【初中 数学】多边形的内角和与外角和第2课时课件 2024-2025学年华东师大版七年级数学下册

第8章三角形8.2多边形的内角和与外角和2.多边形的外角和

复习巩固1、什么是三角形的外角？2、三角形的外角有几个？3、什么是三角形的外角和？4、三角形的外角和是多少？怎么证明？123CBA新知引入多边形的外角和12345678CBDA例：如图四边形∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形的外角和.从与多边形的每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.类比三角形外角和的求解方式，你能求出四边形的外角和吗？类比三角形的外角概念得出多边形的外角概念新课探究大家回顾一下三角形的外角和研究思路。∠1+∠2+∠3+∠ACB+∠BAC+∠ABC=540°，∵∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°.ABC((((((213方法一：邻补角方法二：作平行线解：过点A作AD∥BC，123CBADE∴∠1=∠EAD，∠3=∠BAD又∵∠2+∠BAD+∠EAD=360°，∴

∠1+∠2+∠3=360°.∴

△ABC的外角和等于360°.类比探究多边形的外角和方法一：邻补角∵(∠1+∠5)+(∠2+∠6)+(∠3+∠7)+(∠4+∠8)=720°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=

720°–(∠5+∠6+∠7+∠8).∵∠5+∠6+∠7+∠8=360°.

∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°.

12345678CBDA∴四边形的外角和为360°.

拓展探究根据n

边形的每一个内角与和它相邻的外角都互为补角，可以求得n

边形的外角和.据此，请将数据填入表格.多边形的边数34567...n多边形的内角和与外角和的总和3×180°=540°...多边形的内角和180°...多边形的外角和360°...720°360°360°900°540°360°1080°720°360°1260°900°360°(180n)°(n-2)180°360°归纳总结任意多边形的外角和都为360°.即：通过验证可以得出多边形的外角和为n·180°–(n–2)·180°=360°注意：任意多边形的外角和与边数无关！拓展探究方法二：作平行线（以四边形为例）12345678∵∠4+∠5+∠7+∠8=360°.

∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°.

ABCDl1l2过点D作l1∥AB,则∠1=∠5，∠2=∠6过点D作l2∥BC,则∠6=∠7，∠3=∠8∴∠2=∠7.

例题讲解例3

一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？解：设多边形的边数为n，根据题意，得

n

·72°=360°.

解得n=5.答：这个多边形是五边形.例4

一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？解设这个多边形的边数为n，根据题意，得

（n–2）·180°=5×360°.

解得n=12.答：这个多边形是十二边形.例题讲解思考：正多边形的每个外角是多少度？正

n边形的每个外角度数：分析：正多边形的每个内角相等，

每个内角+与它相邻的外角=180°

所以正多边形的每个外角也相等。新知应用1.一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？解：360°÷45°=8，180°–45°=135°.答：这个多边形是八边形，它的每一个内角是135°.新知应用2.在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？解：根据多边形的外角和可知，多边形的外角最多可以有3个钝角，所以多边形的内角最多可以有3个锐角.课堂小结多边形的外角和定理多边形的外角和等于

360°特别注意：与边数无关.拓展应用1.已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（）A．4

B．5 C．6 D．7C拓展应用2.如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是（）A．外角和减少180° B．外角和增加180°C．内角和减少180° D．内角和增加180°D拓展应用3.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7∶2，求这个多边形的边数.解：设这个多边形的内角为7x°,外角为2x°,根据题意，得7x+2x=180，解得

x=20.即每个外角是40°.360°÷40°=9.答：这个多边形是九边形.拓展应用4.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？解：设这个多边形是n边形，由题意得，

(n–2)·180°=3×360°.

解得n=8

答：这个多边形是八边形.拓展应用5.如图，状状从点A出发沿直线前进10米，后左转30度，再沿直线前进10米.又向左转30度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米？解：由题意可知，小亮第一次回到出发地A点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于30°，边长为10米.所以这个多边形的边数为所以一共走了12×10=120（米）.拓展应用6.如图，用n

个完全相同的正五边形进行拼接，使相邻的两个正五边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正n

边形，则n

的值等于______.10拓展应用7.将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则∠1+∠2+∠3=______.102°132课后习题A组先任意画一个五边形，然后画出它所有的对角线，数一数，一共有多少条对角线？解：如图所示，一共有五条对角线.课后习题2.根据图形填空：（1）∠1=∠C+______，

∠2=∠B+______；（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=______+∠1+∠2=________.想一想，小题（2）中的结论对任意的五角星是否都成立？∠E∠D∠A12180°解：小题（2）中的结论对任意的五角星都成立.EABCD课后习题解：设这个多边形的边数为n，

根据题意，得360°=

(n–2)·180°×

解得

n=9.答：这个多边形的边数为9.3.一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数.课后习题4.若一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加多少度？解：它的内角和增加360°.课后习题5.若一个正多边形的一个内角等于150°，求这个多边形的边数.解：设这个正多边形的边数为n，

根据题意，得n·(180°–150°)=360°

解得n=12.答：这个多边形的边数为12.课后习题6.在△ABC

中，∠A、∠B、∠C相邻的外角度数比是5：4：3.求△ABC

的最大内角的度数.解：设∠A、∠B、∠C

相邻的外角度数分别为(5x)°、(4x)°、(3x)°，根据题意，得

5x+4x+3x=360.

解得

x=30.∴∠A、∠B、∠C相邻的外角度数分别为150°、120°、90°.∴∠A、∠B、∠C

的度数分别为30°、60°、90°.答：△ABC

的最大内角的度数是90°.课后习题B组7.填空：(1)从四边形的一个顶点出发可以画出_____条对角线，四边形共有_____条对角线；(2)从五边形的一个顶点出发可以画出_____条对角线，五边形共有_____条对角线；(3)从六边形的一个顶点出发可以画出_____条对角线，六边形共有_____条对角线；(4)从

n

边形的一个顶点出发可以画出_____条对角线，n

边形共有_________条对角线.122539(n–3)课后习题8.一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为2520°，求