24、一次函数与几何、代数的综合问题

一次函数与几何、代数的综合问题1．（2023春•通河县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO．（1）求线段AC的长；（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．2．（2023春•成都期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，与直线交于点．（1）求点的坐标；（2）点是线段上一动点，直线与轴交于点．ⅰ若的面积为8，求点的坐标；ⅱ如图2，当点在轴正半轴上时，将直线绕点逆时针旋转后的直线与线段交于点，连接，若，求线段的长．

3．（2023春•青川县期末）综合与探究：如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒1个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为．（1）求直线的表达式；（2）在点，点运动过程中．①当点，分别在，上时，求证四边形是矩形．②在点，点的整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你直接写出的值．（3）点是平面内一点，在点的运动过程中，问是否存在以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2023春•五华区校级期末）如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于、两点，点是线段上的一个动点．（1）求证：；（2）连结，若三角形的面积为37.5，求点的坐标；（3）在第（2）问的基础上，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．5．（2022秋•晋中期末）如图，直线和直线与轴分别相交于，两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．（1）求点的坐标及直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）试探究在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023春•增城区期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点、．与直线相交于点．（1）求点坐标；（2）如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，求点坐标；（3）在直线上是否存在点，使的面积等于6？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

7．（2023春•崂山区期末）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点，分别在轴与轴上，已知，．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．（1）当点经过点时，求直线的函数解析式；（2）求的面积关于的函数解析式；（3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2023春•巴南区期末）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．（1）求一次函数的解析式；（2）若点在轴上，且满足，求点的坐标；（3）一次函数有一点，点的纵坐标为1，点为坐标轴上一动点，在函数上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一个情况的过程．

9．（2023春•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，此直线交轴于点，交轴于点，直线与轴交于点．（1）求，两点的坐标；（2）如图1，若点在轴上方，且在直线上，若面积等于12，请求出点的坐标；（3）如图2，已知点，若点为直线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点，使是以为直角顶点，为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023春•长春期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，且，．若、为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点、的“相关矩形”，如图①为点、的“相关矩形”示意图．若点，点．（1）当时，在图②中画出点、的“相关矩形”并求它的周长．（2）若点、的“相关矩形”为正方形，求的值．（3）已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，若在线段上存在一点，使得点、的“相关矩形”是正方形．①点的坐标为，点的坐标为．②直接写出的取值范围．11．（2023•重庆开学）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，直线与直线交于点．（1）求直线的解析式；（2）若点为线段上一个动点，过点作轴于点，交直线于点，当时，求的面积；（3）如图2，将向下平移3个单位长度得到直线，直线与直线交于点，点关于轴的对称点为点，点为直线上一个动点，点为直线上一个动点．若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点的坐标并写出求其中一个点坐标的过程．12．（2023春•怀化期末）直线AB的解析式为：，如图所示，其图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AB上由点A向点B以每秒2个单位的速度运动，点C在线段OB上由点O向点B以每秒1个单位的速度运动（其中任意一点先到达终点则两点都停止运动），过点P作与x轴垂直的直线交直线AO于点Q．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接写出：A点的坐标是，∠BAO＝度；（2）用含t的代数式分别表示：CB＝，PQ＝；（3）是否存在t的值，使四边形PBCQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在t的值，使四边形PBCQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点C的速度（匀速运动），使四边形PBCQ在某一时刻为菱形，求点C的速度和时间t．

13．（2023•龙岩模拟）定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条面积等分线，如的中线就是的一条面积等分线．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴正半轴上，且，．（1）写出平行四边形的过原点的面积等分线的解析式；（2）请判断直线是否为平行四边形的面积等分线，并说明理由；（3）若直线是的面积等分线，求．14．（2023春•黄梅县期中）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．（1）动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题：①当点在线段的垂直平分线上时，求的值；②是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值，并判断此时的度数；（2）矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、．①求点的坐标；②若点是平面内任一点，在轴上是否存在点，使、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2023春•双城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标系的原点，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的正半轴上，连接，若．（1）求点的坐标；（2）点在第一象限直线上，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接，过点作，交直线于点，连接．若，求的值．16．（2023春•中山市月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，．（1）求，两点的坐标．（2）把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求直线的函数解析式．（3）若点在直线上，平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2023春•石狮市校级期中）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点，是直线上一动点，且在点的上方，设．（1）求直线的解析式和点的坐标；（2）求的面积（用含的代数式表示）；（3）当时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求点的坐标．18．（2023春•株洲期末）如图，直线与坐标轴交于、两点，点与点关于轴对称．轴与直线交于点．（1）求点和点的坐标；（2）点在直线上运动，且始终在直线下方，当的面积为时，求出点的坐标；（3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，直接写出所有使是以为腰的等腰三角形的点的坐标．

19．（2023春•北海期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点．（1）求直线的函数解析式；（2）将沿直线翻折得到，使点与点重合，与轴交于点．求证：四边形是菱形