点P，A.37+634 B.37+2334二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量a=(1,3)，b=(2,y)，(a+A.b=(2,−3) B.向量a，b的夹角为3π4

C.|a+12b10.已知函数fx=3A.fx为奇函数 B.fx的图像关于直线x=π2对称

C.fx在0,π211.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=2BC=2CD=2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点，则(

)

A.AN=35AB+25AD

B.向量AD与CN共线

C.S三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.已知向量a+b+c=0，a=1，13.设向量a=(cos(α+β),sin(α+β))，b=(cos(α−β),sin(α−β))14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知向量a=(1,2)，b(Ⅰ)若a//b，求(Ⅱ)若a⊥(a+2(Ⅲ)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．16.已知锐角α的终边与单位圆相交于点Pm,3(1)求实数m及tanα(2)求cos2α+(3)若0<β<π2，且cos(α+β)=−517.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，AB=6，且AE=2EB．M是线段CE

(1)M是线段CE的中点，求AM⋅(2)若CA⋅CE=28，求18.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角▵ABC和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点(异于B,C)，点H在线段AB上，且满足CH⊥AB.已知∠ACB=90∘,AB=1，设(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC=∠PCB，且CA+CP达到最大，当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA=60∘，且CH+CP达到最大.当θ为何值时，CH+CP19.如图，A，B是单位圆(圆心为O)上两动点，C是劣弧AB⌢(含端点)上的动点．记OC=λOA(Ⅰ)若O到弦AB的距离是12，

(ⅰ)当点C恰好运动到劣弧AB⌢的中点时，求(ⅱ)求λ+μ的取值范围；(Ⅱ)若|3OA−OB|⩽52，记向量2OA+OB参考答案1.A

2.C

3.A

4.A

5.D

6.A

7.A

8.D

9.BD

10.BC

11.ACD

12.−913.3414.8

15.解：(1)因为a=(1,2)，b=(−3,k)，且a

//

所以1×k−2×−3=0，解得则b=(2)因为a+2b=所以a·(解得k=1(3)因为a与b的夹角是钝角，则a·b<0且a即a·b=1×−3+2×k<0，

则k<32且k≠−6．

故实数k的取值范围为

16.解：(1)由于点P在单位圆上，且α是锐角，

可得m>0，m2则m=45，(2)由(1)得锐角α的终边与单位圆相交于点P45,35，

可得cos2α=cos2所以

cos(2α+(3)因为α为锐角，所以0<α<π2，又0<β<π因为cos(α+β)=−513所以sinβ=

17.(1)因为AE=2EB，故所以AM=2又在矩形ABCD中，AB⊥AD,∴AB故AM⋅(2)如图，以A为坐标原点，以AB,AD为x,y轴建立平面直角坐标系，

则A(0,0),E(4,0),B(6.0)，设C(6,m),m>0，则CA=故由CA⋅CE=28得，12+由于M点在CE上，设CM=λ则CM=则x−6=−2λy−4=−4λ，即x=6−2λy=4−4λ，故所以MA=MA+2所以(MA当且仅当λ=12时，(MA

18.(1)由∠ABC=∠PCB=θ，在直角▵ABC中，AC=sinθ，BC=cos在直角▵PBC中，PC=BC⋅cosPB=BC⋅sinAC+CP=sin所以当sinθ=12，即θ=30∘即θ=30(2)在直角▵ABC中，由S▵ABC可得CH=sin在直角▵PBC中，PC=BC⋅sin所以CH+CP=sinθcos所以CH+CP==1所以当θ=15∘时，CH+CP取得最大值，且最大值为

19.解：(Ⅰ)由O到弦AB的距离是12，可得∠ABO=∠BAO=30∘，

故∠AOB=120∘，

(i)由题意得∠ACB=120∘，

当点C恰好运动到劣弧AB⌢的中点时，|AC|=|CB|=1，

故AC⋅CB=|AC|×|CB|×cos⟨AC，CB⟩=1×1×cos60∘=12；

(ii)记劣弧AB的中点为D，OB⋅OA