2024-2025学年河南省周口市郸城第一高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省周口市郸城第一高级中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l的方向向量为a=(1,1,2)，平面α的法向量为n=(2,2,4)，则(

)A.l//α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α相交2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15A.94 B.3 C.9 D.3.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有(

)A.36种 B.60种 C.75种 D.85种4.以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(

)A.[0,π4]∪[3π4,π) B.[0,π)5.P是椭圆x216+y29=1上一点，F1、A.30° B.60° C.120° D.150°6.正三棱台ABC−DEF中，AB=2AD=2DE，G，H分别为AB，DE的中点，则异面直线GH，BF所成角的余弦值为(

)A.−14

B.14

C.27.已知点A(−2,0)，B(0,−2)，点P在圆C：(x−2)2+y2=2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为A.32 B.52 C.8.在同一平面直角坐标系内，函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1)，则(

)A.函数y=f(x)+x的最大值为1

B.函数y=exf(x)的最小值为1

C.函数y=f(x)⋅ex的最大值为1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.记等比数列{an}的前n项积为Tn，且a5,a6A.−7 B.5 C.6 D.710.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点PA.三棱锥A1−PC1D的体积为定值

B.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π3,π2]

C.平面11.已知函数f(x)=x(x−1)(ex−a)，则下列说法正确的是A.若a=1，则f(x)有2个零点

B.若a=0，则f(x)在(0,+∞)上既有极大值，又有极小值

C.若a<0，则f(x)在(−∞,0)上没有极值

D.若a>0，则f(x)在(0,+∞)上必有极小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线E：y2m−x213.随着马拉松运动的普及，我国已成功举办多次全民马拉松赛事.现某城市举办全民马拉松比赛，第一处供给点需要三组工作人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成.根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名工作人员分组方法种数为______．14.已知x∈(0,e)，若不等式mx2(1−lnx)−2e四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点P(q,p)到焦点的距离为4．

(1)求p+q的值；

(2)过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|=10，求直线l的方程．16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PAD，△PAB均为等边三角形，cos∠BAD=14．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD．

(2)若点D到平面PBC的距离为41517.(本小题12分)

设正项数列{an}的前n项之和bn=a1+a2+⋯+an，数列{bn}的前n项之积cn=b1b2⋯bn，且bn+18.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，其左顶点A(−2,0)，离心率e=32．

(1)求双曲线方程；

(2)过右焦点F的直线与双曲线右支交于P，Q两点，与渐近线分别交于点M，N，直线AP，AQ分别与直线x=43交于R，19.(本小题12分)

记集合Sθ(x)(a,b)={(x,y)|y=θ(x)，a≤x≤a+1，b≤y≤b+1}，已知函数f(x)=lnx+1x，g(x)=xex−1．

(1)求Sf(x)(1,1)中的元素个数；

(2)若存在b，使得存在(x1,y1)，(x2,y2)∈Sg(x)(a,b)，且y2−y1=1，求a的取值范围；参考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.B

6.C

7.D

8.B

9.BD

10.ACD

11.AD

12.4113.18

14.1e15.

16.17.解：(1)证明：由cn=b1b2⋯bn，

知当n≥2时，bn=cncn−1，

代入bn+cn=1，得cncn−1+cn=1，

∴1cn−1cn−1=1，

再由b1=c1b1+c1=1，解得b1=c1=12，

可得{1cn}是以2为首项，以1为公差的等差数列，

∴1cn18.19.解：(1)依题意得，Sf(x)(1,1)={(x,y)|y=lnx+1x,1≤x≤2,1≤y≤2}，

因为f′(x)=−lnxx2，所以当1≤x≤2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)=1，当且仅当x=1取等号，

所以Sf(x)(1,1)={(1,1)}，元素个数为1；

(2)依题意得，当a≤x≤a+1时，g(x)max−g(x)min≥1，

因为g′(x)=1−xex−1，所以当x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

又g(1)=1，若a>0，则g(x)max≤g(1)=1，g(x)min>0，矛盾，

若a≤0，则g(x)max=g(a+1)，g(x)min=g(a)，令ℎ(a)=g(a+1)−g(a)=a+1−eaea，a≤0，

则ℎ′(a)=−e+(e−1)aea<0，所以ℎ(a)在a≤0时单调递减，所以ℎ(a)≥ℎ(0)=1，符合题意，

综上所述，a的取值范围是a≤0；

(3)由(2)可得x≥0时，0≤f(x)≤1，0≤g(x)≤1，

所以Sf(x)(i,0)={(x,y)|y=f(x)，i≤x≤i+1}，Sg(x)(i,0)={(x,y)|y=g(x)，i≤x≤i+1}，

由l∩Sf(x)∪g(x)(i,0)≠⌀，得(l∩Sf(x)(i,0))∪(l∩Sg(x)(i,0))≠⌀，即l∩Sf(x)(i,0)≠⌀或l∩Sg(x)(i,0)≠⌀，

所以f(i+1)≤m≤f(i)或g(i+1)≤m≤g(i)，同理f(j+1)≤m≤f(j)或g(j+1)≤m≤g(j)，

注意到g(x)=xex−1=ln(ex−1)+1ex−1=f(ex−1)，

所以只需要选择(i,j)使得区间[f(i+1),f(i)]∪[f(ei),f(ei−1)]和区间[f(j+1),f(j)]∪[f(ej),f(ej−1)]有交集即可，

考虑到f(x)在[1,+∞)单调递减，只需要M=[i,i+1]∪[ei−1,ei]和N=[j,j+1]∪[ej−1,ej]有交集即可，

考虑区间M，若i=1，则M=[1,e]，若i=2，则M=[2,e2]，若i≥3，则M=[i,i+1]∪[ei−1,ei]，

所以当i=1时，若j=2满足要求，若j≥3，则M∩N=⌀，矛盾；

当i=2时，若j=3，4，5，6，7满足要求，若j≥8，则M∩N=⌀，矛盾；

当i=3时，若j=4满足要求，若e2≤j≤e3也满足，即j